2021-2022學(xué)年江蘇省南京市部分學(xué)校(天印高級(jí)中學(xué)、

秦淮中學(xué)、臨江高級(jí)中學(xué)等)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知函數(shù)f(x)=cos2x,那么的值為()

A.-叵B.3C.V3D.-V3

22

2.設(shè)若直線匕：a%+2y—8=0與直線L：久+(a+l)y+5=0平行，貝!JQ的

值為()

A.1B.—2C.1或一2D.--

3.《九章算術(shù)少是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上

兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，

甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次

成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”(“錢”是古代一種重量單位)，這個(gè)問題中戊

所得為()

A.g錢B.j錢C.|錢D.|錢

4.若拋物線y2=4x與直線I：y=x-l相交于4、B兩點(diǎn)，則弦4B的長為()

A.6B.8C.6V2D.5V2

5.函數(shù)f(x)=e*-e-x+sinx,則不等式/(x)>0的解集是()

A.(O.+oo)B.(-oo,0)C.(0,7T)D.(一兀,0)

6.已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)(5,12),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.10B.11C.12D.13

7.在平面內(nèi)，4B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn).若前.死=1,則點(diǎn)C的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

8.已知函數(shù)/'(x)=｛仇X/X<o,或乃=f(x)—x—a,若g(x)存在三個(gè)零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

2323

A.(0,e")B.(0,2e-5)C.(0,2e")D.(0,e-5)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知函數(shù)/。)=[/+/-2公+1,若函數(shù)/(%)在(1,2)上有極值，則實(shí)數(shù)a可以

取()

A.1B.2C.3D.4

10.已知等比數(shù)列｛〃｝,公比為q,前n項(xiàng)和為上,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.若m+n=s+t,(m,n,s,tGW*),則?&

B.若?a”=as?%,(m,n,s,tGN*'),則m+n=s+t

C.當(dāng)q>1時(shí)，數(shù)列｛a”｝單調(diào)遞增

D.若&=kqn-1且qK1,則k=1

11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在圓0—3)2+3—3)2=4上，點(diǎn)4(2,0)、8(0,1),則()

A.點(diǎn)P到直線48的距離小于6B.點(diǎn)P到直線4B的距離大于2

C.當(dāng)4最小時(shí)，\PB\=3D.當(dāng)力最大時(shí)，\PB\=3

12.將數(shù)列｛2n-l｝中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)

4個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)16個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列：(1),(3,5),

(7,9,11,13).(15,17,19,21,23,25,27,29),則以下結(jié)論中正確的是()

A.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1023

B.2021在第11個(gè)括號(hào)內(nèi)

C.前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1023個(gè)數(shù)

D.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和SG(2叫22。)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.過圓/+外=5上一點(diǎn)“(1,—2)作圓的切線則直線[的方程為.

14.牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似

求解方程根的一種方法.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選

取&作為r的初始近似值，作曲線y=/(x)在點(diǎn)(沏,/(&))處的切線i設(shè)k與x軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為與，并稱占為7?的1次近似值；作曲線y=f(x)在點(diǎn)(匕,/(%))處的切

線，2,設(shè)。與4軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為%2,并稱%2為「的2次近似值.一般的，作曲線y=

/(X)在點(diǎn)(Xn，f(Xn))(n6N)處的切線4+1，記4+1與4軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為今+1，并稱

%n+i為r的n+1次近似值.

設(shè)/1(%)=/+%一1的零點(diǎn)為八取出=0,貝i|r的2次近似值為.

第2頁，共20頁

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：盤—，=1((1>0?>())的左、右焦點(diǎn)

分別為Fl、F2,過Fl且與圓。：/+y2=。2相切的直線與雙曲線c的一條漸近線相

交于點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限)，若Ma1MF2,則雙曲線C的離心率e=.

16.設(shè)數(shù)列｛an｝滿足臼=1,a3=5且%i+2-2a?+1+an=2,則-a3=■數(shù)列

｛a"的通項(xiàng)品=.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數(shù)/'(x)=a/+/+bx(a,beR)的圖像在x=1處的切線斜率為3,S.x=

一2時(shí)-，y=f(x)有極值.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在［-3,2］上的最大值和最小值.

