建立數(shù)學(xué)模型41、俯仰終宇宙，不樂復(fù)何如。42、夏日長抱饑，寒夜無被眠。43、不戚戚于貧賤，不汲汲于富貴。44、欲言無予和，揮杯勸孤影。45、盛年不重來，一日難再晨。及時當勉勵，歲月不待人。建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型41、俯仰終宇宙，不樂復(fù)何如。42、夏日長抱饑，寒夜無被眠。43、不戚戚于貧賤，不汲汲于富貴。44、欲言無予和，揮杯勸孤影。45、盛年不重來，一日難再晨。及時當勉勵，歲月不待人。數(shù)學(xué)模型通過抽象和化簡，使用數(shù)學(xué)語言，對實際問題的一個近似描述，以便于人們更深刻地認識所研究的對象。。例1：牛頓定律假設(shè)：1.物體為質(zhì)點，忽略物體的大小和形狀。2.沒有阻力、摩擦力及其他外力。令x(t)表示在t時刻物體的位置,則數(shù)學(xué)模型的特征1.實踐性：有實際背景，有針對性。接受實踐的檢驗。2.應(yīng)用性：注意實際問題的要求。強調(diào)模型的實用價值。3.綜合性：數(shù)學(xué)知識的綜合。模型的綜合。例1.賽程安排五支球隊在同一場地上進行單循環(huán)比賽。共進行十場比賽。如何安排賽程對各隊來說都是公平的。

B1C92D357E68104ABCD12345678910ABBCADDEBDAECDBEACCE間隔場次數(shù)

ABCDE104012210122011問題：賽程如何做到公平安排？

如何安排比賽的賽程，使相鄰比賽各隊最小的間隔場次達到可能的最大？

n支球隊比賽的最少相隔場次的上限

1.n=2k+1，共賽N=n(n-1)/2=

k(2k+1)場.

考查其中k+1場比賽,有2(k+1)=n+1支球隊參賽,其中至少有一個隊參賽兩次,為A隊.

這個隊的兩場比賽相隔場次最多時為第1場和第k+1場,

相隔的場次為r=k-1=(n-3)/2.

2.n=2k(偶數(shù)),共賽n(n-1)/2=k(2k-1)場.

考查其中k+1場比賽,共有2k+2=n+2支球隊參賽,

其中至少有兩個隊重復(fù)參賽,為A隊,B隊.

使A,B兩個隊至少的相隔場次最多的安排為:

若A,B兩隊在這k次比賽中不相遇,則

{A隊:a1=1,a2=k,B隊:b1=2,b2=k+1}或

{A隊:a1=2,a2=k+1,B隊:b1=1,b2=k}

相隔場次為r=k-2=n/2-2=(n-4)/2.

若A,B兩隊在這k次比賽中相遇,則

{A隊:a1=1,a2=k,B隊:b1=1,b2=k+1}或

{A隊:a1=1,a2=k+1,B隊:b1=1,b2=k}

相隔場次為r=k-2=n/2-2=(n-4)/2.

綜合上述結(jié)果,有各隊每兩場比賽至少相隔場次的上限應(yīng)該為

r=[(n-3)/2]例2：交通路口紅綠燈十字路口綠燈亮15秒，最多可以通過多少輛汽車？

假設(shè)1.車輛相同，從靜止開始做勻加速動。2.車距相同，啟動延遲時間相等。3.直行，不拐彎，單側(cè)，單車道。4.秩序良好，不堵車。車長L，車距D，加速度a，啟動延遲T時間t，車位Sn（t）模型1.停車位模型：Sn(0)=–(n-1)(L+D)2.啟動時間:tn=nT3.行駛模型:Sn(t)=Sn(0)+1/2a(t-tn)2,t>tn4.限速行駛:

tn*=a/v*+tn

Sn(t)=Sn(0)+1/2a(tn–tn*)2+v*(t-tn*),t>tn*

=Sn(0)+1/2a(t-tn)2,tn*>t>tn

=Sn(0)tn>t參數(shù)估計L=5m，D=2m，T=1s，v*=40km/h=1.1m/sa=2.6m/s2≈2m/s2.汽車12345678位置(m)124.6110.588.459.241.123.04.9-13.215秒的綠燈可以通過7輛汽車

如果這個模型經(jīng)檢驗與實際情況沒有明顯的不同。那么就可以使用這個模型對這個十字路口的車流量的情況進行更深入分析，提取進一步的信息。我們可以考慮每一輛汽車到達交通路口的停車線的時間。令第n輛汽車到達坐標原點O的時刻為tO(n)。這時應(yīng)該有Sn(tO)=0。根據(jù)模型在停車線處將有如下的關(guān)系注意到子模型中關(guān)于Sn(0),tn和tn*

的表達式，并且將tO

解出來，可锝利用前面得到的參數(shù)的估計值就可以算出每輛汽車到達O點的時刻。再計算出每輛汽車到達最高限速的時刻tn*與之相比較n12345678tn*6.57.58.59.510.511.512.513.5tO(n)14.66.748.5810.2913.1814.8116.44，我們發(fā)現(xiàn)在穿過路口的這七輛汽車當中前五兩汽車在還沒有到達最高的限速之前就已經(jīng)進入路口了。真正以最高的限速穿過路口的汽車只有最后的兩輛。顯然這樣的交通燈控制策略對于路口的利用率是不高的。

例3.生豬飼養(yǎng)

一頭重量是100kg的豬，在上一周每天增重約2kg。五天前售價為7.8元/kg，但現(xiàn)在豬價下降到7.5元/kg，飼料每天需花費7.1元。前期投入約500元求出售豬的最佳時間。假設(shè)

