2021-2022學(xué)年河南省信陽高級中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（文

科）（8月份）

一、單選題（共12小題，每小題5分，共60分）.

1.若集合A={X|X2-2XW0},集合B滿足AUB=4,則8可以為（）

A.{x|xW2}B.{x|-lWxW2}C.{1,2}D.{-1,0,1,2）

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=|?+[-於。21,則在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，某電商平臺的直播間主要經(jīng)營食品和

服裝兩大類商品，2020年前三個季度，該直播間每個季度的收入都比上一季度翻了一番,

整理前三季度的收入情況如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

%食品收入UIE我收入

A.該直播間第三季度的總收入是第一季度的4倍

B.該直播間第三季度的服裝收入比第一季度和第二季度的服裝總收入還要多

C.該直播間第二季度的食品收入是第三季度食品收入的方

D.該直播間第一季度的食品收入是第三季度食品收入的J

6

X

4.函數(shù)/(x)=的圖象大致為（)

lnlxI

22

5.“44V10”是“方程三_+_L=l表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（）

k-410-k

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/（x）=sinx-x,設(shè),6=/'（0.1口），c=/（logo.in）,則〃，b,c

的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.h>c>aC.c>h>aD.h>a>c

7.已知數(shù)據(jù)xi,必…，X2020的方差為4,若V=2H（i=l,2,—,2020）,則新數(shù)據(jù)yi,

”，…，”020的方差為（）

A.2B.4C.8D.16

8.已知函數(shù)八x）=se「+〃的圖象恒過點(diǎn)（2,1）,若對于任意的正數(shù)如〃，不等式上+魚》&

mn

恒成立，則實(shí)數(shù)A的最大值為（）

A.9B.3+2后C.7D.4加

9.若各項均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝滿足。向=4斯，ag=256,則使得不等式4"<133

（1+，a[+，a2+…+，a-成立的最大正整數(shù)"的值為（）

A.5B.6C.7D.8

I菽1=1,SAABC=^S,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

10.在鈍角三角形A8C中，AB=（1，F(xiàn)）

則1通=（）

A.五B.正C.返D.—

2222

11.在△ABC中，AC=2?，頂點(diǎn)8在以A為直徑的圓上，點(diǎn)P在平面ABC上的射影為

AC的中點(diǎn)，PA=2,則其外接球的表面積為（）

B.竽兀9

A.12TTC.471D.16n

4

-2X2+4X,04X42,

12.已知函數(shù)/(x)=11若函數(shù)g(x)=/(x)-丘+k在區(qū)間［-2,

yf(X+2),X<0,

1］上有3個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(-4-2V3.0)B.(-1,0)C.(-4+2泥，0)D.(-p0)

二、填空題((每小題5分，共20分))

13.若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

14.從古至今，文學(xué)與數(shù)學(xué)都有著密切的聯(lián)系.一首詩從末尾一字讀至開頭一字另成一首新

詩，稱之為“通體回文詩”，數(shù)學(xué)中也有類似的情況：對一個整數(shù)〃">10)從左向右

和從右向左讀其結(jié)果都是質(zhì)數(shù)，可以稱它為“通體質(zhì)數(shù)”.若在閉區(qū)間［10,30］中，任取

一個整數(shù)，則此整數(shù)是“通體質(zhì)數(shù)”的概率為.

JT

15.已知函數(shù)/(x)=sin2x+sin(2x+-^-)+。同時滿足下述性質(zhì)：①若對于任意的xi,xi,

X3G［0,-^7-］,7(xi)2f(X3)恒成立；②fa］-)則a的值為_____.

46V

16.一動圓截直線3x-y=0和3x+y=0所得弦長分別為8,4,則該動圓圓心的軌跡方程

為.

三、解答題

17.已知數(shù)列｛飆｝是遞增的等差數(shù)列，G=/,且滿足“4是Z與制的等比中項.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛―--｝的前〃項和.

anant-l

18.如圖，平面ABC,DA=AC=l,。是A8的中點(diǎn)，△4C0為等邊三角形.

