對流擴(kuò)散方程的離散格式1第1頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.1對流項離散格式的重要性

及兩種離散方式一、對流項離散格式的重要性

1、數(shù)值解的準(zhǔn)確性（假擴(kuò)散）

2、數(shù)值解的穩(wěn)定性

3、數(shù)值解的經(jīng)濟(jì)性二、構(gòu)造離散格式的兩種方式

1、Taylor展開法

2、控制容積積分法

兩種定義截差階數(shù)一致，但截差首項系數(shù)有所不同。2第2頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.2對流項的中心差分與迎風(fēng)格式一、一維對流-擴(kuò)散問題模型方程的精確解邊界條件：3第3頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一、一維對流-擴(kuò)散問題模型方程的精確解（續(xù)）Peclet數(shù)：Pe表示對流與擴(kuò)散作用的相對大小。004第4頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、對流項的中心差分對方程采用控制容積積分法記：F=ru

通過界面的流量。界面上單位面積擴(kuò)散阻力的倒數(shù)(擴(kuò)導(dǎo))。5第5頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、對流項的中心差分（續(xù)）在數(shù)值計算過程中，如果連續(xù)性方程始終得到滿足，則：在求解過程中，始終保持連續(xù)性方程滿足非常重要。常物性條件下均分網(wǎng)格：6第6頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、對流項的中心差分（續(xù)）例：在一維模型方程離散求解的均分網(wǎng)格中，已知fW=100，fE=200。試對PD

=0，1，2及4四種情況按中心差分格式計算fP之值。負(fù)系數(shù)會導(dǎo)致物理上不真實的解。7第7頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、對流項的迎風(fēng)格式Taylor展開法控制容積積分法

e界面

w界面8第8頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、對流項的迎風(fēng)格式（續(xù)）

e界面

w界面9第9頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、對流項的迎風(fēng)格式（續(xù)）迎風(fēng)格式離散形式：10第10頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、中心差分與一階迎風(fēng)格式的討論1、對流項中心差分在不發(fā)生振蕩的參數(shù)范圍內(nèi)，比一階迎風(fēng)格式的誤差更小。2、一階迎風(fēng)格式離散方程系數(shù)永遠(yuǎn)大于零，不會引起解的振蕩，得到物理上看似合理的解。3、一階迎風(fēng)格式截差階數(shù)低，除非采用相當(dāng)密的網(wǎng)格，否則計算結(jié)果的誤差較大。4、一階迎風(fēng)格式的啟示：應(yīng)當(dāng)在迎風(fēng)方向取更多的信息構(gòu)造格式，更好地反映對流過程的物理本質(zhì)。5、在調(diào)試程序或計算的中間過程仍可以采用一階迎風(fēng)格式。11第11頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.3對流-擴(kuò)散方程的混合格式及乘方格式一、系數(shù)aE與aW之間的內(nèi)在聯(lián)系

aE(i)與aW(i+1)共享同一個界面。對流項中心差分：對流項一階迎風(fēng)：12第12頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、混合格式(Spalding,1971)13第13頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、指數(shù)格式利用精確解得到相鄰節(jié)點間符合精確解的關(guān)系式。14第14頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、指數(shù)格式（續(xù)）15第15頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、乘方格式(Patankar,1979)16第16頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月五、5種3點格式系數(shù)匯總只需給出定義式格式定義中心差分迎風(fēng)格式混合格式乘方格式指數(shù)格式17第17頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.4對流-擴(kuò)散方程5種3點格式系數(shù)特性的分析總通量密度J：單位時間內(nèi)、單位面積上由擴(kuò)散及對流作用而引起的某一物理量的總轉(zhuǎn)移量。一、通量密度及其離散表達(dá)式18第18頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一、通量密度及其離散表達(dá)式（續(xù)）J*的離散表達(dá)式：

BehindAhead

界面后的項界面前的項以坐標(biāo)軸正方向為依據(jù)的“前”、“后”。19第19頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、系數(shù)A、B間的關(guān)系1、和差特性當(dāng)時，界面上的擴(kuò)散通量為零，于是：20第20頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、系數(shù)A、B間的關(guān)系（續(xù)）2、對稱特性坐標(biāo)系I：坐標(biāo)系II：因為：于是：21第21頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、系數(shù)A、B間的關(guān)系（續(xù)）指數(shù)格式系數(shù)A、B間的關(guān)系22第22頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、系數(shù)特性的重要推論和差特性：對稱特性：重要推論：對5種3點格式的任何一種，若在PD>0時，A(PD)的計算式為已知，則在的范圍內(nèi)A(PD)、B(PD)的計算式均可得出。23第23頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、系數(shù)特性的重要推論（續(xù)）證明：24第24頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、aE、aW的通用表達(dá)式J通量密度守恒方程25第25頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、aE、aW的通用表達(dá)式（續(xù)）不同格式的區(qū)別僅在于的計算式不同。26第26頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月五、5種3點格式的格式中心差分迎風(fēng)格式1混合格式乘方格式指數(shù)格式27第27頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月五、5種3點格式的（續(xù)）28第28頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月1、從一維到多維的推廣在每一個坐標(biāo)方向上都按一維問題處理。2、所得出的系數(shù)表達(dá)式便于編制通用性程序，由專用模塊處理。3、利用aE(i)與aW(i+1)間的關(guān)系，可以節(jié)省計算系數(shù)的工作量。六、關(guān)于格式定義與系數(shù)特性的說明29第29頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.5關(guān)于對流項離散格式假擴(kuò)散特性的討論一、假擴(kuò)散的含義本來含義：對流-擴(kuò)散方程中一階導(dǎo)數(shù)項的離散格式的截斷誤差小于二階而引起較大數(shù)值計算誤差。分析：純對流方程，顯式，F(xiàn)UD30第30頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一、假擴(kuò)散的含義（續(xù)）假擴(kuò)散系數(shù)31第31頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月一、假擴(kuò)散的含義（續(xù)）拓寬含義：由以下三種原因引起的數(shù)值計算誤差。

