圓重點定理和輔助圓模型（50題）（原卷）題型1：垂徑定理1．如圖，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，∠ABC＝25°，則弧CD的度數(shù)（）A．50° B．25° C．100° D．65°2．如圖，在⊙O中，弦AB的長是cm，弦AB的弦心距為6cm，E是⊙O優(yōu)弧AEB上一點．則∠AEB的度數(shù)為（）A．60° B．45° C．30° D．80°4．如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為點E，∠D＝22.5°，AB＝8，則DE的長為．5．如圖，AB是⊙O的弦，連接BO，作AC⊥BO交BO的延長線于點C，已知OC＝，BO＝2，點D是的中點，連接CD，則CD的長為．6．如圖，在⊙O中，AB，AC為弦，CD為直徑，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF與CD相交于G．（1）求證：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半徑．7．如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補，求弦BC的長．題型2：圓周角定理8．如圖，AB是⊙O的直徑，P是⊙O上一點，若∠PAB＝32°，則∠PBA的度數(shù)是（）A．68° B．58° C．60° D．64°9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點，點B是的中點，則∠ABE的度數(shù)是（）A．13° B．16° C．18° D．21°10．如圖，AB過半⊙O的圓心O，過點B作半⊙O的切線BC，切點為點C，連結AC，若∠A＝25°，則∠B的度數(shù)是（）A．65° B．50° C．40° D．25°11．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D位于直徑AB的兩側(cè)．若∠ABC＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．60° D．45°12．如圖，點A為⊙O上一點，AB為⊙O的切線，∠CAB＝30°，直徑CD＝2，則劣弧AD的長是．13．如圖，點A，B，C是⊙O上的三點．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為．14．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且在AB異側(cè)，連接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，則∠D的大小是．15．如圖，已知點A、B、C、D在圓O上，，∠CAD＝35°，∠ACD＝60°，則∠AOB＝．16．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線CD互相垂直，垂足為D．求證：∠CAD＝∠CAB；題型3：切線長定理18．如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，則弦AB的長是（）A． B． C．5 D．519．如圖，直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，則BE+CG的長等于（）A．13 B．12 C．11 D．1020．如圖，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點分別為E，C，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．21．如圖，三個半徑為的圓兩兩外切，且△ABC的每一邊都與其中的兩個圓相切，那么△ABC的周長是（）A．12+6 B．18+6 C．18+12 D．12+1222．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為△ABC的內(nèi)切圓圓心，則陰影部分的面積為（）A．2π B． C． D．23．已知如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB＝9cm，BC＝15cm，CA＝12cm．求AF，BD，CE的長．24．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．30﹣4π B．30﹣4π C．60﹣16π D．30﹣16π25．如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為cm．26．如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD分別與⊙O相切于點C，D，若∠CPA＝40°，則∠CAD的度數(shù)為．題型4：切線的判定27．如圖，AB是圓O的一條弦，點E是劣弧AB的中點，直線CD經(jīng)過點E且與直線AB平行，證明：直線CD是圓O的切線．28．如圖，CD是⊙O的直徑，并且AC＝BC，AD＝BD．求證：直線AB是⊙O的切線．29．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連接AD，求證：DE是⊙O的切線．30．如圖，AB為⊙O直徑，AB＝AC，BC與⊙O交于D，且DE⊥AC．求證：DE是⊙O切線．31．如圖，已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓，AB是⊙O的直徑，BC＝CD，過點C作PM⊥AD交AD的延長線于點M，交AB的延長線于點P．（1）求證：PM是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AD＝6，求CM的長．32．如圖，AB是⊙O的直徑點F、C是半圓弧ABC上的三等分點，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D，垂足為D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，求CD的長．33．如圖，已知AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一點，連接PB，AB，OB，且∠PBA＝∠ACB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）連接OP，若AP＝BP，且OP＝8，⊙O的半徑是2，求△OAP的面積．34．如圖已知AB是⊙O的直徑，AB＝10，點C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）求AD的長．35．如圖，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上的一點，OC∥AD交⊙O于點E，點F在CD的延長線上，∠BOC+∠ADF＝90°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB＝6，CD＝4，求CE．題型5：輔助圓-定點定圓（提升）36．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交x軸上點C，則點C的坐標為（）A．（5，0） B．（2，0） C．（﹣8，0） D．（2，0）或（﹣8，0）37．如圖，點A，B的坐標分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為．38．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，則∠BAD＝．39．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．41．在四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，則BD長為多少．題型6：輔助圓-定弦定角（提升）42．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣443．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P從C點出發(fā)，沿CB運動到點B停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q，點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．44．如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．245．如圖，點A是半徑為8的圓O上一定點，點B是圓O上一動點，點P是弦AB的中點，則點B繞圓周運動一周，點P所經(jīng)過的路徑長為（）A．4 B．8 C．4π D．8π46．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當線段DP最短時，CP＝．題型7：輔助圓-對角互補（提升）47．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為．48．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E為BC上一點，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，則AD的長．4