(1)證明：平面ACD_L平面BCE；

(2)若AD〃BE,P為CE的中點(diǎn)，Q為線段0P上的動點(diǎn)，判斷三棱錐Q-ACD的體

積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由.

19.電子煙是一種模仿卷煙的電子產(chǎn)品.有害公共健康.為研究吸食電子煙是否會引發(fā)肺部

疾病，某醫(yī)療機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，吸電子煙與不吸電子煙的比例為1：3,

整理數(shù)據(jù)得到如表:

感染肺部疾病未感染肺部疾病總計

吸電子煙15

不吸電子煙50

總計

(1)完成2X2列聯(lián)表，在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，能否認(rèn)為吸食電子煙與感

染肺部疾病有關(guān)？

(2)為進(jìn)一步調(diào)查分析電子煙中誘發(fā)肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被調(diào)查人

中，按照吸電子煙和不吸電子煙這兩大類別，采用分層抽樣的方法抽取8人，從這8個

人中任取2人進(jìn)行血液、痰液等相關(guān)醫(yī)學(xué)檢查n求這兩個人來自同一類別的概率.

2

參考公式及數(shù)據(jù)：K=---<7---------------其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(爛》公)0.0500.0100.0050.001

k)3.8416.6357.87910.828

20.己知函數(shù)/(x)=sinx-(aeR).

(1)定義/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/⑴(x),/(1)(X)的導(dǎo)函數(shù)為/⑵(x),……以此類推，

TT

若/2020>(1)=sinl,求函數(shù)f(2x升)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x20,證明：/(%)<0.

21.已知拋物線C：x2—2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且尸與圓M-.x2+(y+4)2—］上點(diǎn)的距

離的最小值為4.

(1)求p；

(2)若點(diǎn)尸在M上，PA,尸8為C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求面積的最大值.

'_2

22.在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C的參數(shù)方程為｛x=mt,(機(jī)#o,，為參數(shù))，以坐標(biāo)原

y=mt

TT

點(diǎn)o為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為PCOS(x-f^)

=返

2-

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/經(jīng)過曲線C的焦點(diǎn)T,且與曲絨C交于M,N兩點(diǎn)，求17Ml」刑.

23.已知函數(shù)f(x)=|x-1|.

(1)求不等式/(x)-/(2X+4)W1的解集；

(2)當(dāng)x<-l時，/(“X)+/(-x)+x>0恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

參考答案

一、單選題（共12小題，每小題5分，共60分）.

1.若集合4=U|X2-2X<0},集合8滿足AUB=A,則8可以為（）

A.{x|xW2}B.{x|-lWxW2}C.{1,2}D.{-I,0,1,2）

解：?..集合A={NX2-2XW0}={X|0WXW2},集合8滿足4UB=A,

：.BQA,

二8可以為{1,2}.

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=W吊力-0⑼，則在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：Vr4=l,理。21=（產(chǎn)）505?j=j,

1^1=7（73）2+12=2,

復(fù)數(shù)z=|F+i|-72021=2-i,

則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)（2,-1）位于第四象限，

故選：D.

3.“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，某電商平臺的直播間主要經(jīng)營食品和

服裝兩大類商品，2020年前三個季度，該直播間每個季度的收入都比上一季度翻了一番,

整理前三季度的收入情況如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

A.該直播間第三季度的總收入是第一季度的4倍

B.該直播間第三季度的服裝收入比第一季度和第二季度的服裝總收入還要多

C.該直播間第二季度的食品收入是第三季度食品收入的方

D.該直播間第一季度的食品收入是第三季度食品收入的!

