湖南省懷化市小橫垅鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對任意實數(shù)x,y,定義運算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c為常數(shù).現(xiàn)已知1*2=4,2*3=6,若有一個非零實數(shù)m,使得對任意實數(shù)x都有x*m=x,則m=

A.5

B.10

C.15

D.20參考答案：A略2.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面PAB的面積是（）A． B．2 C．1 D．參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】如圖所示，該幾何體為三棱錐，其中底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱PC⊥底面ABC．取AB的中點D，連接CD，PD，可得CD⊥AB，PD⊥AB．【解答】解：如圖所示，該幾何體為三棱錐，其中底面ABC為等邊三角形，側(cè)棱PC⊥底面ABC．取AB的中點D，連接CD，PD，則CD⊥AB，PD⊥AB，CD=，PD===．∴S△PAB==．故選：A．3.已知函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點A（1，0）對稱．設(shè)動點M（x，y），若實數(shù)x，y滿足不等式f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，則?的取值范圍是(

)A．（﹣∞，+∞） B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5]參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，化簡不等式f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得范圍．【解答】解：∵函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）對稱，即函數(shù)是奇函數(shù)，∴不等式f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等價于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2），∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即為x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，①則?=1?x+0?y=x，由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的最值，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．4.已知函數(shù)若的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意可得在上是連續(xù)不斷的函數(shù)，因為在和內(nèi)有零點。所以,得出的范圍。【詳解】因為在和有零點，因為在和均為增函數(shù)，所以，所以的取值范圍為.故選D.【點睛】本題考查了零點存在定理（如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，5.過曲線上點處的切線平行于直線點的坐標(biāo)為(

)參考答案：A略6.隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市1月至8月的空氣質(zhì) 量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級，一級空氣質(zhì)量最好，一級和二級都是質(zhì)量合格 天氣，下面四種說法正確的是（

）．①1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個②第二季度與第一季度相比，空氣合格天數(shù)的比重下降了③8月是空氣質(zhì)量最好的一個月④6月的空氣質(zhì)量最差A(yù)．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④參考答案：A 5月份的空氣質(zhì)量最差，④錯，故選A.7.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和”，如.在不超過30的質(zhì)數(shù)中（0和1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)），隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由已知條件找出小于30的所有質(zhì)數(shù)，再在其中找出兩個數(shù)的和等于30的數(shù)對，由古典概型可求得概率.【詳解】小于30的質(zhì)數(shù)有共10個，隨機選取兩個數(shù)共有種情況，其中兩數(shù)相加等于30的有7和23、11和19、13和17共三種情況，根據(jù)古典概型，.故選：C.【點睛】本題主要考查古典概型，關(guān)鍵在于找出基本事件總數(shù)及所需求的事件中所包含的基本事件的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則時，的最小值為A.

B.

C.

D.參考答案：C9.若a，b∈R，則“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】?a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時取等號．可得＞0?（a﹣b）ab＞0，?“＜”．【解答】解：?a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時取等號．∴＞0?（a﹣b）ab＞0，?“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要條件．故選：C．10.已知命題則是()A．

B．C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，則的最小值是_________________參考答案：412.如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，PA是⊙O的切線，PB⊥PA，BE=PE=2PD=4，則PA=，AC=．參考答案：4；5．【考點】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；推理和證明．【分析】利用切割線定理求PA，利用相交弦定理求出CE，即可求出AC．【解答】解：由題意，PD=DE=2，∵PA是⊙O的切線，∴由切割線定理可得PA2=PD?PB=2×8=16，∴PA=4，∵PB⊥PA，∴AE=4，由相交弦定理可得CE===，∴AC=AE+CE=5．故答案為：4；5．【點評】本題考查切割線定理、相交弦定理，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．13.若函數(shù)在的最大值為4，最小值為，則實數(shù)

的值是

參考答案：14.一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為

參考答案：15.（5分）（2015?濟寧一模）某企業(yè)對自己的拳頭產(chǎn)品的銷售價格（單位：元）與月銷售量（單位：萬件）進(jìn)行調(diào)查，其中最近五個月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：價格x99.51010.511銷售量y11n865由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是：=﹣3.2x+40，則n=．參考答案：10【考點】：線性回歸方程．【專題】：概率與統(tǒng)計．【分析】：求解樣本中心點（10，），將樣本中心點代人線性回歸方程，建立等式，然后，聯(lián)立方程組求解即可．解：由題意，==10，==，因為線性回歸直線方程是：=﹣3.2x+40，所以=﹣32+40，所以n=10，故答案為：10．【點評】：本題重點考查了線性回歸直線方程求解、性質(zhì)，及其平均值的求解等知識，解題關(guān)鍵是求解樣本中心點，然后代人直線方程，構(gòu)造方程．16.在平行四邊形中，，，，則__________.

