2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試

數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.若2=sin工+icos二,貝！

33

A.1B.-1C.iD.-i

2.設｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列,。2，〃4，為成等比數(shù)列，貝

a5

A.3B.—D.2

2

3.已知正方體4BCO-4與。14，平面4月。與平面的交線為/,則

A.IllA、DB.IllBXDC.l//C{DD.l//DxD

4.若函數(shù)/(%)=b4、+(2"1).2%有最小值，貝心的取值范圍是

A.(0,萬)B.(0,—]C.(—,+oo)D.[—,+oo)

5.設x,y,zG(0,—)，(sinx+cosx)(siny+2cosy)(sinz+3cosz)=10,貝！J

TCTC7TTC

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.-=x>y>z

4444

6.向量a,8滿足傳|=1,<?+/>,?+26)=30°,貝lj|a|的取值范圍是

A.[V2-1,V2+1]B.[V3-1,V3+1]C.[V5-1,75+1]D.[76-1,76+1]

7.暗箱中有編號為1,2的2個球，現(xiàn)從中隨機摸1個球，若摸到2號球，則得2分,

并停止摸球；若摸到1號球，則得1分，并將此球放回，重新摸球.記摸球停止時

總得分為X,則E(X)=

A.3B.4C.5D.6

數(shù)學試題第1頁（共4頁）

二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的，少選擇1個正

確選項得3分，少選擇2個正確選項得1分，否則得0分。

8.對于數(shù)集Z,B,它們的Descartes積4x3={(x,y)|X?4了e團，則

A.AxB=BxAB.若貝U(4x3)屋(CxB)

C./x(8nC)=(/x3)n(/xC)D.集合{0}xR表示了軸所在直線

E.集合/x/表示正方形區(qū)域(含邊界)

9.已知直線y=?x-l)經(jīng)過拋物線C:/=2px(p>0)的焦點尸，與C交于M,N兩

點，與C的準線交于尸點，若|荷|,|而|而|成等差數(shù)列，則

A.p=2B.FP^NF

C.FN=3MFD.k=43

E.|而|=8

10.存在定義域為R的函數(shù)/(x)滿足

A./(x)是增函數(shù)，/[/(x)]也是增函數(shù)

B./(x)是減函數(shù)，/[/(x)]也是減函數(shù)

C.對任意的aeR,f(a)手a,但/"(x)]=x

D./(x)是奇函數(shù)，但/"(x)]是偶函數(shù)

E./(x)的導函數(shù)r(x)的定義域也是R,且/[/(x)]=-x

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。

11.曲線y=Vi二I在點(jf處的切線方程是.

12.寫出一個正整數(shù)〃>1,使得(盯+己)”的展開式中存在常數(shù)項：.

yjX

2

13.設雙曲線。:一一4=1(°>0)的左、右焦點分別為公，尸2，出廠,|=6,點尸在C

a

的右支上，當期，桃時，|「片川桃匚________；當尸運動時，|因|+^^的

IPF]I

最小值為.

數(shù)學試題第2頁(共4頁)

14.已知某圓臺的側面是一個圓環(huán)被圓心角為90。的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺的側面

積為2兀，則該圓臺體積的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(10分)

在/\ABC中，sin(4+—)sin(5+—)=cosAcosB.

44

(1)求C；

(2)若AB=C,求5-在的最小值.

16.(10分)

已知數(shù)列｛an｝和｛6“｝滿足sina“+]=sinan+cos”,cos6?+1=cosbn-sin%.

2222

(1)證明：sinan+l+cosbn+l=2(sinan+cosbn)；

(2)是否存在內,*使得數(shù)列｛sin2a,+cos26“｝是等比數(shù)列？說明理由.

17.(15分)

設a>0,函數(shù)/(x)=x"Inx.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若/(x)Wx,求。的取值范圍；

(3)若f'(x)<1,求a.

18.(15分)

已知二面角a-/-夕，點尸ea,尸與棱/的距離為相，與半平面力所在平面的距

離為3.

(1)求二面角a-1-/的余弦值；

(2)設Bel,AB=\,動點Qe夕，滿足尸。=5.

(i)求。運動軌跡的長度；

(ii)求四面體P-Q/3體積的最大可能值.

數(shù)學試題第3頁(共4頁)

19.(15分)

設離散型隨機變量￡和丫有相同的可能取值，它們的分布列分別為尸(X=。斤)=/，

nn

P(Y=ak)=yk,丫女>0,yk>0,k=1,2,…，n,2、左=2y后指標0(X||y)可

k=ik=i

用來刻畫x和y的相似程度，其定義為。(XIIy)=In至.

