湖南省常德市崇德中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是增函數(shù)C．f（x）是周期函數(shù) D．f（x）的值域為[﹣1，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】HA：余弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別對各個選項判斷即可．【解答】解：由解析式可知當(dāng)x≤0時，f（x）=cosx為周期函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x2+1，為二次函數(shù)的一部分，故f（x）不是單調(diào)函數(shù)，不是周期函數(shù)，也不具備奇偶性，故可排除A、B、C，對于D，當(dāng)x≤0時，函數(shù)的值域為[﹣1，1]，當(dāng)x＞0時，函數(shù)的值域為（1，+∞），故函數(shù)f（x）的值域為[﹣1，+∞），故正確．故選：D2.如果兩個球的體積之比為8:27,那么兩個球的表面積之比為(

)A.8:27

B.2:3

C.4:9

D.2:9參考答案：C3.已知命題p：任意x∈R，sinx≤1，則它的否定是()A．存在x∈R，sinx≥1

B．任意x∈R，sinx≥1C．存在x∈R，sinx>1

D．任意x∈R，sinx>1參考答案：C4.命題“”的否定是（

）A、

B、C、

D、參考答案：C略5.橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（

）A．B．C．2D．4

參考答案：A6..已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），M是曲線C上的動點(diǎn)，若曲線T的極坐標(biāo)方程為，則點(diǎn)M到曲線T的距離的最大值為（

）A. B. C. D.參考答案：B在曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；曲線的直角坐標(biāo)方程為：，則點(diǎn)到的距離為，的最大值為，故選.點(diǎn)睛：（1）在解決極坐標(biāo)方程這類題型時，常用的方法是轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程求解。（2）求解橢圓、圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問題時，將橢圓、圓的參數(shù)方程求出，帶入點(diǎn)到值線的距離公式轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求解。7.下列說法正確的是

（

）A．命題“設(shè)，若，則”為真命題；B．“”是“”的充分不必要條件；C．設(shè)p：“所有正數(shù)的對數(shù)均為正數(shù)”，q：“”，則為真；D．命題“”的否定是“”．參考答案：C8.已知集合，，那么（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C9.一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖．【專題】計算題；作圖題．【分析】由題意畫出幾何體的直觀圖，然后判斷以zOx平面為投影面，則得到正視圖即可．【解答】解：因為一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為：故選A．【點(diǎn)評】本題考查幾何體的三視圖的判斷，根據(jù)題意畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．10.設(shè)是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是(

)A.

B.C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一圓形紙片的半徑為10cm，圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)，OF=6cm，M為圓周上任意一點(diǎn)，把圓紙片折疊，使M與F重合，然后抹平紙片，這樣就得到一條折痕CD，設(shè)CD與OM交于P點(diǎn)（如圖），以FO所在直線為x軸，線段FO的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程為

．參考答案： 以FO所在直線為x軸，線段FO的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系。由題設(shè)，得：CD垂直平分線段MF，則有：|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=10即|PO|+|PF|=10>|OF|,所以點(diǎn)P的軌跡是以F,O為焦點(diǎn)的橢圓。方程為：,2a=10,2c=6?b2=16,點(diǎn)P的軌跡方程為：.

12.拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則的值等于

參考答案：413.將邊長為1的正方形沿對角線折成直二面角，則二面

角的余弦值為

參考答案：略14.已知雙曲線x2－＝1（b＞0）的一條漸近線的方程為y＝2x，則b的值是

▲

．參考答案：2

略15.盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為__________.參考答案：【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有15種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有種結(jié)果，從而得到答案?！驹斀狻坑深}可知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有15種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有種結(jié)果，所以根據(jù)等可能事件的概率得到【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件的概率，屬于簡單題。16.曲線在點(diǎn)（－1，－3）處的切線方程是________．參考答案：y=x-217.設(shè)集合為平面內(nèi)的點(diǎn)集，對于給定的點(diǎn)A，若存在點(diǎn)，使得對任意的點(diǎn)，均有，則定義為點(diǎn)A到點(diǎn)集的距離。已知點(diǎn)集，則平面內(nèi)到的距離為1的動點(diǎn)A的軌跡所圍成圖形的面積為_______________。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上的極值；（Ⅱ）已知n∈N*且n≥2，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；不等式的證明．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ex﹣a，通過若a≤0，若a＞0，①當(dāng)0＜lna＜2，即1＜a＜e2時，②當(dāng)lna≥2或lna≤0，即a≥e2或0＜a≤1時，分別求解導(dǎo)函數(shù)符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的極值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0處取得最小值0，推出ex≥x+1．得到x≥ln（x+1），轉(zhuǎn)化為，然后證明所證明的不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ex﹣a…若a≤0，則在區(qū)間（0，2）上有f'（x）＞0恒成立，則f（x）在區(qū)間（0，2）上無極值；…若a＞0，令f'（x）=0，則x=lna，①當(dāng)0＜lna＜2，即1＜a＜e2時，當(dāng)0＜x＜lna時f'（x）＜0，2＞x＞lna時f'（x）＞0，故此時f（x）在x=lna取得極小值f（lna）=a﹣alna﹣1．…②當(dāng)lna≥2或lna≤0，即a≥e2或0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間（0，2）上無極值…綜上所述，當(dāng)a∈（﹣∞，1]∪[e2，+∞）時f（x）在區(qū)間（0，2）上無極值；當(dāng)1＜a＜e2時f（x）在區(qū)間（0，2）上有極小值f（lna）=a﹣alna﹣1．…（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，f（x）=ex﹣x﹣1在x=ln1=0處取得最小值0，即恒有f（x）=ex﹣x﹣1≥0，即ex≥x+1．…當(dāng)x＞﹣1時，兩邊取對數(shù)可得，x≥ln（x+1）（當(dāng)x=0時等號成立）…令，則，即…∴，故．…19.在2016年6月英國“脫歐”公投前夕，為了統(tǒng)計該國公民是否有“留歐”意愿， 該國某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)抽查了50名不同年齡層次的公民，調(diào)查統(tǒng)計他們是贊成 “留歐”還是反對“留歐”．現(xiàn)已得知50人中贊成“留歐”的占60%，統(tǒng)計情況如下表：年齡層次贊成“留歐”反對“留歐”合計18歲—19歲

6

50歲及50歲以上10

合計

50（1）請補(bǔ)充完整上述列聯(lián)表；（2）請問是否有97．5%的把握認(rèn)為贊成“留歐”與年齡層次有關(guān)？請說明理由．參考公式與數(shù)據(jù)：

，其中

0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828

參考答案：（1）（6分）（2）證明:要證只需證只需證只需證只需證只需證,而顯然成立所以（12分）20.已知等差數(shù)列中滿足，．（1）求和公差；（2）求數(shù)列的前10項的和．參考答案：（1）由已知得………………3分所以………………5分（2）由等差數(shù)列前項和公式可得…………8分所以數(shù)列的前10項的和為……………………10分21