18.已知數(shù)列｛即｝滿足a“I0,%=1,且0n-an+1=2anan+1,nEN*.

(1)求證：數(shù)列6■｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

an

(2)設(shè)％=an-an+1,求數(shù)列｛”｝的前項(xiàng)和為及.

19.我們知道：當(dāng)P(x0,yo)是圓。：M+y2="上一點(diǎn)，則圓。的過點(diǎn)P的切線方程為

戈0x+y()y=N.當(dāng)PQo，%)是圓0：/+丫2=72外一點(diǎn)，過p作圓。的兩條切線，

切點(diǎn)分別為4B,則方程&x+yoy=i表示直線的方程，即切點(diǎn)弦所在直線

方程.

請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：

已知圓C的圓心在x軸非負(fù)半軸上，半徑為3,且與直線y=x+3&相切，點(diǎn)P在直

線2x+y=9上，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.

(1)求圓C的方程；

(2)當(dāng)P(3,3)時(shí)，求線段4B的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線2x+y=9上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段48長度的最小值.

20,已知等差數(shù)列｛〃｝的前n項(xiàng)和為上,數(shù)列｛g｝是公比為2的等比數(shù)列，且％=與=4,

S3=21.

(1)求數(shù)列｛%｝和數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式;

(2)現(xiàn)由數(shù)列｛冊(cè)｝與｛%｝按照下列方式構(gòu)造成新的數(shù)列｛4｝.

①將數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)去掉數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，按原來的順序構(gòu)成新數(shù)列｛%｝；

②數(shù)列｛an｝與｛九｝中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合4與B,將集合4U8中的所有元素從小

到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛%｝.

在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)做為已知條件，求數(shù)列｛5｝的前30項(xiàng)和.

21.已知橢圓C：^+5=l(a>b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土汽,0),長軸長是短軸長的2倍.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線I不過點(diǎn)P(0,l)且與橢圓C交于4B兩點(diǎn)，從下面①②中選取一個(gè)作為

第4頁，共20頁

條件，證明另一個(gè)成立.

①直線P4PB的斜率分別為七，k2,則人「七=1；

②直線I過定點(diǎn)(0,-|).

22.已知函數(shù)/Q)=kx—xbix,kER.

(1)當(dāng)k=l時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)n>2,nWN*,求證：2仇2+3ln3H---Fnlnn>"色)；

(3)當(dāng)OV%Ml時(shí)，/(%)工々恒成立，求k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】

D

【解析】

解：/(%)=cos2x,

：./'(x)=-2sin2x,

???f'(^)=-2s嗚=-V3,

故選：D.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

2.【答案】

C

【解析】

解：因?yàn)橹本€匕：ax+2y-8=0與直線%：x+(a+l)y+5=0平行；

所以a(a+1)-2=0,整理得a?+a-2=0,

解得a=-2或1.

故選：C.

直接利用直線平行的充要條件的應(yīng)用建立一元二次方程，求出a的值.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線平行的充要條件，一元二次方程組的解法，主要考查學(xué)生的

運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】

D

【解析】

第6頁，共20頁

解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為由,。2,。3,。4,曲?

則的,。2,@3,?4,的成等差數(shù)列，設(shè)公差為2

+。2+。3+。4+。5=5，

%+02=。3+@4+

整理上面兩個(gè)算式，得：

(a1+2d=1

+8d=0'

,,,4,./I、2

???a5=?1+4d=-+4x(―-)=

故選：D.

根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決.

本題主要考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題并加以解決的能力，以及等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的掌握

程度.本題屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】

B

【解析】

解：???拋物線方程為y2=4x,

???2p=4,1=1,可得焦點(diǎn)為尸(1,0),

???直線y=%-1交工軸于點(diǎn)(1,0)，

??.直線48經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,

設(shè)4(%1，為),8(%2，、2)，根據(jù)拋物線的定義可得|AF|=%1+1,\BF\=%2+1，

所以|AB|=\AF\+\BF\=%]+冷+2,

由拋物線y2=4%與直線y=x-1消去y,得%2—6%+1=0,

???根據(jù)韋達(dá)定理，得冗1+外=6,

因此，=|%i+&+2=8,

故選：B.