解：對于選項A：因為該直播間每個季度的收入都比上一季度翻了一番，所以第三季度

的總收入是第一季度的2X2=4倍，所以選項4正確，

對于選項8：不妨設(shè)第一季度的總收入為“，則第二季度、第三季度的總收入分別為2”、

4a,

所以第三季度的服裝收入為4ax70%=2.8a,第一季度和第二季度的服裝總收入為“X

90%+2aX80%=2.5a,

因為2.8〃>2.5m

所以選項B正確，

對于選項C：由題意第二季度的食品收入為2ax20%=0.4m第三季度的食品收入為4a

X30%=1.2m

因為"_==，即直播間第二季度的食品收入是第三季度食品收入的《，

1.2a33

故選項C正確，

對于選項。：第一季度的食品收入為“X10%=0.1a,

因為當(dāng)黑=士，即第一季度的食品收入是第三季度食品收入的士，

1.2a1212

所以選項。錯誤，

故選：

4.函數(shù)f(x)=一7的圖象大致為()

lnlxI

解：函數(shù)的定義域為{x|xW0且xW±l},

/(-X)=--j-=---F—j-=-f(x),則/(x)是奇函數(shù)，排除A,

ln|-xIlnlxI

當(dāng)x>。時，"X)=上，f(x)Jnx-xT」4

lnX(lnx)2(lnX)

當(dāng)x>e時，f(x)>0,此時f(x)為增函數(shù)，排除O,

當(dāng)IVxVe時，f(x)<0,此時/(x)為減函數(shù),

即當(dāng)x=e時，/'(x)取得極小值/(e)-r-=e,排除c,

Ine

故選：B.

22

5.“4V&V10”是“方程且_+_1_=1表示焦點(diǎn)在尢軸上的橢圓”的()

k-410-k

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

解：?.?方程二_+上_=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

k-410-k

k-4>0

10-k>0,解得：7<*<10,

k-4>10-k

22

故"4V&V10”是“方程二+上_=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要不充分條件，

k-410-k

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)=siar-x,設(shè)〃，b=f(0.1K),c=f(logo.iir),則a,b,c

的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

解：,:f(x)=sinx-x,

:.f(x)=cosx-IWO,

，函數(shù)/(x)=sinx-x在R上單調(diào)遞減，

又71°」>7T°=1,0<0.1^<1,Iogo,in<logo.i1=0,

/./(logo.in)>b=f(0.111)>f(ii0J),

即c>b>a,

故選：C.

7.已知數(shù)據(jù)Xi,及，…，X2020的方差為4,若Y=2H(i=l,2,…，2020),則新數(shù)據(jù)yi,

)明…，”020的方差為()

A.2B.4C.8D.16

解：根據(jù)題意，樣本數(shù)據(jù)加，X2,…，X2O2O的方差為4,

yi=2xi(z=l,2,???,2020),

所以yi,丁2，…，”020的方差為

D(D=D(2x)=22XD(X)=4X4=16.

故選：

8.已知函數(shù)f(x)=%e「2+〃的圖象恒過點(diǎn)(2,1),若對于任意的正數(shù)如〃，不等式上+魚》人

mn

恒成立，則實(shí)數(shù)A的最大值為()

A.9B.3+2亞C.7D.4&

解：可令x-2=0,即x=2,可得42)=,"+〃=1,

由“>0,">0,可得」+&=(m+〃)(4當(dāng)=1+4+^+—>5+21厘互=9,

mnmnmnVmn

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2,〃=］時取得等號，

則AW9,可得A的最大值為9.

故選：A.

9.若各項均為正數(shù)的數(shù)列｛〃〃｝滿足a“+i=4〃“，〃1。5=256,則使得不等式4n<133

(1+/1+J同+…成立的最大正整數(shù)〃的值為()

A.5B.6C.7D.8

解：各項均為正數(shù)的數(shù)列｛〃“｝滿足ae=4z,可得上始旦+1

an

則數(shù)列｛〃”｝是公比為4的等比數(shù)歹U,

又m〃5=256,a[2q4=256，即m=l，

n-1n-12

Aan=4=(2).可得用=2年1

由不等式4Y133(l+?7+J^+…+J^)成立,

21

得4"<133(1+20+2'+2+-+2?-)-133(1+133X2",

/.2?<133<28,即〃<8,可得最大正整數(shù)〃的值為7.

故選：C.

