第九章期權(quán)定價第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式及其應(yīng)用第三節(jié)期權(quán)定價的數(shù)值方法-二叉樹定價法

本章的核心問題是：如果現(xiàn)在沒有到期，期權(quán)合約的價值是多少？為了解決這個問題，必須搞清楚期權(quán)價格的構(gòu)成、期權(quán)價格的影響因素以及期權(quán)定價原理。因此，本章主要討論期權(quán)價格的性質(zhì)、期權(quán)的定價方法及其應(yīng)用。一、期權(quán)價格的構(gòu)成

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)期權(quán)價格是場內(nèi)期權(quán)合約中惟一的變量，合約中其他條件均是事先確定好的。期權(quán)價格的大小取決于整個期權(quán)合約，包括期權(quán)的到期日及所選擇的執(zhí)行價格等。期權(quán)價格的最后決定，必須經(jīng)過期權(quán)的買賣雙方經(jīng)紀人在交易所內(nèi)以公平喊價的方式競爭進行。一般地，期權(quán)價格主要由內(nèi)在價值和時間價值兩部分構(gòu)成。

（一）內(nèi)在價值內(nèi)在價值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時所能獲得的總收益。看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為max{S-X,0}看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為max{X-S,0}第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

例9.1

假設(shè)某投資者買入一份執(zhí)行價格40美元而標的資產(chǎn)現(xiàn)在的交易價格為42美元的看漲期權(quán)，它的內(nèi)在價值為2美元。因為投資者有權(quán)以40美元的價格獲得此資產(chǎn)，然后立即在公開的市場上以42美元的價格賣出，從而獲得2美元的凈利潤。相反，如果投資者買入的是其他條件不變的看跌期權(quán)的話，因當資產(chǎn)的現(xiàn)行價格為42美元，期權(quán)買方立即行使該期權(quán)將獲得負收益，因而內(nèi)在價值為零。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

例9.2

某一股票看漲期權(quán)在6個月后到期，期權(quán)合約規(guī)定的執(zhí)行價格為50元，標的股票的市場價格為50元，這一期權(quán)的內(nèi)在價值等于零。但是，在未來的6個月時間內(nèi)，任何人都無法排除該只股票的市場價格超過50元的可能性。假設(shè)股票價格上漲到60元，看漲期權(quán)的持有者就可以賺取100×（60－50）＝1000元的利潤；假設(shè)股票的市場價格一直停留在50元以下，該期權(quán)的持有者放棄其購買的權(quán)利，他一分也不虧。因此，即使在看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為零的情況下，看漲期權(quán)的購買者也“有賺無虧”，這種“有賺無虧”是不可能無代價地獲得的，這一代價就是該看漲期權(quán)的時間價值。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（二）期權(quán)的時間價值

期權(quán)的時間價值（TimeValue）是指在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。圖9-2看漲期權(quán)時間價值與內(nèi)在價值的關(guān)系X時間價值Ｓ到期日時間價值543210圖9-1期權(quán)的時間價值與到期日的關(guān)系第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

（三）期權(quán)價格與內(nèi)在價值和時間價值間的關(guān)系

期權(quán)合約的價值是由期權(quán)價格決定的，即由內(nèi)在價值和時間價值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-3所示。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)ATM期權(quán)費變動曲線OTMITMXIVTVTVTV0標的資產(chǎn)市價S期權(quán)費圖9-3看漲期權(quán)的期權(quán)費、內(nèi)在價值、時間價值的關(guān)系第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

從靜態(tài)的角度看，期權(quán)價格在任一時點都是由內(nèi)在價值和時間價值兩部分組成；在虛值期權(quán)（即看漲期權(quán)S＜K；看跌期權(quán)S＞K時），期權(quán)價格完全由時間價值組成；在平價期權(quán)（即S＝K）時，期權(quán)價格完全由時間價值組成，且時間價值達到最大；在實值期權(quán)（即看漲期權(quán)S＞K；看跌期權(quán)S＜K時），期權(quán)價格由內(nèi)在價值和時間價值組成，內(nèi)在價值與標的資產(chǎn)市場價格等比例增減。從動態(tài)的角度看，期權(quán)的時間價值在衰減，伴隨合約剩余有效期的減少而減少，到期時時間價值為零，期權(quán)價格全部由內(nèi)在價值組成。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格對于看漲期權(quán)而言，標的資產(chǎn)的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高。對于看跌期權(quán)而言，標的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。二、期權(quán)價格的影響因素

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

（二）期權(quán)的有效期限對于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時間執(zhí)行，有效期越長，多頭獲利機會就越大，而且有效期長的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機會，因此有效期越長，期權(quán)價格越高。對于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行機會。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)價格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

