專題43數(shù)列求和一、錯(cuò)位相減法類型一：（其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列）類型二：（其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列）二、裂項(xiàng)相消法類型一：等差型=1\*GB3①；②類型二：無(wú)理型類型三：指數(shù)型類型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型，本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.類型五：分母為指數(shù)型乘2個(gè)一次函數(shù)型三、分組求和法如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，在求和時(shí)可以使用分組求和法.四、倒序相加法即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和2023·新高考Ⅱ卷——分奇偶（分組）求和1.

已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.2022·新高考1卷——裂項(xiàng)求和2.

已知，證明：．【詳解】∴2020·全國(guó)Ⅲ卷（理）——錯(cuò)位相減3.

已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯(cuò)位相減法求解即可．（2）由（1）可知，［方法一］：錯(cuò)位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當(dāng)時(shí)，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因?yàn)?，令，則，，所以．故．【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯(cuò)位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過(guò)程簡(jiǎn)單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時(shí)，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡(jiǎn)化了運(yùn)算．2021年全國(guó)新高考I卷T164.

某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么.【答案】5【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一錯(cuò)位相減已知，若數(shù)列滿足，求和：．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得又滿足上式，所以又，所以則，，兩式相減得：.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，(1)求 (2)求【答案】(1)；(2)【分析】(1)先令求出首項(xiàng)，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時(shí)，代入并結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，解得，由，代入得，整理后得，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，（2）由(1)可知，，（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用累加法求出，從而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由結(jié)合（1）可求出，然后利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以．?）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，所以（時(shí)也成立）．因?yàn)?，所以，所以，故．記?shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，求m的最小值．【答案】(1);(2)7【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，結(jié)合范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故，且不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，集合，將集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為，求．【答案】【詳解】，集合的非空子集有個(gè)，其中最小元素為1的集合中，含1個(gè)元素的集合有1個(gè)，含2個(gè)元素的集合有個(gè)，含3個(gè)元素的集合有個(gè)，……，含個(gè)元素的集合有個(gè)，所以最小元素為1的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，同理，最小元素為2的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，……，最小元素為的子集個(gè)數(shù)為1個(gè)，∴，，∴，則．已知設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【詳解】所以，所以，所以①，②，得，題型二裂項(xiàng)相消2023秋·湖南師大附中月考（二）已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1),(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，得到數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，得到，結(jié)合裂項(xiàng)求和及，即可得證.【詳解】（1）解：由，可得，即，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又由，可得，則，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）解：由，則.所以.因?yàn)?，所以，?已知，設(shè)，證明：.【詳解】解：因?yàn)?，，? .已知，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【詳解】，所以已知，求證：.【詳解】..另解：.得證已知，若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【詳解】由，可得，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，若，求的前n項(xiàng)和.【詳解】，所以.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，(1)求(2)求【答案】(1);(2)【分析】(1)先令求出首項(xiàng)，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時(shí)，代入并結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出.(2)由第一問(wèn)的公式，正好利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)抵消即可得出結(jié)果【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，解得，由，代入得，整理后得，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，（2）由(1)可知，，已知，數(shù)列前項(xiàng)和，記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證【解答】，，，，，，.題型三分組求和（2023·河北滄州·?？既＃┮阎?，設(shè)為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列前100項(xiàng)的和.【答案】【詳解】由為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，可知，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．684 B．682 C．342 D．341【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式以及并項(xiàng)求和法得出結(jié)果.【詳解】，，，，，所以.已知，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以．已知，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】【詳解】.已知，求滿足的最大整數(shù).【答案】11【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又易知當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，和式，故滿足的最大整數(shù)為11.（2023·山東泰安·模擬）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【詳解】，設(shè)，其前n項(xiàng)和為，所以，①，②①②得，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2023·廣東二模）已知，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和．【解析】所以，所以，，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)的和．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，數(shù)列滿足，其中．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)、累乘法求得和的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合分組求和法、裂項(xiàng)相消求和法求得.【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，由于，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.對(duì)于，，所以，也符合上式，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；所以.所以.（2023·吉東北師大附中一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，兩邊同除從而得到，則得到其通項(xiàng)；【詳解】（1）因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，，所以上式兩邊同時(shí)除以，得，令，則，即，解得（負(fù)值舍去），所以，又，所以是以，的等比數(shù)列，故.（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)三角函數(shù)周期性知的周期為4，則記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求，并證明是等差數(shù)列；(2)求．【答案】(1)，證明見解析；(2)【詳解】（1）解：已知，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以．因?yàn)棰伲寓冢冢俚?，，整理得，，所以（常?shù)），，所以是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列．（2）解：由（1）知，，，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，.題型四倒序相加（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論?代數(shù)學(xué)?非歐幾何?復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).我們高中階段也學(xué)習(xí)過(guò)很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離常數(shù)后可得，再利用倒序相加法，即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，，，，即.（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為.【答案】【分析】利用倒序相加法結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求的前n項(xiàng)和.【詳解】設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，又，故，故已知函數(shù)，則；設(shè)數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為.【答案】【分析】由題意可知，即可根據(jù)此關(guān)系求出，因?yàn)?，則，利用倒序相加法求和即可，【詳解】解：已知，則，，所以，則，已知數(shù)列，，，數(shù)列的前2023項(xiàng)的和，且，兩式相加，得（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)