高中數(shù)學教材人教版知識點總結(jié)

必修1

第一章、集合與函數(shù)概念

§1.1.1、集合

1、把研究的對象統(tǒng)稱為江素，把一些元素組成的總體叫做集食。集合三要素：確定性、互

異性、無序性。

2、只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。

3、常見集合：正整數(shù)集合:N*或N+，整數(shù)集合:Z,有理數(shù)集合:Q,實數(shù)集合:R.

4、集合的表示方法：列舉法、描述法.

§1.1.2、集合間的基本關系

1、一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱

集合A是集合B的子集。記作Aq8.

2、如果集合A=B,但存在元素xw8，且x交A,則稱集合A是集合B的真子集.記作:

ASB.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作:。.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.

4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有2"個子集.

§1.1.3、集合間的基本運算

1、一般地，山所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的正集.記作:

A\JB.

2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作:

AC\B.

3、全集、補集?CuA={x}xeU,Rx^U]

運算交集并集補集

類型

定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設S是一個集合，A是

義S的一個子集，由S中

于B的元素所組成屬于集合B的元素所

所有不屬于A的元素組

的集合,叫做A,B的組成的集合，叫做A,B

成的集合，叫做S中子

交集.記作APIB（讀的并集.記作：AUB第A的補集（或余集）

作'A交B'）,即（讀作'A并B'）,即記作CsA,即

Ap|B={xxeA,且AUB={x|xeA,或

xeB）.xeB}）.CsA={xIxeS”目x任A}

韋

.B

恩

圖

示圖1圖2

性AP|A=AAUA=A

(CUA)n(C?B)

AAAU<h=A

=c?(AUB)

AnB=Bp|AAUB=BUA

(CA)u(CuB)

ApIBcAAUB?AU

質(zhì)ApIBcBAUBNB=CU(APB)

AUO)=U

Af](CuA)=中.

§1.2.1、函數(shù)的概念

1、設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系了,使對于集合A中的任意一個

數(shù)X,在集合B中都有惟?確定的數(shù)/(x)和它對應，那么就稱/:A->8為集合A到

集合B的一個函數(shù),記作：y=/(x),xeA.

2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應關系、值域為II果兩個函數(shù)的定義域相同,并且

對應關系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.

§122、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

§131、單調(diào)性與最大(小)值

單調(diào)性的定義：見書P28

1、注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式：

解：設X],4e以且X]<X2,則：/(x1)-/(x2)=—

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(一x)=/(x),那么就稱函

數(shù)/(x)為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關于y軸對稱.

2、一般地，如果對于函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(一x)=—/(x),那么就稱

函數(shù)/(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關于原點對稱.

第二章、基本初等函數(shù)(I)

§2.1.1、指數(shù)與指數(shù)幕的運算

1、一般地，如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根。其中〃>l,〃eN+.

2、當〃為奇數(shù)時，^=￡1；當〃為偶數(shù)時，'^"=\a\.

3、我們規(guī)定：

(l)am=[a>O,m,n&N*,m>\(2)a>0)；

4、運算性質(zhì):

⑴a'ax-ar+s(a>O,r,seQ)；(2)(a'')'-ars(a>0,r,seQ)；⑶

(ah)r=arbr(a>0,b>0,re2).

§2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：y=ax(a

相關性質(zhì):

?殷地,指數(shù)函數(shù)、=〃'ItuKl)的圖象和性

腹如卜女所示.

§221、對數(shù)與對數(shù)運算

log,,A

1、a*=N=log.N=x；2、a=a.3、loga1=0,log.a=1.

4、當a>0,aw1,Af>0,7V>0時:

M

(1)log?(W)=logA；+log?；⑶

a⑵log“~Nlog,,M-log,,N；

logaM"=nlogaM.

1

5、換底公式：log〃b=(a>0,awl,c>0,cxl,b>0).6、log?b

logcalog*a

(a>0,aKLb>0,bw1).