但在一般情況下（即剔除標的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況），由于有效期越長，標的資產(chǎn)的風險就越大，空頭虧損的風險也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長，其期權(quán)價格也越高，即期權(quán)的邊際時間價值（MarginalTimeValue）為正值。

我們應(yīng)注意到，隨著時間的延長，期權(quán)時間價值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時間價值遞減規(guī)律。

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（三）標的資產(chǎn)價格的波動率

標的資產(chǎn)價格的波動率是用來衡量標的資產(chǎn)未來價格變動不確定性的指標。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限于期權(quán)價格，而最大盈利額則取決于執(zhí)行期權(quán)時標的資產(chǎn)市場價格與協(xié)議價格的差額，因此波動率越大，對期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價格也應(yīng)越高。

在定價時，波動性只能通過人們對未來的價格波動程度的估計求得，主要有兩種方法：歷史波動法和隱含波動法。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（四）無風險利率

從比較靜態(tài)的角度看。無風險利率越高，看跌期權(quán)的價值越低；而看漲期權(quán)的價值則越高。從動態(tài)的角度看，當無風險利率提高時，看漲期權(quán)價格下降，而看跌期權(quán)的價格卻上升。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（五）標的資產(chǎn)的收益

由于標的資產(chǎn)分紅付息等將減少標的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)表9-1影響因素的變化對期權(quán)價格的影響

變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標的資產(chǎn)的市價＋－＋－期權(quán)協(xié)議價格－＋－＋期權(quán)的有效期？？＋＋波動率＋＋＋＋無風險利率+－+－標的資產(chǎn)的收益－＋－＋注：＋：增加或增大：－：減少或減小；？：不確定。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)我們首先將本章后面所用到的符號及其含義開列如下：K：期權(quán)的執(zhí)行價格；T：期權(quán)的到期時刻；t：現(xiàn)在的時刻；S：標的資產(chǎn)在t時的市場價格；ST：標的資產(chǎn)在T時的市場價格；C：美式看漲期權(quán)的價格；c：歐式看漲期權(quán)的價格；P：美式看跌期權(quán)的價格；p：歐式看跌期權(quán)的價格；r：t到T期間的市場無風險利率（連續(xù)復(fù)利）；三、期權(quán)價格的上下限

:標的股票價格的波動率，一般用標的股票連續(xù)復(fù)利收益率的年標準差表示。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

（一）期權(quán)價格的上限1.看漲期權(quán)價格的上限對于美式和歐式看漲期權(quán)來說，標的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)價格的上限：

其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，C代表美式看漲期權(quán)價格，S代表標的資產(chǎn)價格。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

2.看跌期權(quán)價格的上限

美式看跌期權(quán)價格（P）的上限為X：

其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現(xiàn)在時刻。歐式看跌期權(quán)的上限為：第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（二）期權(quán)價格的下限

1.歐式看漲期權(quán)價格的下限

（1）無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標的資產(chǎn)第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為：

在T時刻，組合A的價值為：

由于，因此，在t時刻組合A的價值也應(yīng)大于等于組合B，即:

或組合B的價值為ST。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)例9.3

考慮一個不付紅利的股票的歐式看漲期權(quán)，此時股票價格為20元，執(zhí)行價格為18元，距到期日有1年，無風險年利率為10％。即在本例中，Ｓ＝２０，Ｋ＝１８，Ｔ－ｔ＝１，ｒ＝１０％。根據(jù)不等式（9.1），該期權(quán)價格的下限為S-Ke-r(T-t)＝２０－１８e-０.１×1=3.71即該期權(quán)的下限為3.71元。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

考慮歐式看漲期權(quán)的價格等于3元的情況，即小于理論上的下限3.71元。套利者可以購買看漲期權(quán)并賣空股票，則初始現(xiàn)金流入為17元。如果將17元以年利率l0％投資1年，則一年后將變?yōu)椋保積０.１＝18．79元。在年末即期權(quán)到期時，如果股票價格高于18元，套利者執(zhí)行期權(quán)以18元的價格買入股票，將股票的空頭平倉，則可獲利18.79－18＝0.79元。如果股票價格低于18元，則套利者從市場上購買股票將股票空頭平倉，此時套利者可獲得更高的利潤。例如，如果股票價格為16元，則套利者的盈利為18.79－16＝2.79元第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（2）有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中I為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)2.歐式看跌期權(quán)價格的下限

（1）無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限

考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金在T時刻，組合C的價值為：max{ST，K}，組合D的價值為K。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合D，即：

