歸納推理1/36哥德巴赫猜測

世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)覺，每個大于6偶數(shù)都是兩個素數(shù)（只能被1和它本身整除數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜測(a)任何一個≥6之偶數(shù)，都能夠表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。

(b)任何一個≥9之奇數(shù)，都能夠表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。

有些人對33×108以內(nèi)且大過6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗算，哥德巴赫猜測(a)都成立。2/36

當(dāng)前最正確結(jié)果是中國數(shù)學(xué)家陳景潤于1966年證實，稱為陳氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大偶數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)與一個自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個質(zhì)數(shù)乘積”,通常都簡稱這個結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”形式。1920年，挪威布朗證實了“9+9”。

1924年，德國拉特馬赫證實了“7+7”。

1932年，英國埃斯特曼證實了“6+6”。

………

………200年過去了，沒有些人證實它。哥德巴赫猜測由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有些人開始向它靠近。3/361637年，法國數(shù)學(xué)家費馬提出：“將一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)和，一個四次冪分為兩個四次冪和，或者普通地將一個高于二次冪分為兩個同次冪和，這是不可能.”費馬猜測數(shù)論中最著名世界難題之一

300多年來，這個問題吸引了很多優(yōu)異數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院曾于1816年和1850年兩次懸賞征解，德國也于1908年懸賞十萬馬克征解。

經(jīng)過三百多年來歷代數(shù)學(xué)家不停努力，劍橋大學(xué)懷爾斯終于1995年正式徹底處理這一大難題.4/361852年，弗南西斯·格思里搞地圖著色工作時，發(fā)覺了一個有趣現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都能夠用四種顏色著色，使得有共同邊界國家著上不一樣顏色?！?/p>

世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一四色猜測1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)兩臺不一樣電子計算機(jī)上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理證實。

不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計算機(jī)取得成就，他們還在尋找一個簡捷明快書面證實方法。5/36

這種由某類事物部分對象含有一些特征，推出該類事物全部對象都含有這些特征推理，或者由個別事實概括出普通結(jié)論推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.歸納推理部分整體個別普通

不完全歸納推理得到結(jié)論是否正確還有待嚴(yán)格證實,但它能夠為我們研究提供一個方向.歸納法又分為不完全歸納法和完全歸納法.6/36

例1.已知數(shù)列{an}第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數(shù)列通項公式.分別把n=1,2,3,4代入得:歸納:可用數(shù)學(xué)歸納法證實這個猜測是正確.取倒數(shù)得：解法2、結(jié)構(gòu)法7/36例2.如圖,在圓內(nèi)畫一條線段,將圓分成兩部分;畫兩條線段,彼此最多分割成4條線段,同時將圓分割成4部分;畫三條線段,彼此最多分割成9條線段,同時將圓分割成7部分.那么(1)在圓內(nèi)畫四條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?8/36(2)猜測:圓內(nèi)兩兩相交n(n≥2)條線段,彼此最多分割成

條線段?同時將圓分割成

部分?………累加得:9/36例3.有三根針和套在一根針上若干金屬片.按以下規(guī)則,把金屬片從一根針上全部移到另一根針上.1.每次只能移動一個金屬片;2.較大金屬片不能放在較小金屬片上面.試推測:把n個金屬片從1號針移到3號針,最少需要移動多少次?10/36n=1時,11/36n=2時,n=1時,12/36n=3時,n=2時,n=1時,13/36n=2時,n=1時,n=3時,14/36n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,15/36n=4時,n=3時,n=2時,n=1時,歸納:16/36例、數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1

，求通項公式an.an+1+1=2（an+1）數(shù)列{an+1}是首項為2公比為2等比數(shù)列結(jié)構(gòu)法17/36(春季上海)依據(jù)圖中5個圖形及對應(yīng)點個數(shù)改變規(guī)律,試猜測第n個圖形中有

個點.(1)(2)(3)(4)(5)練習(xí)18/36(年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線相互平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點個數(shù),則f(4)=