§2.22、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、記住圖象：y=log“>0,aH1)

相關性質(zhì):

一般地.時數(shù)函數(shù)y—1。&才Q>o,且aWD的圖象和

性質(zhì)如下我所示：

性(1)過定點<1.03即時.>-0

質(zhì)(2)在<0,+8)上是故南敏(2)在(Q.+->)上是增雨教

§2.3、嘉函數(shù)

1、幾種塞函數(shù)的圖象:

通過圖2.3-1q上表.我們得到，

3

1.函數(shù).y=-r.y=jr,y=jr.y=_r,和1y=1二的圖象

都通過點（hDi

2.函數(shù)N=J、y:.i.y=r'是奇'函數(shù)?函數(shù)y”.廣

是強函數(shù)；

3.在第一象限內(nèi).南I4_V=M.y=.r2.y-yfily—j

是增函數(shù).函數(shù)）=，'是減函數(shù)：

I.在第一象限內(nèi).函數(shù)?的圖象向上與j軸無限

接近,向右與1軸無限接近..一，,一“一

表2

第三章、函數(shù)的應用

§3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點

1、方程/(x)=0有實根。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點=函數(shù)y=/(x)有零點.

2、性質(zhì)：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a/］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/⑷?/⑹<0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,匕)內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、掌握二分法.

§3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型

§3.2.2、函數(shù)模型的應用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點圖，再用適當?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗.

必修2數(shù)學知識點

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)

⑴常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。

⑵棱柱:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱介：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。

2、空間幾何體的三視圖和直觀圖

把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照

射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

3、空間兒何體的及面積與體積

⑴圓柱側(cè)面積；S惻而=2萬"?/⑵圓錐側(cè)面積：5Wffl=7i-r-l⑶圓臺側(cè)面積:

S廁面=%r/+?.R./

⑷體積公式：

u柱體=s，〃；V錐體=§S./i；v臺體=t（s上+Js上,s卜.+S卜）

C42

⑸球的表面積和體積：S球=4成V球=§成3

第二章：點、直線、平面之間的位置關系

1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

6、線線位置關系：平行、相交、異面。

7、線面位置關系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直線和平面相交。

8、面面位置關系：平行、相交。

9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

⑵性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平而與此平面的交線與該直線平行。

10、面面平行：

⑴判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

⑵性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

11、線面垂直：

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說這條直線和這個平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

⑶性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

12、面面垂直:

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。

⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

第三章：直線與方程

1、傾斜角與斜率：k=tana=—一^—

x2-Xj

2、直線方程：

⑴點斜式：^-為二吊工一項,）⑵斜截式：y=kx+b⑶兩點式：-~~—=———

>'2->'1苫2一七

⑷一般式：Ax+By+C=0

3、對于直線：

/j:y=+4：y=k2x+b2有：

k=k{k=k

⑴12;（2）/1和/，相交；（3）/1和。重合=4'2;（4）

/,,L/2<=>kxk2=—1.

4、對于直線：

/i：Aix+Bly+Ci=0,

有：

(2:+82y+C*2-0

-；(2)/］和乙相交=ASWAg;

BiC2HB2cl

A.B7=A出

⑶4和右重合“；(4)Zj±/2<=>AjA24-B1B^=0.

BlC2=82G

5、兩點間距離公式：

化8|=J(》2-X|)2+(%--)2

6、點到直線距離公式：

d_|Ax0+By0+C\

C/A2+BT

第四章：圓與方程

1、圓的方程：

⑴標準方程：(x—a》+(y—bY=r2

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

2、兩圓位置關系:d=\OtO2\

⑴外離：d>R+r；⑵外切：d=R+r；⑶相交：R-r<d<R+r

⑷內(nèi)切：d=R—r；⑸內(nèi)含：d<R-r.

3、空間中兩點間距離公式：

山8|=J（%2—XJ2+（）'2一）'J2+（Z2-Z|）2

必修3數(shù)學知識點

第一章：算法

1、算法三種語言：

自然語言、流程圖、程序語言；

2、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：

順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

3、流程圖中的圖框：

起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；

4、循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見的兩種結(jié)構(gòu)：

當型循環(huán)結(jié)構(gòu)、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

5、基本算法語句：

①賦值語句：“=”（有時也用“一”）②輸入輸出語句：“INPUT”“PRINT”

③條件語句：

If…Then

Else…

EndIf

④循環(huán)語句：“Do”語句

Do

Until…

End

“While”語句

While…

WEnd

⑹算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法一同余思想

第二章：統(tǒng)計

1、抽樣方法：

①簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）②系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）③分層抽樣（總體中差異