求出拋物線的焦點(diǎn)，可得直線4B恰好經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F(l,0),再由拋物線的定義可得

|4B|=\AF\+\BF\=/+%2+2=%1+%2+2,最后由直線48與拋物線消去、得關(guān)于不

的方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得/+右=6,從而得到AB的長.

本題給出拋物線的一條焦點(diǎn)弦所在的直線方程方程，求該焦點(diǎn)弦的長度，著重考查了拋

物線的簡單性質(zhì)和直線與拋物線的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題.

5.【答案】

A

【解析】

解：,；函數(shù)/"(x)=e*—er+sinx,

:./'(%)=ex+e~x+cosx>2y/ex-e~x+cosx>0,

故f(x)在R上單調(diào)遞增，

而/'(0)=1—1+0=0,

故/(X)>0即/(x)>f⑼,

解得：x>0,

故選：A.

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解集即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式問題，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】

B

【解析】

解：根據(jù)題意，設(shè)圓心為M,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(5,12),

而該圓經(jīng)過點(diǎn)(5,12)且半徑為2,則圓心的軌跡是以4(5,12)為圓心，半徑為2的圓,

且|。川=V25+144=13.

則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為13-2=11；

故選：B.

根據(jù)題意，分析該圓的圓心的軌跡，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案.

本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

第8頁，共20頁

7.【答案】

A

【解析】

【分析】

本題考查軌跡方程的求法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

設(shè)出4、B、C的坐標(biāo)，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解C的軌跡方程，推出結(jié)果即可.

【解答】

解：設(shè)4B=2a(a>0),以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

所以(x+a,y)-(x-a,y)=1,

解得%2+y2=a2+1,

所以點(diǎn)C的軌跡為圓.

故選：A.

8.【答案】

B

【解析】

【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題.

由題意，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x<0時(shí)，-(2x+l)ex

a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)/1。)=-(2%+1)靖的圖象，即可得到答案.

【解答】

解：因?yàn)間(x)存在三個(gè)零點(diǎn)，

所以方程/(x)=x+a有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)x>0時(shí)，由/(x)="+a可得hix=a,解得x=e。,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以當(dāng)xWO時(shí)，/(x)=x+a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即一(2刀+1)蠟=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

令九(%)=—(2x+l)ex(x<0),

則=-(2x+3)ex(x<0),

當(dāng)％<-|時(shí)，hf(x)>0,則/i(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)-|<%W0時(shí)，hf(x)<0,則/i(x)單調(diào)遞減，

因?yàn)楫?dāng)XT—8時(shí)，h(x)0,h(0)=-1,h(x)max=h(~l)=2e4>0,

作出函數(shù)/i(x)(x<0)的圖象如圖所示，

A(x)?—(2x+1

所以-(2x+l)ex=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ae(0,2e4).

故選：B.

9.【答案】

【解析】

解：f'(x}=x2+2x—2a,

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,2)上有極值,

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所以:Q)=o,在(1,2)上有根,

所以y=(。)在(1,2)上有變號(hào)零點(diǎn)，

又因?yàn)閥=f(x)=X2+2X-2a,在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以｛眼三二篇，解得*a<%

所以a的取值范圍為(|,4),

故選：BC.

求導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在(L2)上有變號(hào)零點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性判斷即可.

本題考查函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】

AD

【解析】

解：對(duì)于4,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得%?即=HiQ771-1?=alqn+m~2,

s+t2

as-at=ciiqST?=alq~f

vm+n=s+t,(m,n,s,t6/V*),/.am-an=as-at,故A正確；

對(duì)于8,當(dāng)?shù)缺葦?shù)歹式冊(cè)｝的公比為1時(shí)，Qm?Qn=Qs?&始終滿足，

但m+n=s+t不一定成立，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)q>l,且為V0,數(shù)列色九｝單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)#1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=岑*=言—言年=W-1,

二言=-1，*k=一言=1，故O正確.