Myk

設X?B(n,p),0<p<l.

(1)若丫?5(〃應),0<q<l,求Z)(X||y)；

(2)若"=2,尸(y=左一i)=g,k=\,2,3,求D(x||y)的最小值；

(3)對任意與X有相同可能取值的隨機變量y,證明：D(X\\Y)>0,并指出取等

號的充要條件.

20.（15分）

本題分I、n兩部分，考生任選其中一部分作答.若多選，則按照I部分計分.

I.(1)如圖1,點/在直線/外，僅利用圓規(guī)和無刻度直尺，作直線(保留作

圖痕跡，不需說明作圖步驟).

(2)證明：一簇平行直線被橢圓所截弦的中點的軌跡是一條線段(不含端點)；

(3)如圖2是一個橢圓C,僅利用圓規(guī)和無刻度直尺，作出C的兩個焦點，簡要

說明作圖步驟.

22

II.已知點/(4,7),集合5={(》/)|上+1-?1},點尸€5,且對于S中任何異于尸的

1612

點。，都有標?所>0.

22

(1)證明：尸在橢圓二+匕=1上；

1612

(2)求尸的坐標；

22

(3)設橢圓"+3=1的焦點為片，F(xiàn)2,證明：AAPFX=ZAPF2.

參考公式：{ad-be)1+(ac+bd)2=(a2+/?2)(c2+d2).

數(shù)學試題第4頁(共4頁)

2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試

數(shù)學參考答案

一、選擇題

1.C2.B3.A

5.D6.B7.A

二、選擇題

8.BCD9.ABCE10.ACD

三、填空題

5

11.y=----X12.示例:5

4

9V30

13.16；14.(--71,+00)

212

四、解答題

15.解:

(1)由題設矢口(sin/+cos/)(sin3+cos3)=2cos/cos3.若cos/cos3=0,則//

2

或8=二.當/=二時，sinU+-）^0,所以3=也，此時/+兀，不合題意.同理

2244

3=二亦不成立.

2

所以(tan/+l)(tan3+l)=2,tanC=_tan(/+8)=tan/+tan3=_】，故c=里.

tanZtanB-l4

(2)記角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,則c=&,CA-CB=--ab.

2

由余弦定理知cosC="+"一°-=一旦，所以-后成=/+62_222仍-2,因此

2ab2

ab<2-42,當a=b=42_4i時等號成立.

__>6—>—?

^CA-CB=--ab>\-41,G4-C5的最小值為1一VI.

2

數(shù)學答案第1頁（共5頁）

16.解：

22

(1)由題知sin2%+i=sman+cosbn+2sinancosbn，

222

cosbn+i=cosbn+sinan-2sinancosbn，

22

兩式相加可得sin?*+]+cos22+i=2(sinan+cos5M).

(2)若sin?q+cos2〃]=0,則｛sin?%+cos?”｝不是等比數(shù)列.

2222n-1

若sinax+cosai=m>0,貝Usinan+cosbn=mx2,當幾>2-log2m時，

2222

sinan+cosZ?n>2,但|sinQ〃區(qū)1,|cosZ??|<1,sin?w+cosZ?w<2,矛盾！

綜上，不存在外,可，使得｛sin?a〃+cos?”｝是等比數(shù)列.

17.解：

(1)/(x)的定義域是(0,+oo),f\x)=ax"-Inx+xa~x—xa~l(tzlnx+1).

令r(x)=o,得與=eF所以/(x)在(03二)單調遞減，在(e二,+8)單調遞增.

(2)因為x〉0,所以/(x)Kx等價于x"-1InxWl.記函數(shù)g(x)=x"Tlnx.

①當a>1時，g(e2)=2e2(a-1)>l,不合題意；

J-1

②當0<。<1時，由(1)知g(x)Wg(e-)=---------<1,解得4€(0,1-e-1].

(l-tz)e

綜上，。的取值范圍是(0,1-e4.

(3)記函數(shù)〃(x)=fr(x)=xa~l(aInx+1),hr(x)=xa~2[(a2-a)lnx+2a-Y].

1]、、

①若〃=—,h\x)=—x2Inx,〃(x)在(0,1)單調遞增，在(1,+oo)單調遞減，故

24

h｛x)<h(y)=\,符合題意；

\—2a1-2。

②若ae(0」)，〃(x)在(e—,l)單調遞減，故〃(e-)>3)=1,不合題意；

1-2°13

③若ae(；,l),/z(x)在(l,e")單調遞增，故比—)>/1)=1,不合題意；

④若ae[l,+8),%(x)在(1,+ao)單調遞增,故4(x)>/z(l)=l,不合題意.