由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

例9.４

考慮一個不付紅利的股票的歐式看跌期權(quán)，此時股票價格為37元，執(zhí)行價格為４０元，距到期日還有６個月，無風險年利率為５％。即在本例中，Ｓ＝37，Ｋ＝40，Ｔ－ｔ＝0.5，ｒ＝５％。在這種情況下，該期權(quán)價格的下限為Ｋe-r(T-t)-S＝40e-0.05×0.5－37＝2.01即2.01元。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)如果歐式看跌期權(quán)的價格小于這個下限值，比如價格為１元，此時套利者可借入38元，期限為６個月，同時用所借資金購買看跌期權(quán)和股票。６個月后，套利者需還本付息38e０.０５×０.５＝38.96元。如果股票價格低于40元，套利者就執(zhí)行期權(quán)以40元的價格賣出股票，歸還所借款項本金和利息，并獲利40－38.96＝1.04元如果股票價格高于40元，套利者放棄期權(quán)的執(zhí)行，直接在市場上賣出股票并償付所借款項本金和利息，可獲得更高的利潤。比如股票價格為42元，則套利者的利潤將為42－38.96＝3.04元第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（2）有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（一）無收益資產(chǎn)美式期權(quán)提前執(zhí)行的合理性

1.看漲期權(quán)

由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的，因此，C=c。我們可以根據(jù)無收益歐式看漲期權(quán)的下限得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限C≥max{S-Ke-r(T-t)，0}

四、美式期權(quán)提前執(zhí)行的合理性

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額（K-S）、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當S相對于K來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。美式看跌期權(quán)的下限為：2.看跌期權(quán)第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（二）提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)是否合理性對于看漲期權(quán)而言，由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

對于看跌期權(quán)而言，由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系是指看漲期權(quán)的價格與看跌期權(quán)的價格，必須維持在無套利機會的均衡水平的價格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破，則在這兩種價格之間，就存在無風險的套利機會，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導(dǎo)這一關(guān)系。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系

第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（一）歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)

考慮如下兩個組合：

組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)。組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max{ST,X}。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即：

這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系（Parity）。

如果上式不成立，則存在無風險套利機會。套利活動將最終促使上式成立。（9.3）第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

例9.5：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報價，股票市場價格為11元，3個月期無風險年利率為10％，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格都是10元，3個月后到期。3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3元和2元。策略：1，購買看漲期權(quán)；2，出售看跌期權(quán)；3，賣空一股股票。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)

這個策略給出的初始現(xiàn)金流為：11.00－3.00＋2＝10元。將這筆資金按無風險利率投資3個月，3個月末本息和為10e0.1*0.25=10.25美元。在3個月末，有如下兩種可能：一種，如果股票價格大于10美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照10美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝10.25－10＝0.25美元。

另一種，如果股票價格小于10美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即按照10美元價格購買一份股票，將空頭平倉，則可獲利＝10.25－10＝0.25美元。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)練習：

若同樣的市場條件，但3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和1美元。問是否有套利的機會？若有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)2.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)

在標的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：（9.4）第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（二）美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系1.無收益資產(chǎn)情形2.有收益資產(chǎn)情形第一節(jié)期權(quán)價格的性質(zhì)（一）Black-Scholes模型的假設(shè)條件(a)期權(quán)的標的資產(chǎn)是股票，其現(xiàn)行價格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣；(b)期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，在期權(quán)有效期內(nèi)其標的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價格為X，期權(quán)期限為T（以年表示）；第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用一、Black-Scholes期權(quán)定價公式(c)市場不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可以分割；(d)市場不存在無風險的套利機會；(f)市場提供了連續(xù)交易的機會;(g)存在著一個固定的、無風險的利率，投資者可以以此利率無限制地借入或貸出；(h)期權(quán)的標的股票的價格遵循幾何布朗運動，呈對數(shù)正態(tài)分布。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用（二）建立Black-Scholes微分方程的基本思路假設(shè)我們要為一個歐式看漲期權(quán)套期保值。令表示看漲期權(quán)的價格，它取決于股票價格S，執(zhí)行價格K和到期期限T-t。在上述假設(shè)下，再設(shè)在一個長度為的時間區(qū)間內(nèi)，股票價格的變動為，則我們可以用看漲期權(quán)價格附近的泰勒展開式來近似它的變動第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用式中，是服從均值為0、標準差為1的正態(tài)分布的隨機變量的變動幅度；是的連續(xù)時間極限。使用這些記號，股票價格在連續(xù)時間極限上的預(yù)期收益率為，波動率為。如果股票價格服從幾何布朗運動，殘值就會消逝，因而可以忽略。在這種情形中，連續(xù)時間期限上的股票價格收益率變動為第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用，資產(chǎn)組合的初始價值為。所以，在連續(xù)時間極限上我們有

現(xiàn)在考慮由一份看漲期權(quán)多頭和h股股票空頭組成的對沖資產(chǎn)組合。資產(chǎn)組合價值在時間內(nèi)的變動為我們令h等于

第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用

這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的計算。

等式兩邊除以即可獲得最終的表達式（9.5）第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用（三）B-S公式對歐式看漲期權(quán)而言，邊界約束條件是：當t=T時，c=max{ST-K，0}；對歐式看跌期權(quán)而言，邊界約束條件是：當t=T時，p=max{K-ST，0}；（9.6）根據(jù)歐式看漲期權(quán)的邊界條件，tTdtTtTrXSdtTtTrXSd--=---+=--++=sssss12221))(2/()/ln())(2/()/ln(第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用