故選：AD.

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷4根據(jù)非零常數(shù)列判斷B；根據(jù)q>l,且由<0,數(shù)列

｛a“｝單調(diào)遞減判斷C；根據(jù)%=言一言?q"=-1求解判斷D.

本題考查命題真假的判斷，考查等比數(shù)列的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

11.【答案】

ACD

【解析】

解:根據(jù)題意,圓(X-3)2+3—3)2=4,

圓心為(3,3),半徑r=2,設(shè)其圓心為M,

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4、B,點(diǎn)4(2,0)、直線4B的方

程為：+*=1，即無+2y—2=0,

圓心(3,3)到直線x+2y-2=0的距離d=

竿a=獨(dú),點(diǎn)P到直線4B的距離最小值為

V1+45

學(xué)—2,最大值為嬰+2,

又由3＜手＜4,則點(diǎn)P到直線4B的距離小于6,但不一定大于2,則A正確，8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,過點(diǎn)B作圓的切線，當(dāng)P為靠近線段AB的切點(diǎn)時(shí)，如圖匕的位置，NPB4最小,

此時(shí)|PB|=yJ\MB\2-4=3,C正確；

對(duì)于D,過點(diǎn)B作圓的切線，當(dāng)P為遠(yuǎn)離線段4B的切點(diǎn)時(shí)，如圖P2的位置，乙PBA最大,

此時(shí)|PB|=-4=3,。正確；

故選：ACD.

根據(jù)題意，由直線與圓的位置關(guān)系，依次分析選項(xiàng)，即可得答案.

本題考查圓方程的綜合應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】

ACD

【解析】

解：由題意，第n個(gè)括號(hào)有211T個(gè)數(shù)，

選項(xiàng)A：前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1+2+22+…+28=絲匕絲=29—1=511個(gè)數(shù)，

1-2

所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2n-1｝的第512項(xiàng)，

所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為2x512—1=1023,故A正確；

選項(xiàng)C：前10個(gè)括號(hào)內(nèi)共有1+2+22+……+29=ix("2i。)=210_1=1023個(gè)數(shù),故

1-2

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C正確，

選項(xiàng)B：令2n-1=2021,解得n=1011,所以2021為數(shù)列｛2n-1｝的第1011項(xiàng)，由

上面4c分析可得，

2021在第10個(gè)括號(hào)內(nèi)，故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)D-.因?yàn)榈?0個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為2X512-1=1023,最后一個(gè)數(shù)為2x1023-

1=2045,

所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和S=皿誓幽=29x1534e(2222。)，故。正確，

故選：ACD.

由第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2九-1｝的第512項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列｛2n-1｝的第

1023項(xiàng)，進(jìn)而可以求解.

本題考查了歸納推理的應(yīng)用，涉及到數(shù)列的項(xiàng)的個(gè)數(shù)以及數(shù)列求和問題，考查了學(xué)生的

邏輯推理能力以及運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】

x—2y—5=0

【解析】

解：根據(jù)題意，圓M+y2=5的圓心為0,其坐標(biāo)為(0,0),

則=-2,

故切線的斜率k=右則切線的方程為y+2=?(x-l),變形可得4—2y—5=0,

故直線，的方程為x—2y—5=0,

故答案為：x-2y-5=0.

根據(jù)題意，求出直線?！钡男甭?，由切線的性質(zhì)可得切線的斜率，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查直線與圓相切的性質(zhì)，涉及點(diǎn)與圓位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】

3

4

【解析】

2

解：＜(x)=3x+l,設(shè)切點(diǎn)為(Xn，瑞+xn-l),

則切線斜率k=3辭+1,

;切線方程為y=(3形+l)(x-xn)++xn-1,

_娟_2*+1

令y=0,可得X+i

n3x^+1n―3x^+1

3

XQ=0,*,?%1=1,血二z，

即「的2次近似值為

故答案為：

4

對(duì)/(%)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)(今,琮+xn-1)處的切線方程，令y=0,

可得r的n+1次近似值與r的n次近似值的關(guān)系式，由與=。，依次計(jì)算即可求得r的2次

近似值.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.【答案】

2

【解析】

【分析】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)、離心率，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

設(shè)M(x,gx),由MO?=/+(,x)2=?2,可得M(a,b),利用MF2=2a,可得c2-ac—

2a2=0,即可求解.