綜上，a=—.

2

18.解：

(1)設尸在/,《所在平面的射影分別為M,N,則=PN=3.

易知平面尸AW,貝故或其補角即為二面角a-/-夕的平面角，

3u—g/z.cHA十力/土d33y[\3人4，+、r2A/T§~32-J]3

1因n此一面角a-/一夕的正弦值為-；==------,余弦值為-----或------.

V13131313

數(shù)學答案第2頁（共5頁）

(2)(i)因為所以NQ=QQ2_pM=4.

①若Qw",則以N為圓心，4為半徑的圓在力中的部分是一段優(yōu)弧，對應圓心角

為羨因此。運動軌跡的長度為一；

②若Qe尸，則以N為圓心，4為半徑的圓在/中的部分是一段劣弧，對應圓心角

為g,因此。運動軌跡的長度為

所以。運動軌跡的長度為一或年.

(ii)四面體P-Q48的體積K=；S//,其中/z=PN=3為尸到平面。48的距離，

5=；/8乂［=；為4。/3的面積，d為0到直線N3(或/)的距離.

由(i)知，若Qe",則當。N，/時，4取最大值6；若。生。，則當QV，/時，

d取最大值2,所以四面體尸-。體積的最大可能值為3.

19.解：

kkk

⑴不妨設歿=左,則xk=C儲(1-0尸,yk=Cnq(\-qy-.

nkzi\n—k

k

所以。(XIIy)=￡c^/(i-Py-in-JL

k=0qQ_q)

gp"pY~k+〃in[J.￡c：/(i-y-k

tP

k=0-qk=0

p(i-g)nln]-P

=np]n+

q(i—p)i-q

(2)當〃=2時，P(X=l)=p2,尸(X=l)=2Ml-0),尸(X=O)=(1-0產(chǎn).

記f(p)=D(X||IQ=/姑3P2+2p(l_0)1116P(1-p)+(1-plIn3(1-p)2,

f'(p)=4p\np+2p+(2-4j>)[ln2/?(l-/?)+1]-4(1-p)ln(l-p)~2(1-p)

=2[lnp-ln(l-p)+(l-2p)ln2].

,1

設g(p)=lnp_ln(l-p)+(l-2p)ln2,g(jP)=l+———21n2>0,g(p)單調遞增.

P"P

而g(g)=O,所以/'(/)在(o,f為負數(shù),在(g,l)為正數(shù),/(p)在(0,g)單調遞減,

在(；,1)單調遞增,D(X||y)的最小值為山3-，n2.

數(shù)學答案第3頁(共5頁)

（3）當x>0時，—1,所以BPlnx>l--.

XXX

故。（X||y）=￡/In包之24（1-與=9（/-及）=色4-）九=0,

k=lykk=\Xkk=\k=\k=\

當且僅當對所有的左，4=以時等號成立.

20.解:

I.

（1）如圖.

（2）建立適當?shù)淖鴺讼?，使橢圓C的方程為j+J=l（a>6>0）.

ab

①若該簇平行直線斜率不存在，它們被橢圓所截弦的中點均在X軸上，因而軌跡是

長軸（不含左、右頂點）；

②若該簇平行直線斜率存在且為左，與橢圓交于，（四,必），3（叼,%）兩點，則有

其+4=1（*）,4+4-=i（**）,匹二21=左（***）.

ababx2-xx

（*）（**）相減得魚士逛華二梗+（%+%?f）=0,

a1b2

結合（***）得&±>=一￡,這表明，弦的中點在定直線y=-￡x上，因

Xj+x2kaka

而弦中點的軌跡是該直線被橢圓所截得的弦（不含端點）.

（3）參考步驟：

①任取橢圓C上4點4,B,D,E；

②過/,3作直線DE的平行線，分別與橢圓交于點廠，G；

數(shù)學答案第4頁（共5頁）

③作弦4F,BG的垂直平分線，分別與弦4F,BG交于點、H,I,則直線印經(jīng)

過C的中心；

④同理過。，￡作直線的平行線，重復以上步驟得到直線雙，JK與HI交于

點。，。即為C的中心；

⑤以。為圓心，適當半徑作圓，與C順次交于點2，P2,P3,舄；

⑥作巴和/鳥的角平分線，它們所在直線即為C的兩條對稱軸，兩直線與

C交于4點，其中2個點為M,