10.在鈍角三角形ABC中，器=（1,、口），I正1=1，5號踩=零，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn),

則屈=（）

A.且B.匹C.返D.—

2222

解：如圖，

IABl=2?IAC1=1，S△妞

|AB||AC|,sin/BAC=sinNBAC=^,，COSNBAC=±￡,

若cosZBAC^I，則：|BC|2=|AC-AB|2=AC2+A￡2-2AC-AB=

l+4-2X2XlXy=3-

...NB=90°,△ABC是直角三角形，與己知AABC是鈍角三角形矛盾，

???cos/BAC=V，

???|AD|-1|AB+AC|（AB+AC）2=y'^4+l-2X2XlXy-

故選：c.

11.在△ABC中，AC=2j§，頂點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上，點(diǎn)P在平面ABC上的射影為

AC的中點(diǎn)，PA=2,則其外接球的表面積為（）

169

A.12nB,7TC.—兀D.16n

34

解：如圖，

：頂點(diǎn)8在以AC為直徑的圓上，...NABC=90°,

,：AD^DC,：.D為△ABC的外心，

又PC_L平面A8C,且AQ=￡>C,：.PA^PC=2,

,.,P￡>u平面PAC,可得平面PAC_L平面ABC,

則的外心即為三棱錐P-ABC外接球的球心.

222

在中，由余弦定理可得，cosZAPC=2+2-(2A/3)=

2X2X22

.?.NAPC=120°,sin/”C=返,

2

AC=2百

2R=

設(shè)△P4C外接圓的半徑為凡則sin/APCV3=&得R=2.

2

,其外接球的表面積為S=4TTX22=16TT.

故選：D.

04x42,

若函數(shù)g(x)=f(x)-履+Z在區(qū)間［-2,

x<C0,

1］上有3個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是()

1

A.(-4-2亞0)B.(-1,0)C.(-4+2^3>0)D.0)

2

fP

-2x"+4x,04x42,

解:函數(shù)f(JC)1

1f(x+2),x<0,

作出/(x)在［-2,1］的函數(shù)圖象，

當(dāng)xe［-2,0)時，/(x)--x2-2x.

那么g(x)在區(qū)間［-2,1］上有3個不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為了(X)圖象與了=日-左的交點(diǎn)

問題即可求解.

?：y=kx-k=k(x-1),直線恒過(1,0),

-X2-2x^kx-上只有2個交點(diǎn)，

此時△=(2+/)2+4&=0,

解得％=273-4.

要使f(x)圖象與>=丘-2有3個交點(diǎn)，

可知-4+2?4<0.

故選：c.

13.若某幾何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為—耳L

解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為圓錐的一部分，圓錐的高為4,底面扇形的圓心角為亭，

則底面面積為1X-^LX2X2=3三，

則幾何體的體積為V=1*等X4瀉二.

339

故答案為：耳匚.

y

14.從古至今，文學(xué)與數(shù)學(xué)都有著密切的聯(lián)系.一首詩從末尾一字讀至開頭一字另成一首新

詩，稱之為“通體回文詩”，數(shù)學(xué)中也有類似的情況：對一個整數(shù)〃（">10）從左向右

和從右向左讀其結(jié)果都是質(zhì)數(shù)，可以稱它為“通體質(zhì)數(shù)”.若在閉區(qū)間［10,30］中，任取

一個整數(shù)，則此整數(shù)是“通體質(zhì)數(shù)”的概率為4

~T

解：在閉區(qū)間［10,30］中，任取一個整數(shù)，

基本事件總數(shù)〃=21,

此整數(shù)是“通體質(zhì)數(shù)”包含的基本事件有:

11,13,17,共3個,

.?.此整數(shù)是“通體質(zhì)數(shù)”的概率為？=三==.

217

故答案為：-y.

IT

15.已知函數(shù)/(x)=sin2x+sin(2x+—?)+。同時滿足下述性質(zhì)：①若對于任意的陽，xi,

2

X3e[0,—V(^2)2/(冷)恒成立；②<Vs-a-則。的值為0.