【解答】

解：如圖，依題意可知ON_LM&,即可得MF2//NO,

第14頁，共20頁

A|MF2|=2a,

設(shè)M(x,gx),由M。？=/+*切2=。2,可得％=Q,故M(a,b),

2222

v\MF2\=2a,/.(a—c)+b=4c,整理可得c?—ac—2a=0,

???—2=0,

**6>1,，e=2,

故答案為：2.

16.【答案】

5n2-2n+2

【解析】

解：由題意，數(shù)列｛的J滿足/i+2-2冊(cè)+1+an=2,

所以當(dāng)九=1時(shí)，臼=1,Q3=5,%一2。2+。1=2,解得做=2,

設(shè)6n=an+i—an,

則以+1—垢=(an+2—an+l)—(Gn+1-^n)=an+2-^an+l+=2，旦瓦=2-1=

1,

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，公差為2,首項(xiàng)為1,

所以e=2n—1,即an+i—Qn=2九一1,

所以@4一%=匕3=5,

當(dāng)汽22時(shí)，

可得=Q]+(做—01)+(03—02)+…+(。九—Qn-1)=1+[1+3+5+…+(2九—

3)]=1+(l+2n-；)(n-l)=n2_2n+2,

其中四=1也滿足a”=n2-2n+2,

所以數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=n2-2n+2.

故答案為：5；n2-2n+2.

設(shè)%=%1+1-斯，根據(jù)題意得到數(shù)列｛3｝是等差數(shù)列，求得%=2n-l,得到“+i—

an=2n-1,利用&4-&3=?,結(jié)合"累加法"，即可求得斯.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】

解：(1),."(%)=ax3+/+bx{a,b6R),

:.f'(x)=3ax2+2%+b,

??,函數(shù)/(x)=ax3+x2+bx(a,bGR)的圖像在x=1處的切線斜率為3,且%=一2時(shí)，

y=/(%)有極值，

4?;%,即當(dāng)+上：］解得卜T,

(/(-2)=0(12a+b=4［b=0

故/(x)=|%3+x2.

(2)由(1)可得，f'(x)=x2+2x=0,解得x=—2或x=0,

當(dāng)xE(-3,-2)時(shí)，f'(x)>0>f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(-2,0)時(shí),f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)％e(0,2)時(shí)，廣(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

故,(%)在x=-2上取得極大值￡/(x)在x=0上取得極小值0,且/(一3)=0,/(2)=y,

故“X)在［-3,2］上的最大值為g,最小值為0.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及x=-2時(shí)，y=〃x)有極值，即可求解.

(2)由(1)可得，/(x)=x2+2x=0,解得x=-2或x=0,再分類討論，即可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】

11

(1)證明：因?yàn)閍”一為t+i=Za/n+i，所以^-----=2.

an+lan

故數(shù)列｛^｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

an

所以三=1+(n-1)x2=2n-1,

an

所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為即=±.

n￡11—1

解：設(shè)。=九

\(2〃)廳人ntzn?Qn+li=-2-n---l---2-n-+--l=~2(v--2-n---l-----2--n-+--l)7,

，丁、Y、

故?〃=~11.11.,11)=一1/1n

n2('1---3-----3-----5--F???...+-2-n---l-----2--n-+-l-72'(1----2-n-+--ly)=-2-n-+--l.

【解析】

第16頁，共20頁

(l)Wan-?n+l=2即即+1兩邊同時(shí)除以即即+1，再根據(jù)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式,

得解；

(2)利用裂項(xiàng)求和法，即可得解.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的求法，熟練掌握等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式，裂

項(xiàng)求和法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】

解：(1)由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+y2=9(a20),

則心考滬=3,解得a=0,故圓C的方程為一+*=9.

