2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市尚志一曼中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）A． B． C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，分別計(jì)算側(cè)面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故選：B．2.等差數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點(diǎn)，則=（

）A.

B.

C. D.參考答案：A略3.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“禾蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈L2h．它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3．那么，近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】用L表示出圓錐的底面半徑，得出圓錐的體積關(guān)于L和h的式子V=，令=L2h，解出π的近似值．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的底面周長L=2πr，∴r=，∴V==．令=L2h，得π=．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．4.表面積為

的正八面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.是的_____________條件A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要參考答案：A6.一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圓：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則在前2012個圓中共有●的個數(shù)是（）A．61

B．62

C．63

D．64參考答案：A略7.函數(shù)的最大值與最小值之和為(

)

(A)(B)0(C)－1(D)參考答案：A當(dāng)時(shí)，，，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以最大值和最小值之和為，選A.8.已知A、B是一銳角三角形兩內(nèi)角，直線l過P（1，0），以為其方向向量，則直線l一定不通過(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；直線與圓．【分析】根據(jù)題意得出A+B＞，sinA＞cosB，sinB＞cosA，再由方向向量得出直線l的斜率k＜0，即可判斷直線l不過第三象限．【解答】解：∵A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，∴A+B＞，A＞﹣B，B＞﹣A，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，sinB＞sin（﹣A）=cosA，∴sinB﹣cosA＞0，cosB﹣sinA＜0；又方向向量=（1，），∴直線l的斜率k=＜0，且過點(diǎn)P（1，0），則直線l不過第三象限．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了直線的方向向量應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式應(yīng)用問題，方向向量是與直線平行或在直線上的非零向量，是基礎(chǔ)題目．9.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則的值為（

）（A）4

（B）5

（C）

6

（D）7參考答案：B試題分析：設(shè)數(shù)列的公比為q，∴，∵，∴，∴，解得或（舍），∴，∵，∴，∴，解得，故選B.考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.10.“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若，則∠C的大小為

．參考答案：∵∴根據(jù)正弦定理可得∵∴，即∵∴故答案為.

12.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的值分別為______________．參考答案：13.如圖是一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線部分為半圓，尺寸如圖，則該幾何體的體積為

．

參考答案：10π+40【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體為半圓柱與三棱柱的組合體，分別計(jì)算他們的體積即可．【解答】解：由三視圖可知該幾何體為半圓柱與三棱柱的組合體，半圓柱底面半徑為2，高為5，三棱柱底面三角形一邊長為4，該邊上的高為4，三棱柱的高為5．∴V=×π×22×5+=10π+40．故答案為10π+40．【點(diǎn)評】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14.已知圓C：x2+y2﹣6x+8=0，若直線y=kx與圓C相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k=．參考答案：﹣

【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】求出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式=1，解得k=，再根據(jù)切點(diǎn)在第四象限加以檢驗(yàn)，可得答案．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣6x+8=0的圓心為（3，0），半徑r=1∴當(dāng)直線y=kx與圓C相切時(shí)，點(diǎn)C（3，0）到直線的距離等于1，即=1，解之得k=∵切點(diǎn)在第四象限，∴當(dāng)直線的斜率k=時(shí)，切點(diǎn)在第一象限，不符合題意直線的斜率k=﹣時(shí)，切點(diǎn)在第四象限．因此，k=﹣故答案為：﹣【點(diǎn)評】本題給出直線與圓相切，在切點(diǎn)在第四象限的情況下求直線的斜率k，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．15.已知等差數(shù)列

的前n的和為，且,則取得最大值時(shí)的n=

.參考答案：20由得。由，得，所以解得。所以，由得，，所以當(dāng)，，所以前20項(xiàng)之和最大，此時(shí)。16.【文科】若、是橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)，則的最小值為

.參考答案：1根據(jù)橢圓的方程可知，所以，所以。設(shè)，即，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為1.17.已知函數(shù)，關(guān)于的方程，給出下列四個命題：①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個不同的實(shí)根.其中真命題的序號為______

_____．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x﹣．（I）求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)的個數(shù)；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零點(diǎn)，從而x＞0時(shí)，f（x）=x（x2﹣1﹣），設(shè)φ（x）=，利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)判定定理可求函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)；（Ⅱ）化簡得g（x）=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)得g'（x）=，令h（x）=x2﹣（2+a）x+1，則問題轉(zhuǎn)化為h（x）=0有兩個不同的根x1，x2，從而△=（2+a）2﹣4＞0，且一根在（0，）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x1＜，再由x1x2=1，得0＜x1＜＜e＜x2，根據(jù)零點(diǎn)判定定理可知只需h（）＜0，由此可求a的范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x2），y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x1），由（Ⅱ）同時(shí)可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），故g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），令k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，利用導(dǎo)數(shù)可判斷k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，從而有k（x）＞k（e），整理可得結(jié)論；解答：解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一個零點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x2﹣1﹣），設(shè)φ（x）=，φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．又φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，故φ（x）在（1，2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，因此y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有2個零點(diǎn)；（Ⅱ）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），則g'（x）===，設(shè)h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函數(shù)y=g（x）在（0，）內(nèi)有極值，則h（x）=0有兩個不同的根x1，x2，∴△=（2+a）2﹣4＞0，得a＞0或a＜﹣4，且一根在（0，）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x1＜，又x1x2=1，∴0＜x1＜＜e＜x2，由于h（0）=1，則只需h（）＜0，即+1＜0，解得a＞e+﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x2，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，故y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x2），即t∈（1，+∞）時(shí)，g（t）≥g（x2），又當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（x1，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，故y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x1），即對任意s∈（0，1），g（s）≤g（x1），由（Ⅱ）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），因此，g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），設(shè)k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，k'（x）=+1+＞0，∴k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故k（x）＞k（e）=2+e﹣，即g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求比較高．19.已知直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)將直線向右平移h個單位，所對直線與圓C相切，求h．參考答案：20.已知函數(shù)f（x）=（|x|﹣b）2+c，函數(shù)g（x）=x+m．（1）當(dāng)b=2，m=﹣4時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（2）當(dāng)c=﹣3，m=﹣2時(shí)，方程f（x）=g（x）有四個不同的解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）將b=2，m=﹣4代入函數(shù)解析式，根據(jù)f（x）≥g（x）恒成立將c分離出來，研究不等式另一側(cè)函數(shù)的最大值即可求出c的取值范圍；（2）將c=﹣3，m=﹣2代入函數(shù)解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四個不同的解，然后轉(zhuǎn)化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有兩個不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有兩個不同解，最后根據(jù)根的分布建立關(guān)系式，求出b的取值范圍．【解答】解：（1）∵當(dāng)b=2，m=﹣4時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函數(shù)的性質(zhì)得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四個不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有兩個不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有兩個不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．21.甲、乙兩人參加某種選拔測試．在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的5道題．規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，至少得15分才能入選．（Ⅰ）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）確定乙答題所得分?jǐn)?shù)的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，求出甲、乙入選的概率，利用對立事件，即可求得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為﹣15，0，15，30．；

；；

．

…乙得分的分布列如下：X﹣1501530P．

…（6分）（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，記甲入選為事件A，乙入選為事件B．則，…（8分）．

…（10分）