1、非穩(wěn)態(tài)項或?qū)α黜棽捎靡浑A截差的格式

2、流動方向與網(wǎng)格線呈傾斜交叉（多維問題）。

3、建立差分格式時沒有考慮到非常數(shù)源項的影響。32第32頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、由于一階導(dǎo)數(shù)截差階數(shù)低而引起的假擴(kuò)散一維無源項穩(wěn)態(tài)模型方程33第33頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月二、由于一階導(dǎo)數(shù)截差階數(shù)低而引起的假擴(kuò)散（續(xù)）一維非穩(wěn)態(tài)對流問題流向擴(kuò)散34第34頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、流速與網(wǎng)格線傾斜交叉引起的假擴(kuò)散物理問題不考慮擴(kuò)散作用的結(jié)果交叉擴(kuò)散35第35頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、由非常數(shù)源項引起的假擴(kuò)散帶源項的模型方程兩點邊值問題36第36頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月五、低階格式引起顯著數(shù)值計算誤差的例子Smith-Hutton問題出口截面結(jié)果乘方格式QUICK格式37第37頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月五、低階格式引起顯著數(shù)值計算誤差的例子(續(xù))FUDHDPLDQUICK方腔自然對流寬高比：33Grashof數(shù)：950038第38頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.6可以克服或減輕假擴(kuò)散的格式或方法一、采用高階格式以有效地克服流向擴(kuò)散

1、二階迎風(fēng)格式（SUD）

2、三階迎風(fēng)格式（TUD）

3、QUICK格式

4、SGSD格式二、減輕或克服交叉擴(kuò)散的方法

1、對一階迎風(fēng)格式采用有效擴(kuò)散系數(shù)

2、采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)

3、采用斜中心差分39第39頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二階迎風(fēng)格式（SUD）二階精度，絕對穩(wěn)定40第40頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月2、三階迎風(fēng)格式（TUD）三階精度，條件穩(wěn)定41第41頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月3、QUICK格式三階精度，條件穩(wěn)定三階迎風(fēng)格式修正系數(shù)為1/642第42頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月4、SGSD格式

Stability-GuaranteedSecond-orderDifferencescheme至少二階精度，絕對穩(wěn)定β=0，二階迎風(fēng)β=1，中心差分β=3/4，QUICK對一維模型方程，當(dāng)β=2/3時，離散方程本身具有三階截差。43第43頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月5、采用高階格式時近邊界點的處理(1)在邊界上采用二次插值，設(shè)虛擬節(jié)點0，滿足：(2)采用一階迎風(fēng)或混合格式處理。44第44頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月6、高階格式所形成的離散方程的求解方法(1)交替方向五對角陣算法(PDMA)。(2)延遲修正方法。45第45頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.7對流-擴(kuò)散方程離散形式的穩(wěn)定性分析一、數(shù)值計算常見的不穩(wěn)定性問題

1、代數(shù)方程迭代求解過程的不穩(wěn)定性

2、初值問題顯式格式的不穩(wěn)定性

3、對流項離散格式的不穩(wěn)定性二、分析對流項離散格式不穩(wěn)定性的方法

1、正型系數(shù)法

2、離散方程精確解分析法

3、反饋靈敏度分析法

4、“符號不變”原則46第46頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月三、“符號不變”原則的基本思想1、穩(wěn)態(tài)非線性問題迭代一個層次相當(dāng)于線性非穩(wěn)態(tài)問題前進(jìn)一個時層。2、穩(wěn)定性是格式的固有屬性。3、用所研究的格式離散對流項，擴(kuò)散項采用中心差分，時間坐標(biāo)采用顯式格式。4、采用離散擾動分析法。47第47頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、“符號不變”原則的實施對流項取三階迎風(fēng)（設(shè)u>0）對節(jié)點i+1，不計擴(kuò)散項計入擴(kuò)散項滿足：48第48頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月四、“符號不變”原則的實施（續(xù)）對節(jié)點i-1，不計擴(kuò)散項計入擴(kuò)散項要求：49第49頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月五、穩(wěn)定性分析結(jié)果的討論1、如果對流項離散格式具有遷移特性，則該格式絕對穩(wěn)定。2、如果離散格式的表達(dá)式含有下游節(jié)點的值，則該格式不具有遷移特性，且是條件穩(wěn)定的。3、下游節(jié)點的系數(shù)越小，則其臨界Peclet數(shù)越大。一般是系數(shù)的倒數(shù)。

臨界Peclet數(shù)一階迎風(fēng)絕對穩(wěn)定中心差分2二階迎風(fēng)絕對穩(wěn)定三階迎風(fēng)3QUICK8/3SGSD絕對穩(wěn)定一維，線性，無源項，兩點邊值問題，均勻網(wǎng)格50第50頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月六、對流項離散格式性能小結(jié)1、截差越高的格式解的精度越高。2、準(zhǔn)確的格式往往條件穩(wěn)定。3、基于5個假設(shè)得到的穩(wěn)定性條件較苛刻。4、選用格式的建議：

(1)調(diào)試程序可以用FUD、PLD（乘方格式）

(2)不太復(fù)雜的問題用QUICK、SGSD(3)復(fù)雜問題用高階組合（高分辨率）格式（MUSCL、SMART、SECBC、STOIC等）51第51頁，課件共59頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.8多維對流-擴(kuò)散方程的離散

及邊界條件的處理一、二維對流-擴(kuò)散方程的離散質(zhì)量守恒方程100動量守恒u方程