,當(dāng)n>4時,f(n)=

.(用n表示)累加得:19/36(年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓對稱軸方程.將上述命題在曲線依然為圓情況下加以推廣,即要求得到一個更普通命題,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題一個特例,推廣命題為：設(shè)圓方程為①(x-a)2+(y-b)2=r2與②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),則由①式減去②式可得上述兩圓對稱軸方程.20/36小結(jié)2.歸納推理普通步驟:(1)經(jīng)過觀察個別情況發(fā)覺一些相同性質(zhì);(2)從已知相同性質(zhì)中推出一個明確表示普通性命題(猜測).1.什么是歸納推理（簡稱歸納）?部分整體個別普通21/36練習(xí)1.已知數(shù)列{an}前n項和Sn,且計算S1,S2,S3,S4,并猜測Sn表示式.猜測:計算得:22/36復(fù)習(xí)2.歸納推理普通步驟:(1)經(jīng)過觀察個別情況發(fā)覺一些相同性質(zhì);(2)從已知相同性質(zhì)中推出一個明確表示普通性命題(猜測).1.什么是歸納推理?部分整體特殊普通23/361.工匠魯班類比帶齒草葉和蝗蟲牙齒,創(chuàng)造了鋸2.仿照魚類外型和它們在水中沉浮原理,創(chuàng)造了潛水艇.3.科學(xué)家對火星進(jìn)行研究,發(fā)覺火星與地球有許多類似特征:1)火星也繞太陽運行、饒軸自轉(zhuǎn)行星;2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更;3)火星上大部分時間溫度適合地球上一些已知生物生存,等等.科學(xué)家猜測;火星上也可能有生命存在.4.利用平面向量基本定理類比得到空間向量基本定理.24/36由兩類對象含有一些類似特征和其中一類對象一些已知特征,推出另一類對象也含有這些特征推理稱為類比推理.(簡稱:類比)類比推理幾個特點1.類比是從人們已經(jīng)掌握了事物屬性,推測正在研究事物屬性,是以舊有認(rèn)識為基礎(chǔ),類比出新結(jié)果.2.類比是從一個事物特殊屬性推測另一個事物特殊屬性.3.類比結(jié)果是猜測性不一定可靠,但它卻有發(fā)覺功效.類比推理25/36圓概念和性質(zhì)球概念和性質(zhì)與圓心距離相等兩弦相等與圓心距離不相等兩弦不相等,距圓心較近弦較長以點(x0,y0)為圓心,r為半徑圓方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2圓心與弦(非直徑)中點連線垂直于弦球心與不過球心截面(圓面)圓心連線垂直于截面與球心距離相等兩截面面積相等與球心距離不相等兩截面面積不相等,距球心較近面積較大以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑球方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圓性質(zhì)類比得出球性質(zhì)球體積球表面積圓周長圓面積26/36平面向量空間向量①②③④⑤⑥若，則

①②③④⑤⑥若，則

⑦⑦利用平面向量性質(zhì)類比得空間向量性質(zhì)27/36等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式前n項和利用等差數(shù)列性質(zhì)類比等比數(shù)列性質(zhì)28/36等差數(shù)列等比數(shù)列中項性質(zhì)n+m=p+q時,am+an=ap+aqn+m=p+q時,aman=apaq任意實數(shù)a、b都有等差中項，為當(dāng)且僅當(dāng)a、b同號時才有等比中項，為成等差數(shù)列成等比數(shù)列下標(biāo)等差,項等差下標(biāo)等差,項等比29/36例1.(年新課程)在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC兩邊AB、AC相互垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何勾股定理，研究三棱錐側(cè)面面積與底面面積關(guān)系，能夠得出正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐A-BCD三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則

.DABC30/36（廣東，15）由圖(1)有面積關(guān)系:則由圖(2)有體積關(guān)系:圖(1)圖(2)31/36平面與空間中余弦定理平面：三角形ABC中，空間：四面體A-BCD中，設(shè)二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C大小依次為32/36例2：(年全國)計算機(jī)中慣用十六進(jìn)位制是逢16進(jìn)1計算制，采取數(shù)字0-9和字母A-F共16個計數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制數(shù)對應(yīng)關(guān)系以下表；十六進(jìn)位０１２３４５６７十進(jìn)位０１２３４５６７比如用16進(jìn)位制表示Ｅ+Ｄ＝1Ｂ，則Ａ×Ｂ＝（）十六進(jìn)位８9ＡＢＣＤＥＦ十進(jìn)位８9101112131415Ａ