彈性力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2023/8/141第1頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)標(biāo)量和矢量第二節(jié)笛卡爾張量第三節(jié)二階笛卡爾張量第四節(jié)高斯積分定理2023/8/142第2頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)標(biāo)量和矢量一、標(biāo)量和矢量的定義（definition）標(biāo)量（scalar）Ascalarisaquantitycharacterizedbymagnitudeonly,forexample:mass.矢量（vector）Avectorisaquantitycharacterizedbybothmagnitudeanddirection,suchasdisplacement,velocity.2023/8/143第3頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、矢量的表示大小和方向確定分量

AiscompletelydefinedbyitsmagnitudeAandbyitsthreedirectionanglesθ1,θ2andθ3矢量A在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影（分量）Ax1x2x3

1

2

3o2023/8/144第4頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分量（投影）確定矢量已知分量，矢量的大小和方向可由幾何關(guān)系得到Ax1x2x3

1

2

3o

ThethreecomponentsA1,A2,A3maybewrittensimplyasAi

withtherangeconvention,thatanysubscriptistotakeonthevalues1,2,and3unlessotherwisestated.

2023/8/145第5頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、坐標(biāo)變換（CoordinateTransformation）

考慮坐標(biāo)原點(diǎn)重合的直角坐標(biāo)系x

1,x

2,x

3和x1,x2,x3如圖所示。用aij表示新舊坐標(biāo)軸x

i和xj之間的夾角的余弦x2x1x3x

1x

2x

3TheCosineofTheAnglesBetweenx'iandxj

Axesx1x2x3x'1a11a12a13x'2a21a22a23x'3a31a32a33矢量在某軸上的投影=分量在同一軸投影的代數(shù)和2023/8/146第6頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

Usingtheaboverangeconvention,theseequationsmaybewrittenmorecompactlyas所以應(yīng)有關(guān)系x2x1x3x

1x

2x

3A矢量A向新坐標(biāo)軸x'1投影（類似于合力投影定理）2023/8/147第7頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記坐標(biāo)變換矩陣則有2023/8/148第8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

Wemayachieveafurthersimplificationbyadoptingthesummationconventionrequiringthattwice-repeatedsubscriptsinanexpressionalwaysimplysummationovertherange1-3.Inthiscase,wehaveItisimportanttonoticethattherepeatedsubscriptjinthisequationisaso-calleddummyindex,whichcanequallywellbereplacedwithanothersubscript,sayk.同理，可得到由新坐標(biāo)的分量表示舊坐標(biāo)系的分量2023/8/149第9頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、正交關(guān)系（OrthogonalityRelations）

Weintroducetheso-calledKroneckerdeltasymbolδijdefinedas

AnysetofvectorcomponentsAimaybewrittenas根據(jù)求和約定2023/8/1410第10頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Inasimilarway,wemayalsoobtainTheseequationsarereferredtoasorthogonalityrelations.ItthusfollowsthatAboveequationmaybeexpressedintheform2023/8/1411第11頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、矢量運(yùn)算（VectorOperations）矢量相加TheresultofadditionorsubtractionoftwovectorsAandBisdefinedtobeathirdvectorC矢量與標(biāo)量相乘

ThemultiplicationofascalarmandavectorAisdefinedtobeasecondvectorC2023/8/1412第12頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)矢量的標(biāo)量積（ScalarProductoftwovectors）ThescalarproductoftwovectorsAandBisexpressibleasAB

2023/8/1413第13頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)矢量的矢量積（VectorProductofTwoVectors）

ThevectorproductoftwovectorsAandBistobeathirdvectorCperpendiculartoAandB

whereedenotesunitvectoralongthevectorC,andi1,

i2,

i3areunitvectorsalongx1,x2andx3.ABC

2023/8/1414第14頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Ifthesymboleijk

isdefinedasfollows:

eijk=+1

fori=1,j=2,k=3oranyevennumberofpermutationsofthisarrangement(e.g.,e312)

eijk=-1

foroddpermutationsofi=1,j=2,k=3(e.g.,e132)

eijk=0

fortwoormoreindicesequal(e.g.,e113)

thecomponentsofvectorCcanbewrittenas利用符號(hào)eijk可以方便地表示3階行列式的值2023/8/1415第15頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)量三重積（ScalarTripleProduct）Thescalartripleproductorboxproduct[ABC]isascalarproductoftwovectors,inwhichanyvectorisavectorproductofothertwovectors,i.e.2023/8/1416第16頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)笛卡爾張量一、笛卡爾張量的定義一階笛卡爾張量ACartesiantensoroforderoneisdefinedasaquantityhavingthreecomponentsTiwhosetransformationbetweenprimedandunprimedcoordinateaxesisgovernedbyandAfirst-ordertensorisnothingmorethanavector.和2023/8/1417第17頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階笛卡爾張量Similarly,aCartesiantensorofordertwoisdefinedasaquantityhavingninecomponentsTijwhosetransformationbetweenprimedandunprimedcoordinateaxesisgovernedbytheequationsandoror2023/8/1418第18頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月高階笛卡爾張量Third-andhigher-orderCartesiantensorsaredefinedanalogously.零階笛卡爾張量ACartesiantensorofzerothorderisdefinedtobeanyquantitythatisunchangedundercoordinatetransformation,thatis,ascalar.2023/8/1419第19頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月IfAij

andBij

denotecomponentsoftwosecond-ordertensors,theadditionorsubtractionofthesetensorsisdefinedtobeathirdtensorofsecondorderhavingcomponentsCij

givenby二、笛卡爾張量的運(yùn)算（OperationofCartesianTensors）AdditionofCartesianTensorsTheadditionorsubtractionoftwoCartesiantensorsofthesameordertobeathirdCartesiantensorofthesameorder.2023/8/1420第20頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月MultiplicationofCartesianTensorsThemultiplicationofCartesiantensorscanbeclassifiedintotwocategories,outerproductsandinnerproducts.Theouterproductsoftwotensorsisdefinedtobeathirdtensorhavingcomponentsgivenbytheproductofthecomponentsofthetwo,withnorepeatedsummationindices.AninnerproductoftwoCartesiantensorsisdefinedasanouterproductfollowedbyacontractionofthetwo;thatis,byanequatingofanyindexassociatedwithonetensortoanyindexassociatedwiththeother.2023/8/1421第21頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階張量的商規(guī)則（QuotientRuleforSecond-OrderTensors）