46V

解：f(x)=sin2x+(—sin2x+^^.cos2x)+a

22

_3.c上

-----sino2x+-~~cosZi+q

22

=^3(^^sin2元+工os2x)+a

V22

=^/3sin(2x+-^-)+〃

6

,JTKK97T

3xW[0'——]時'2x+——6[——,——],

4663

.?.當(dāng)xe[0,亍1時，f(x)曰a+乎，?->V3],

TT

??,對于任意XI,X2,X3GL0,—],/(XI)47(X2)2/(X3)恒成立，

?.2f（X）min（X）max，

???2T

a1,???〃2+〃W0,?,.-iw〃wo②,

b

由①②可得a=0.

故答案為：4=0.

16.一動圓截直線3x-y=0和3x+y=0所得弦長分別為8,4,則該動圓圓心的軌跡方程為

xy=10

解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)MG,y),由條件可得，AB=4,EC=2,

2

由點(diǎn)到直線的距離公式可得，MA2=.(3x-y產(chǎn),MC2=(3x+y)

1010

由垂徑定理可得，MAi+AB2=MC1+EC1,

二⑶一了產(chǎn)+y⑶+丫產(chǎn)+幺化簡可得，肛=io.

1010

二點(diǎn)M的軌跡方程為個=10,

故答案為：孫=10.

三、解答題

17.已知數(shù)列僅“｝是遞增的等差數(shù)列，0=尚，且滿足，”是“2與制的等比中項.

(1)求數(shù)列｛小｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛―--｝的前〃項和.

anan4-l

解：(I)由數(shù)列｛〃〃｝是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d,40,

由0=得，且44是。2與。8的等比中項，可得442=4248，

即弓+3d)2=(A+J)申7")，

解得(0舍去)，

(2)-------=11.、=4(上-,

anarrt-lyn-y(n+l)nn+1

則數(shù)列｛｝的前n項和為4(1-_1■+…+1----1)

a

anin-l223nn+1

=4(1,)=上

n+1n+1

18.如圖，04,平面ABC,DA=AC=\,。是AB的中點(diǎn)，△ACO為等邊三角形.

(1)證明：平面ACC平面8CE；

(2)若P為CE的中點(diǎn)，。為線段。P上的動點(diǎn)，判斷三棱錐。-4C。的體

積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，說明理由.

【解答】證明：(1)：D4_L平面ABC,BCu平面ABC,

：.DALBC,

?：DA=AC=1,。是A8的中點(diǎn)，△ACO為等邊三角形,

OC=—AB,

2

：.BC±AC,

".'DAQAC^A,

，BC_L平面AC。，

；BCu平面BCE,

平面ACD_L平面BCE.

解：(2)取BC的中點(diǎn)R,連接OR,PR,

在△ACB,aBCE中，OR,PR分別為中位線，

：.OR//AC,PR//BE,

'：AD//BE,

：.PQ//AD,

：ACu平面AC。，PRC平面ACQ,

.?.PR〃平面AC。，

同理OR〃平面AC。，

'：PRQOR=R,PRu平面OPR,ORu平面。PR,

二平面AC?！ㄆ矫鍻PR,

VBC1AC,

二平面ACD與平面OPR的距離CR=^BC=叵,

22

S^ACD=~X1X1=2,

22

VQ-ACD—工X工x通=返

32V^2

故三棱錐Q-AC。的體積是定值,

19.電子煙是一種模仿卷煙的電子產(chǎn)品.有害公共健康.為研究吸食電子煙是否會引發(fā)肺部

疾病，某醫(yī)療機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，吸電子煙與不吸電子煙的比例為1：3,

整理數(shù)據(jù)得到如表：

感染肺部疾病未感染肺部疾病總計

吸電子煙15

不吸電子煙50

總計

（1）完成2X2列聯(lián)表，在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，能否認(rèn)為吸食電子煙與感

染肺部疾病有關(guān)？

（2）為進(jìn)一步調(diào)查分析電子煙中誘發(fā)肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被調(diào)查人

中，按照吸電子煙和不吸電子煙這兩大類別，采用分層抽樣的方法抽取8人，從這8個

人中任取2人進(jìn)行血液、痰液等相關(guān)醫(yī)學(xué)檢查v求這兩個人來自同一類別的概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=----寸？（嗎-?c）＜,----其中〃=a+b+c+d.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）_________________