(2)根據(jù)題意可知，直線48的方程為3x+3y=9,即％+y=3,

圓心C到直線ZB的距離為d=竿n=越，

V1+12

故弦長|4B|=2V9-d2=2^9-|=3近；

(3)設(shè)PQo，yo)，則2沏+丫0=9,又直線4B方程為；x0x+y0y=9,

故直線4B過定點(diǎn)Q(2,l),設(shè)圓心C到直線4B的距離為d,由1ABi=2,9-cP,

故當(dāng)d最大時(shí)，|48|最短，而dW|CQ|,故AB與CQ垂直時(shí)d最大，此時(shí)d=|CQ|=遍,

\AB\=4,

???線段4B長度的最小值為4.

【解析】

(1)根據(jù)圓的圓心和半徑設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+y2=9(a>0)上一點(diǎn)，利用圓心

到切線的距離等于圓的半徑即可求出a,

(2)根據(jù)題意寫出4B的方程根據(jù)垂徑定理即可求出弦長，

(3)根據(jù)題意求出經(jīng)過的定點(diǎn)Q,當(dāng)CQ垂直于時(shí)，AB最短.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求弦長的最小值問題，屬中檔題.

20.【答案】

解：(1)因?yàn)閿?shù)列｛九｝為等比數(shù)列，且同=4q=2,

所以bn=電xqn~2=4x2n-2=2n,

又因?yàn)镾3=a1+a2+CI3=3a2=21,所以a2=7,

又的=4,則d=3,

故等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為即=4+(n-l)x3=3n+l；

(2)因?yàn)?n=3n+l,匕=2%

所以與=2,b2=4,b3—8,Z?4—16,b5=32,b6=64,b7=128,

而的0=91,a31=94,Q32=97,a33=100<b7=128,

若選①，

因?yàn)橥撸?,壇在數(shù)列｛%｝前30項(xiàng)內(nèi),瓦，修為不在數(shù)列｛an｝前30項(xiàng)內(nèi)，

則數(shù)列｛4｝前30項(xiàng)和為：S33一與—/一生=33x4+史羅x3-(44-16+64)=

1632；

若選②，

因?yàn)樨?，①，壇在數(shù)列｛的｝前30項(xiàng)內(nèi),瓦，仇，既不在數(shù)列｛@n｝前30項(xiàng)內(nèi)，

貝”數(shù)歹|J｛C"｝前30項(xiàng)和為：527+d+%+為=27X4+x3+(2+8+32)=1203.

【解析】

(1)由題意可直接得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；求出等差數(shù)列的公差，即可得到其通項(xiàng)公

式；

(2)若選①，則可確定由數(shù)列｛%｝前33項(xiàng)的和減去電，b4,b6,即可得答案；

若選②，則可確定由數(shù)歹I」｛斯｝前27項(xiàng)的和加上瓦，b3,b5,即可得答案.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，新數(shù)列的求和問題，屬于中檔題.

21.【答案】

，c73'CL—2

解：（1）由條件可得21=4b，解得b=l，

a2=b2+c2（c=V5

所以橢圓方程為9+y2=i；

證明：（2）選①證②：當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)八y=kx+m,4（尤i，y］），fi（x2,y2））

f%22--1

2=xx

由|4,一得（41+i）%2,|_gfcmx+4（m—1）=0,則JQ4-%2—^r~?i2=

（y=fcx+m4+1

4k2+1'

由后?左2=1,得日二,一

X1x2

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xx

即(71—1)。2-1)-i2=。，即(k%i4-m—l)(kx2+m-1)—xtx2=0,

所以(上2—1)%1%2+k(m—1)(%1+x2)+(巾2-1)=0,

代入(1—+—1)(一黑)+(巾2—1)=0,

所以4(巾2—i)(fc2—1)—8k2m(m—1)+(4k2+l)(m—l)2=0,

所以4血2—4—(m—l)2=0,

解得：m=1(舍去)，m=

所以直線過定點(diǎn)(0,-1)；

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，：x=s,4(s,t),B(s,-t),

所以^-+t2=l,由"七=1得。',"=1'

4SS

所以s2+t2=l,即s2=S,解得S=0,

4

所以直線x=0(不符合題