明顯）

注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均

2、總體分布的估計:

⑴一表二圖：

①頻率分布表——數(shù)據(jù)詳實②頻率分布直方圖——分布直觀③頻率分布折線圖——便

于觀察總體分布趨勢

注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為lo

⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的藥重復寫。

3、總體特征數(shù)的估計：

⑴平均數(shù)：3+…+X"；

n

取值為Xx,X2,---,Xn的頻率分別為PI,P2,…，?！?，則其平均數(shù)為X[P]+X2P2+…+；

注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。

⑵方差與標準差：一組樣本數(shù)據(jù)七》2,…,X”

2

方差：s=—V(X;-X)；標準差：s=-X)

"<=1V"(=1

注：方差與標準差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標準差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。

⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關系：函數(shù)關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系

③線性回歸方程：y=bx+a(最小二乘法)

〃__

a=y-bx

注意：線性回歸直線經(jīng)過定點日J)。

第三章：概率

1、隨機事件及其概率：

⑴事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；

⑶隨機事件A的概率:P(A)=—,O<P(A)<1;

n

2、古典概型：

⑴基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；

⑵古典概型的特點：

①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。

⑶古典概型概率計算公式：?次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m

個基本事件，則事件A發(fā)生的概率尸(4)=㈣。

n

3、幾何概型：

⑴幾何概型的特點：

①所有的基本事件是無限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。

⑵幾何概型概率計算公式：戶(川=粵罌；

。的測度

其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。

4、互斥事件：

⑴不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；

⑵如果事件4,公，…,A”任意兩個都是互斥事件，則稱事件,A2，…,勺彼此互斥。

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A,B發(fā)生的概率的和,

即：P(A+8)=P(A)+P(B)

⑷如果事件,A2,…,A,,彼此互斥，則有：

尸(4+A?+…+)=P(4)+P(&)+…+P(A“)

⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。

①事件4的對立事件記作]

P(4)+P(A)=1,P(A)=1-P(A)

②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。

必修4數(shù)學知識點

第一章、三角函數(shù)

§1.1.1、任意角

1、正角、負角、零角、象限角的概念.

2、與角。終邊相同的角的集合：

[0\/3-a+2k兀,kez).

§1.1.2,弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

2、=—.

r

3、弧長公式：/=2型=同??.

18011

4、扇形面積公式：S=^-=-lR.

3602

§1.2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸(X,)，)，那么：

.V

sina=y,cosa=x,tana.

x

2、設點4(%,〉0)為角a終邊上任意一點，那么：(設廠=Jv；+y；)

sin^z=—,cosa--,tana.

rr

3、sin。，cosa,tana在四個象限的符號和三角函數(shù)線的畫法.

4、誘導公式一：

sin（a+2&乃）=sina,

cos（a+2攵乃）=cosa,（其中：keZ）

tan（a+2k兀）=tana.

5、特殊角0°,30°,45°,60°,

90°,180°,270°的三角函數(shù)值.

K

a-6-4~3

sina

cosa

tana

§122、同角三角函數(shù)的基本關系式

1、平方關系：sin2a+cos2a=1.

2、商數(shù)關系：tana=sin"

cosa

§1.3、三角函數(shù)的誘導公式

1＞誘導公式二：

X

+二)=

/-sina,

si+a-

co一cosa,

\=

ta+a)

/tana

2、誘導公式三:

sin（-a）=-sina,

cos（-a）=cosa,

tan（-a）=-tana.

3、誘導公式四:

a1

/!

>

a

>二一cosa,

\

二n

/=-tana.

4、誘導公式五:

5、誘導公式六:

sin(2+aj=cosa，

cos71+a\--sina.

(2

§1.4.1,正弦、余弦函數(shù)的圖象

1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：

2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關性質(zhì)：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、

對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

3、會用五點法作圖.

§1.4.2、正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、周期函數(shù)定義：對于函數(shù)/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一

個值時，都有/(x+7j=/(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做

這個函數(shù)的周期.

尸=血X的國家

y=cosk的國象

§1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、記住正切函數(shù)的圖象:

2、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關性質(zhì)：定