P(爛2公）0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

解：（1）由題意知，吸電子煙的有100X=上=25（人），不吸電子煙的有100-25=

1+3

75（人），由此填表如下:

感染肺部疾病未感染肺部疾病總計

吸電子煙151025

不吸電子煙255075

總計4060100

由表中數(shù)據(jù)，計算心迎寒畿凝吠=*.556>3.8"

所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為吸食電子煙與感染肺部疾病有關(guān);

（2）用分層抽樣方法抽取8人，吸電子煙的有8X1=2（人），不吸電子煙的有6人,

4

p2ij-i2

從這8個人中任取2人，則這兩個人來自同一類別的概率為尸=*/=言.

7

20.已知函數(shù)/（尤）=sinx-?（〃WR）.

（1）定義/（%）的導(dǎo)函數(shù)為了⑴（X）,/⑴（X）的導(dǎo)函數(shù)為了⑵（X）,……以此類推,

若/2020）（］）=sinl,求函數(shù)f（2x號）的單調(diào)區(qū)間;

(2)若元20,證明：f(x)<0.

解：(1)先證/'〃)(x)=sin(x+二^-)

jr

當(dāng)n=]時，/(,)(x)=cosx-aex,=sin(x+-^-)-〃e門成立,

假設(shè)〃=%時，fk)(x)=sin(1+\—)-aex成立，

.../(k+1)兀、

則〃=1+1時，(x)=(x))'=cos(x+-K；_)-aex,=sin(x+--------)

2

-aeK'1成立,

所以/■)(x)=sin(x+-2—)-a#i,

2

則.2020)(])=sin(I+乙0匕0兀_)-ad)=sinl-a=sinl,可得。=0,

2

所以f(x)=sinx,

/兀、./兀、

f(2x+-y)=sm(2x+—)-

冗“7c兀-兀

令一------F2ZIT<2x+<—+2kir,ksZ,

232

5可，11兀,

解得-----+EMxW---\-kit,依z,

1212

令今+2EW2x+±W號

+2加，kEZ,

IT7TT

解得一二+knWxW——，keZ,

1212

IT強(qiáng)加]

所以f(2x、-)的單調(diào)遞增區(qū)間為15H依z,

TT7TT

單調(diào)遞減區(qū)間為［~^"+An,J2+加］,kwZ.

(2)證明：要證/(x)<0,即證siinVaer-1,

又,則aex

故只需證sia￥<ev

令g(x)=6~|-X,x20,則gr(x)=尸?1,

在(0,1)上，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，在(1,+°°)上，gf(x)>0,g(x)

單調(diào)遞增，

所以g(x)2g(1)=0,所以

令〃(x)—x-sirir,則力'(x)=1-cosx^O,

所以在(0,+8)上，h(x)單調(diào)遞增，

所以/z(x)2力(0)=0,所以x2sinx,

所以sinxWxWPL因為左右兩邊的不等號不能同時取到，

所以sinx<ex'

所以/(x)<0,得證.

21.已知拋物線C：j^=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且尸與圓M：1+(j+4)2=1上點(diǎn)的距

離的最小值為4.

(1)求P；

(2)若點(diǎn)尸在M上，PA,PB為C的兩條切線，A,8是切點(diǎn)，求△PA8面積的最大值.

解：⑴點(diǎn)F(0,當(dāng))到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為|FM|-14+4T=4,解得夕=2；

(2)由(1)知，拋物線的方程為/=4?即y^x?，貝Uy'=^-x，

22

設(shè)切點(diǎn)A(xi,yi),B(及，>2),則易得1.v&v-3_1.±一，

J-PA-y2X4'lpB'y2X4

從而得到p(X][2,三詈)，

設(shè)/AS：y^kx+h,聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理可得N-4履-4〃=0,

△=16公+166>0,即公+匕>0,且加+及=4上x\X2=-4b,

.??P⑵，-b),

IAB|=V1