這就是著名的Black-Scholes期權(quán)定價公式，簡稱B-S公式。其中N（）表示標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)，且。公式表明，歐式看漲期權(quán)的價格是標的股票價格、執(zhí)行價格、有效期限、無風險利率以及股票價格波動率的函數(shù)。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價格的歐式看跌期權(quán)的價格。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用

例9.6

考慮一種期權(quán)，有效期為6個月，股票價格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價格為40美元，無風險年利率為10％，波動率為每年20％。即S=42，X＝40，第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用并且因此，若該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價格為：又因為N（0.7693）＝0.7791，N（0.6278）=0.7349所以c=4.76第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用股票的波動率用于度量股票所提供收益的不確定性，通常介于１５％～５０％之間。Ｂ－Ｓ公式中的波動率被定義為按連續(xù)復(fù)利時股票在１年內(nèi)所提供收益率的標準差。估計標的股票價格的波動率有兩種方法：歷史波動率和隱含波動率。二、波動率的確定方法第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用（一）歷史波動率所謂歷史波動率是指從標的股票價格的歷史數(shù)據(jù)中計算出價格對數(shù)收益率的標準差。假設(shè)在過去n周里的第t周股票收盤價為St，第t-1周的收盤價為St－1，則第t周的股票復(fù)利收益率為那么，周收益率的標準差可用下面的公式計算其中：表示這n天里的股票收益率的均值。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用

由于在（9.6）式中所有參數(shù)的時間單位均為年，因此，這里得到的波動率必須轉(zhuǎn)換為年波動率。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用（二）隱含波動率把實際的市場期權(quán)價格代入B－S公式而計算出的波動率即隱含波動率。交易員通常從交易活躍的期權(quán)中計算隱含波動率，然后利用計算出的隱含波動率來估算基于同樣股票的不太活躍的期權(quán)的價格。更常見的是，可以同時得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個隱含波動率，然后對這些隱含波動率進行恰當?shù)募訖?quán)平均就可以計算出該股票的綜合隱含波動率。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用

投資者可以通過對比當前市場的波動率與期權(quán)的隱含波動率的大小來進行期權(quán)交易。如果認為實際的市場波動率高于隱含波動率，那么當前的期權(quán)價格被低估了，可以買進期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用三、B-S公式的基本推廣（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式（9.6）式是針對無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對于標的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡單分析。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用假設(shè)標的資產(chǎn)將在時刻產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且。這時，標的資產(chǎn)的價值可分解為兩個部分：發(fā)生在時刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時刻時標的資產(chǎn)的價值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風險的，記為于是我們可以直接利用（9.6）式來定價了，只要用來代替S即可，

1．標的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益的情況

第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用2．標的資產(chǎn)產(chǎn)生已知收益率的情況我們假定在任何時間段dt，標的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價于在每一刻都將剩余股票價值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價值的。所以，在現(xiàn)在時刻t，標的資產(chǎn)的價值由兩部分組成：比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為的部分是一單位標的資產(chǎn)在到期日T的價值的現(xiàn)值。第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用我們可用來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用（二）期貨看漲期權(quán)的定價公式如果標的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價公式必須做相應(yīng)修正，因為現(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)則。為此，我們設(shè)F為期貨價格，表示期貨價格的波動率，其他符號與上述相同，則只要期貨價格和標的資產(chǎn)價格一樣遵循幾何布朗運動的話，就有第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用（三）美式期權(quán)價格的近似解假定標的資產(chǎn)在時刻t1有收益，這里t＜t1＜T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時刻t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時刻T執(zhí)行期權(quán)。因此，這個美式看漲期權(quán)的價值可以近似地看作兩個歐式看漲期權(quán)中較大的那一個。這兩個歐式看漲期權(quán)是

1）時刻t1到期的歐式看漲期權(quán)，標的資產(chǎn)無收益；

2）時刻T到期的歐式看漲期權(quán)，標的資產(chǎn)在時刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益第二節(jié)Black-Scholes期權(quán)定價公式

及其應(yīng)用

在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價格的解析解，這時，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實質(zhì)是模擬標的資產(chǎn)價格在風險中性世界中的隨機運動，預(yù)測期權(quán)的平均回報，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。有限差分方法將標的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。第三節(jié)期權(quán)定價的數(shù)值方法-二叉樹

定價法一、單步二叉樹定價法第三節(jié)期權(quán)定價的數(shù)值方法-二叉樹

定價法

（一）一個簡單案例例9.7假設(shè)某只股票當前的市場價