Supposeweknowthefollowingequationtoapply

whereAi

denotescomponentsofanarbitraryvector,Bj

componentsofavector.Then,thequotientrulestatesthecomponentsTij

areindeedthecomponentsofasecond-orderCartesiantensor.書上有證明下一章要利用這個(gè)法則2023/8/1422第22頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量的定義定義（Definition）第三節(jié)二階笛卡爾張量

IfTij

=Tji

,thenthetensorissaidtobesymmetric.Ontheotherhand,ifTij

=-Tji

,thenthetensorissaidtobeantisymmetric.二階張量的九個(gè)分量可以用33矩陣表示：2023/8/1423第23頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題2.1試證明任意二階張量可以表示為對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量之和證：設(shè)Tij是任意二階張量的分量，則有其中二階對(duì)稱張量二階反對(duì)稱張量2023/8/1424第24頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證：例題2.2設(shè)Aij是二階對(duì)稱張量的分量，Bij是二階反對(duì)稱張量的分量，試證明關(guān)系A(chǔ)ijBij=0。因?yàn)樗运兄笜?biāo)都是啞指標(biāo)2023/8/1425第25頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月反對(duì)稱張量的分量（Anti-symmetricTensorComponents）Aspecialcharacteristicofananti-symmetirctensoristhatitsoperationonavectorisequivalenttoanappropriatelydefinedvector-productoperation.IfAidenotescomponentsofavectorandifTij

denotescomponentsofasecond-orderanti-symmetrictensor,thenwhereWjdenotesvectorcomponentsdefinedas2023/8/1426第26頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、對(duì)稱張量的特征值和特征矢量（EigenvaluesandEigenvectorsofSymmetricTensors）

Considertheequation

whereTij

denotescomponentsofasymmetrictensor,nidenotescomponentsofaunitvector,and

denotesascalar.Anynonzerovectornsatisfyingthisequationisknownasunit

eigenvectorofthetensorand

isknownaseigenvalue

.2023/8/1427第27頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ExpandtheequationandrearrangingtogetTheconditionforanontrivialsolutionofthesehomogeneousalgebraicequationsisthat2023/8/1428第28頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Equationyieldsthecubicequation

arecalledfirst,second,andthirdinvariantofthetensorT,respectively.where2023/8/1429第29頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月WhenthecomponentsTijarethoseofasymmetrictensor,itcaneasilybeshownthatcubicequationwillhavethreerealroots.Wedenotetheserootsby

(1),

(2),and

(3).Takingfirst

=

(1)intheequation,anytwoofthesethreeequationsandn(1)in(1)i=1canbesolvedforn(1)1,n(1)2andn(1)3,wheren(1)1,n(1)2,n(1)3denotethedirectioncosinesoftheeigenvectorassociatedwiththeeigen-value

(1).

Inasimilarway,wemayalsofindtwoadditionaluniteigenvectorsassociatedwiththeeigen-values

(2)and

(3).2023/8/1430第30頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Theabovethreeuniteigenvectorsaremutuallyperpendicularwhen

(1),

(2),and

(3)arealldistinct.Considertwouniteigenvectorsn(1)

andn(2)

.Thesesatisfyequation

Multiplyingthefirstoftheseequationsbyn(2)iandthesecondbyn(1)iandsubtracting,wehave2023/8/1431第31頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ThatisOninterchangingthedummyindicesiandjinthefirsttermontheleft-handsideofthisequation2023/8/1432第32頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月UsingTij=Tji,wefindthat

Hence,if

(1)

(2),thenn(1)i

n(2)i=0sothatn(1)

andn(2)arethereforeperpendicular.Asimilarargumentshowsalsothatn(1)

andn(3)andthatn(2)

andn(3)arealsoperpendicularprovided

(1)

(3)and

(2)

(3),respectively.2023/8/1433第33頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、對(duì)稱張量的主軸和主值（PrincipalAxesandPrincipalValuesofaSymmetricTensor）ChooseanewsetofCartesianaxesx

ihavingunitvectorsalongtheseaxescoincidentwiththeuniteigenvecotrs.Forthissystemofaxes,wehavex1x2x3x

1x

2x

3n(1)=i

1n(2)=i

2n(3)=i

32023/8/1434第34頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月i≠j：i=j：非對(duì)角線元素為零非零元素在對(duì)角線上，就是特征值2023/8/1435第35頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Inthissystemofso-calledprincipalaxesdefinedbytheuniteigenvectorsn(1)

,n(2),n(3)

,thetensorcomponentsarethereforeexpressibleas

ThediagonalcomponentsareknownasprincipalvaluesofsymmetrictensorT2023/8/1436第36頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Considerthecasewhereonlytwoeigenvalues,say

(1)and

(2),areequal.Wehave

providedonlythattheunitvectorsi

1,

i

2,i

3bechosensuchthati

3liesalongn(3)

andi

1and

i

2lieinanytwomutuallyperpendiculardirections.

2023/8/1437第37頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Considerfinallythecasewherealleigen-valuesareequal,say,to

(1).Wehave