參考答案：略17.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，且，則____．參考答案：-2【知識點】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】由題知：

所以

故答案為：-2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)、G分別是AB、AD的中點，EC與平在ABCD成30°角。

（1）求證：CF⊥平面EFG；

（2）當(dāng)AD多長時，點D到平面EFC的距離為2？

參考答案：解析：（1）∵平面EAD⊥平面ABCD，EG⊥AD，∴EG⊥平面ABCD，∴EC與平面ABCD所成角為∠ECG=30°。設(shè)AD=2a，則EG=a，CD=2∵EG⊥平面ABCD，∴EG⊥CF。又∵FG=a，F(xiàn)C=a，CG=3a?！郈G2=FG2+FC2，∴CF⊥FG，故CF⊥平面EFG?！?分（2）由（1）知CF⊥EF，∴S□CEF=∴當(dāng)D到平面EFC的距離為2時，VD—CEF=又∵S□DCF=∴VE—DCF=由VD—CEF=VE—DCF得∴AD=時，D到平面EFC的距離為2?！?2分19.(14分)已知數(shù)列滿足（1）

求數(shù)列的通項公式；（2）

設(shè)b=

(n∈N,n≥2),b,①求證：b+b+……+b<3;②設(shè)點M(n,b)((n∈N,n>2)在這些點中是否存在兩個不同的點同時在函數(shù)y=(k>0)的圖象上,如果存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.參考答案：解析：(1)解法一∵

∴………4分∴數(shù)列{}是以首項a1+1，公比為2的等比數(shù)列，即

……………6分解法二、……①

…………②

②－①得

為公比為2，首項為2的等比數(shù)列.…………4分

遞推迭加得

…………6分(也可用數(shù)學(xué)歸法證明：)(1)

b==

=≤(n≥2)………8分∴b+b+……+b=1+,

n=1時,b=1<3成立,所以b+b+……+b<3.………10分(2)

假設(shè)有兩個點A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y=上,即b=,,

∴

……①

………12分

以下考查數(shù)列，的增減情況，

，當(dāng)n>2時,n2－3n+1>0,所以對于數(shù)列{Cn

}有C2>C3>C4>……>Cn>……,所以不可能存在p,q使①成立,因而不存在這樣的兩個點.……14分20.已知f（x）=（x∈R）在區(qū)間[﹣1，1]上是增函數(shù)．（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=的兩個非零實根為x1、x2．試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|對任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】（Ⅰ）函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之（Ⅱ）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立，讓兩端點大等于零【解答】解：（Ⅰ）f'（x）==，∵f（x）在[﹣1，1]上是增函數(shù)，∴f'（x）≥0對x∈[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0對x∈[﹣1，1]恒成立．①設(shè)φ（x）=x2﹣ax﹣2，方法一：φ①??﹣1≤a≤1，∵對x∈[﹣1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f'（﹣1）=0以及當(dāng)a=﹣1時，f'（1）=0∴A={a|﹣1≤a≤1}．方法二：①?或?0≤a≤1或﹣1≤a≤0?﹣1≤a≤1．∵對x∈[﹣1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f'（﹣1）=0以及當(dāng)a=﹣1時，f'（1）=0∴A={a|﹣1≤a≤1}．（Ⅱ）由，得x2﹣ax﹣2=0，∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2﹣ax﹣2=0的兩非零實根，x1+x2=a，x1x2=﹣2，從而|x1﹣x2|==．∵﹣1≤a≤1，∴|x1﹣x2|=≤3．要使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|對任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對任意t∈[﹣1，1]恒成立，即m2+tm﹣2≥0對任意t∈[﹣1，1]恒成立．②設(shè)g（t）=m2+tm﹣2=mt+（m2﹣2），方法一：②?g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0，g（1）=m2+m﹣2≥0，?m≥2或m≤﹣2．所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|對任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤﹣2}．方法二：當(dāng)m=0時，②顯然不成立；當(dāng)m≠0時，②?m＞0，g（﹣1）=m2﹣m﹣2≥0或m＜0，g（1）=m2+m﹣2≥0?m≥2或m≤﹣2．所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|對任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤﹣2}．【點評】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．21.如圖，橢圓的右頂點為，左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與軸交于點，與橢圓交于另一個點，且點在軸上的射影恰好為點．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點且斜率大于的直線與橢圓交于兩點（），若，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）因為軸，得到點，所以，所以橢圓的方程是．（Ⅱ）因為，所以．由（Ⅰ）可知，設(shè)方程，，聯(lián)立方程得：．即得（*）又，有，將代入（*）可得：．因為，有，則且．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．22.治理大氣污染刻不容緩，根據(jù)我國分布的《環(huán)境空氣質(zhì)量數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定》：空氣質(zhì)量指數(shù)劃分階為0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六級，對應(yīng)于空氣質(zhì)量指數(shù)的六個級別，指數(shù)越大，級別越高，說明污染越嚴(yán)重，對人體健康的影響也越明顯．專家建議：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)小于150時，可以戶外運動；空氣質(zhì)量指數(shù)151及以上，不適合進(jìn)行旅游等戶外活動，以下