1.出售前，豬每天增重相同。2.豬的售價每天降低的數(shù)量相同

3.用于豬飼料的花費每天不變4.豬在飼養(yǎng)和出售期間內(nèi)不再有其他的花費

變量和參量：飼養(yǎng)時間t(日),豬的重量w(t)(kg),售價p(t)元/kg售豬所獲得的總收益R(t)(元)，t天內(nèi)飼料的總花費C(t)(元)，最終獲得的凈收益P(t)(元)。豬的現(xiàn)價p0(元/kg),售價日減少量r(元/kg)，豬的初重w0(kg)，豬的日增重量g(kg/日)，每天飼料的花費k(元)，前期投入c0（元）。

模型：

重量w(t)=w0+gt,單價p(t)=p0–rt,總花費C(t)=c0+kt,總收益R(t)=p(t)w(t)凈收益的模型P=R(t)–C(t)=(p0-rt)(w0+gt)-(c0+kt)參數(shù)估計w0=100,g=2,p0=7.5,r=0.06,k=7.1,k0=500P(t)=R(t)–C(t)=(7.5－0.06t)(100+2t)－(500+7.1t)

P(t)=250+1.9t–0.12t2.

問題：求售豬的時間t使凈收益P(t)最高

P(t)=250+1.9t–0.12t2.則有t=1.9/(2×0.12)得t=7.9≈8(日)

P(8)=250+1.9×7.9－0.12×7.92=257.52結(jié)論：飼養(yǎng)8天然后出售,凈收益最高為257.52元結(jié)論可靠嗎？分析1.參數(shù)r,g的變化對售豬時間t的影響

價格變化率r對售豬時間t的影響.

價格p(t)=7.5–rt,

凈收益P(t)=(7.5-rt)(100+2t)-(500+7.1t)

最大值點t=(7.9-100r)/(4r)

-5%-1%+1%+5%

r0.0570.05940.060.06060.063t9.748.257.927.596.35

23%4.2%-4.2%-19.8%增重率g對售豬時間t的影響.

重量w(t)=100+gt

凈收益P(t)=(7.5-0.06t)(100+gt)-(500+7.1t)

最大值點t=(7.5g–13.1)/(0.12g)

-5%-1%+1%+5%

g1.91.9822.022.1t5.047.377.928.4610.51-36.6%-6.9%06.8%32.7%r,g的變化對售豬的時間的影響是靈敏的將上面的分析過程進一步數(shù)學(xué)化，如果參數(shù)r改變了△r，將導(dǎo)致售豬的時間t有△t的改變量。則它們的相對改變量的比值是△t/t與△r/r之比。令△r→0，按照導(dǎo)數(shù)的定義，則有

我們稱這個極限值為模型值t隨參數(shù)r變化的靈敏度，記為S(t,r)。P=R(t)–C(t)=(p0-rt)(w0+gt)-(c0+kt)

=(p0w0-c0)+(p0g-w0r-k)t-grt2最大值點最優(yōu)凈收益由于售豬時間與增重量的關(guān)系為t=(7.5g–13.1)/(0.12g)。故可以算出在g=2附近，t關(guān)于g的靈敏度為

它表明，生豬的日增重量每增加1%，將導(dǎo)致售豬時間要延長6.89%。參數(shù)值的變化對于售豬的最優(yōu)時間的影響是很靈敏的。如果要得到準確的生豬最優(yōu)的出售時間，需要求更加準確地估計參數(shù)r和g的數(shù)值。2.參數(shù)r,g的變化對凈收益P的影響固定生豬日增重量g=2kg，價格變化r在對售豬得到的凈收益的影響。有

P(t,r)=(7.5–rt)(100+2t)-(500+7.1t)=250+(7.9–100r)t–2rt2由于隨著r的不同最優(yōu)售豬的時間會發(fā)生變化模型為t=(7.9-100r)/(4r)。隨著r的變化，在最優(yōu)售豬時間出售生豬時得到的凈收益為P關(guān)于r的靈敏度為當模型的參數(shù)r和g在我們設(shè)定的數(shù)值附近變化時，盡管生豬出售的最優(yōu)時間會有很大的變化，但所得到的凈收益的變化是不大的。這兩個參數(shù)每改變1%的大小，僅使得凈收益有0.275%和0.432%的變化。絕對的數(shù)值為257.32元×0.275%=0.77元和257.32元×0.432%=1.11元的變化。在前面關(guān)于關(guān)于生豬生長和銷售情況線性變化的假設(shè)下盡管對參數(shù)所作的估計雖然不是完全準確的，但是是可靠的。關(guān)于豬的重量增加和價格降低是線性函數(shù)的假設(shè)不總是成立的。但是我們確信，如果沒有什么意外，在短時間內(nèi)它們的變化率w’

和p’

的變化就不會太大。短時間內(nèi)模型關(guān)于線性函數(shù)的假設(shè)是近似成立的。這時如果參數(shù)發(fā)生較大的變化，例如g或r有5%的改變令g=(1.9，2，2.1)，r=(0.057,0.06,0.063)將他們配成不同的組合代入模型中，并且使用計算機繪出凈收益隨時間變化的圖像，(2,0.06)(2.1,0.057)(2,0.057)(2.1,0.06)(2,0.06)(2，0.063)(1.9,006)(1.9,0.063)可以看出，當豬的增重量g＜2，售價的減少量r＞0.06時生豬的最優(yōu)出售時間均處于8天之前，其最優(yōu)的凈收益值均低于參數(shù)組（2，0.06）時的凈收益257.52元。但是差別很小，不超過2元。如果在這段時間內(nèi)內(nèi)w’和p’不能近似為定常的數(shù)值，可以直接使用凈收益值P(t)=w(t)p(t)