說題哈密市第十二中學(xué)楊得封說題分析說背景與價值說教學(xué)與改進說拓展與命題

一、說背景與價值本題選自人教版八年級上第十二章《12.3角平分線的性質(zhì)》習(xí)題第二題。解決此題涉及的知識有垂直的定義，垂直平分線的定義及性質(zhì)，三角形全等的判定，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等。已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足，求證：DM=DN本習(xí)題是在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形全等的判定定理“AAS”，及角平分線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上給出的。課本設(shè)置此練習(xí)的目的旨在鞏固三角形全等的判定及角平分線的性質(zhì)。大部分學(xué)生想到利用三角形全等，然而解題的方法較多，需要學(xué)生發(fā)散思維，充分聯(lián)系已知與求證，綜合運用已學(xué)的知識來解決，在眾多的方法中進行選優(yōu)，從而獲得一定的解題經(jīng)驗。已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足，求證：DM=DN二、說教學(xué)與改進學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了三角形全等的判定定理“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”,對于證明相等的線段，基本上具備了解決此題的知識儲備和技能。而學(xué)生往往會思維定勢，聯(lián)想到證明三角形全等，而忽視了此時證明的是垂線段這個重要信息，缺乏相應(yīng)的想象。學(xué)生可能的做法：

解法1：先證明

得，再證明，得到；已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足，求證：DM=DN

解法2：先證明得，再證明，得到；已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足，求證：DM=DN學(xué)生可能的做法：

解法3：先證明得是角平分線，再利用角平分線的性質(zhì)，得到；已知：如圖，AD垂直平分BC，D為垂足，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足，求證：DM=DN學(xué)生可能的做法：解法4、先由中垂線的性質(zhì)證明AB=AC，再由三角形的中線將三角形的面積二等分，得，由，，得到。已知：如圖，AD垂直平分BCD為垂足，

，，M，N分別為垂足，求證：DM=DN學(xué)生可能的做法：在原先的教學(xué)中，讓學(xué)生思考后回答，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是第1,2種解法，很少出現(xiàn)第3,4的解法，然后再追問，還有其他的方法嗎？能利用今天學(xué)過的知識來解決嗎？能利用角平分線的性質(zhì)嗎？終于有了第3種方法，可是學(xué)生缺乏想象，這樣的教學(xué)效果不好。針對很少學(xué)生想出方法3，方法4，以及充分發(fā)揮這道題目的價值，在教學(xué)中進行如下的改進。首先是講解角平分線的性質(zhì)時做好鋪墊，在講解角平分線時，引導(dǎo)學(xué)生理解角平分線上的點到角兩邊的距離相等，這個距離指的是垂線段的長度。以及應(yīng)用角平分線性質(zhì)時具備3個條件：角平分線，兩條垂線段。其次在講解時讓學(xué)生說出各自的解法，當(dāng)大部分學(xué)生出現(xiàn)前兩種方法時，進行如下的引導(dǎo)啟發(fā)。引導(dǎo)關(guān)注條件，所求證的DM=DN，與它相關(guān)的條件是什么？DM⊥AC，DN⊥AB，發(fā)現(xiàn)所證明的兩條線段與眾不同，它們是垂線段，再啟發(fā)學(xué)生對垂線段展開聯(lián)想。由“垂線段”能聯(lián)想到什么？這時學(xué)生積極思考，而且有驚喜。有了剛才的鋪墊和現(xiàn)在的啟發(fā)，有學(xué)生聯(lián)想到了剛學(xué)過的角平分線的性質(zhì)。問題轉(zhuǎn)化為證明AD是∠BAC的平分線。驚喜的是有的學(xué)生在啟發(fā)引導(dǎo)下，由垂線段聯(lián)想到了三角形的高，進而聯(lián)想到三角形的面積。由中線將三角形的面積二等分得，要證DM=DN，只需證明AB=AC。通過此題，有什么收獲？對于這幾種方法，你喜歡哪一種？最欣賞哪一種？師生共同提煉：1、證明相等的線段，一般可通過證明兩條線段所在的三角形全等。2、對于證明垂線段相等時，可聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)或利用三角形面積相等。3、對解題方法進行比較，讓學(xué)生從中選優(yōu)，體現(xiàn)最優(yōu)化思想。有些學(xué)生喜歡利用三角形全等，因為他最拿手，有些學(xué)生喜歡利用角平分線的性質(zhì)，因為它最直接，有些學(xué)生喜歡利用等積法，因為解法巧妙，而在幾何教學(xué)中我們也經(jīng)常利用等積法，如可由面積相等這個等量關(guān)系來解決問題，也可以利用面積相等進行等積變形，改變圖形的形狀以便于求解，是個非常巧妙的方法。所以我對此進行有關(guān)計算，推理的拓展與命題。三、說拓展與命題拓展1已知在Rt△ABD中，AD=4，BD=3，DN⊥AB，N為垂足，則DN=____________拓展2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D為邊BC上一點，DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分別為垂足，隨著點D在線段上運動，DM+DN的值是否發(fā)生改變；若改變，說出變化的情況，若不改變，求出它的值。分析：在原題的基礎(chǔ)上改變點D的位置，還是在BC上，但是動點，判斷這兩條垂線段的和會不會改變？此時學(xué)生很難想到通過三角形的全等，但會“截長補短”的學(xué)生可能會解決；而利用等積法來解決，是非常巧妙的做法。實質(zhì)上所求的垂線段的和就是一腰上的高。

等面積法是一種重要的數(shù)學(xué)解題