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s43若干矩陣運(yùn)算矩陣的跡和行列式1矩陣的跡(trace)①定義:設(shè)A是一個(gè)方陣,則A的跡定義為其對(duì)角元之和,用trA表示trA=∑A②跡的主要性質(zhì):tr(aB)=tr(BA)2行列式①定義:A的行列式是將矩陣A的各元看成是一個(gè)行列式的相應(yīng)各元時(shí)這個(gè)行列式的值用detA表示。detA=∑mmA1A243…Aahe.=∑nAA21A…AmN是矩陣的階。式中E的定義為1若abc..n是123..N的偶置換Eabe-n={-1若abec.n是123.N的奇置換0其它情況原予1232311232次→偶而323置換3次>奇置換2根據(jù)這個(gè)定義可知,取N個(gè)屬于不同行和列元素乘在一起并冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào),將所有可能的這種乘積加起來就是行列式的值②行列式最重要的性質(zhì)det(AB)=det(A).det(B)TiE]dete(AB)=∑caen(AB)a1(AB)b2…(AB)=∑Em∑ABa∑A,B2…∑A,B,NB將a按照從小置換排列,有三∑(Abe,n,detA)B1B=detA∑EbmB1B2…BN=dctAdctB二、矩陣的相似變換1.定義方陣A用幺正矩陣U所作的如下變換A→U-AL稱為相似變換。有兩矩陣A,B,若有U存在,使得B=U-AU則稱AB相似。算符的表象變換就是相似變換相似變換的性質(zhì):若A,B二矩陣相似,則trA=trBdet(A)=det(B)由于算符的表象變換是相似變換,我們定義:個(gè)算符A的跡和行列式為A在任何表象中的矩陣的跡和行列式3.關(guān)于相似變換的一個(gè)定理定理:任何厄米矩陣都可以通過相似變換(實(shí)際上是幺正變換)成為對(duì)角矩陣[證設(shè)在n維空間中取定一個(gè)確定的表象后,厄米矩陣A便成為某一厄米算符A的表示矩
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