絕密★啟用前廣東省2025屆高三上學(xué)期10月階段檢測考數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則（）A． B． C． D．2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．已知事件互斥，且滿足，則（）A．0.25 B．0.35 C．0.4 D．0.754．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．已知底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為平角的扇形，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為，一個短軸頂點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)圖象的一個最高點(diǎn)與相鄰的對稱中心之間的距離為5，則（）A．0 B． C．4 D．8．已知為雙曲線右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別交于點(diǎn)，則（）A．2 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．為了弘揚(yáng)奧運(yùn)會中我國射擊隊(duì)員頑強(qiáng)拼搏的奮斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽，得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)如下：（單位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A．極差為4 B．平均數(shù)是8 C．上四分位數(shù)是9 D．方差為410．已知函數(shù)不是常函數(shù)，且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A．存在和實(shí)數(shù)，使得B．不存在和實(shí)數(shù)，滿足C．存在和實(shí)數(shù)，滿足D．若存在實(shí)數(shù)滿足，則只能是指數(shù)函數(shù)11．已知，圓，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)，設(shè)，則（）A．當(dāng)點(diǎn)在軸上時， B．的取值范圍是C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質(zhì)飲料中選3瓶進(jìn)行購買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為______．（用數(shù)字作答）13．已知正數(shù)滿足，則的最小值為______．14．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是，且．（1）求；（2）若，求外接圓的半徑．16．（15分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，證明：．17．（15分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，以和的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形．（1）求的方程；（2）討論過點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)個數(shù)．18．（17分）在三棱錐中，底面分別為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，平面底面．（1）若，求二面角的余弦值；（2）求．19．（17分）已知數(shù)列一共有項(xiàng)，成公差不為0的等差數(shù)列，對任意的成等差數(shù)列，且對于不同的，其公差為同一個非零常數(shù)．（1）若，求數(shù)列的各項(xiàng)之和；（2）證明：成等差數(shù)列；（3）從中任取三個數(shù)，記成等差數(shù)列且也成等差數(shù)列的概率為，證明：．

廣東省2025屆高三上學(xué)期10月階段檢測考數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則1．【答案】A【解析】由，故．故選A．2．【答案】C【解析】，故．故選C．3．【答案】D【解析】由全概率公式可得．故選D．4．【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，所以在上的投影向量為．故選B．5．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長為，高為，底面半徑為，由，得，故，所以圓錐的體積．故選C．6．【答案】D【解析】設(shè)的中心為，長軸長、短軸長、焦距分別為，則在等腰三角形中，．因?yàn)榈碾x心率為，所以在直角三角形中，，故．故選D．7．【答案】C【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意，得，解得，所以，解得，所以，所以．故選C．8．【答案】C【解析】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，易知的漸近線的方程為，聯(lián)立解得不妨取，同理可得，則，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，于是，由于點(diǎn)在上，所以，因此．故選C．9．【答案】ABC（每選對1個得2分）【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得，對于A，這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，平均數(shù)為，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以上四分位?shù)為，故C正確；對于D，方差為，故D錯誤．故選ABC．10．【答案】AC（每選對1個得3分）【解析】令，則存在實(shí)數(shù)使得，A正確；存在，故B錯誤；令，則，C正確；若，，故D錯誤．故選AC．11．【答案】ACD（每選對1個得2分）【解析】當(dāng)在軸上時，，則，則，故A正確；設(shè)，，則，代入得，可得在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動，又圓交軸于，故，故B錯誤；以為直徑的圓的方程可寫為，令，可得，即，則分別為方程的兩根，由韋達(dá)定理得，故C正確；要證，即證，，，所以，即，故D正確．故選ACD．12．【答案】70【解析】由題意可得功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1種的買法種數(shù)為．13．【答案】【解析】由題意可得，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．14．【答案】【解析】等號左邊的分子和分母同時除以，等號右邊的分子和分母同時除以，分離出參數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且時，時，，且方程有唯一解，故．15．解：（1）由題意得，又，，化簡得，又．（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)的外接圓半徑為，故，外接圓的半徑為2．【評分細(xì)則】第一問在最終求值時，如果未說明角的取值范圍扣1分．16．（1）解：當(dāng)時，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）證明：當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故．【評分細(xì)則】第二問用其他方法證明酌情給分．17．解：（1）由題意得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，以焦點(diǎn)和的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形，則其高為2，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，解得（負(fù)值舍去），所以的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)的方程為．由方程組可得．（Ⅰ）當(dāng)時，解得，此時方程只有一個實(shí)數(shù)解，與只有一個公共點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)時，方程的根的判別式為，（ⅰ）由，解得或，此時方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解，與只有一個公共點(diǎn)；（ⅱ）由，解得或，此時方程有兩個不等的實(shí)數(shù)解，與有兩個公共點(diǎn)；（ⅲ）由，解得，或，此時方程沒有實(shí)數(shù)解，與沒有公共點(diǎn)；若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知與沒有公共點(diǎn)．綜上，當(dāng)?shù)姆匠虨榛虻男甭驶驎r，與的交點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng)?shù)男甭驶?或時，與的交點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)?shù)男甭蕰r，與的交點(diǎn)個數(shù)為2．【評分細(xì)則】第二問如果考生設(shè)的直線方程為其他形式，按步驟酌情給分．18．解：（1）因?yàn)椋室詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)槠矫娴酌妫椎闷矫娴囊粋€法向量為．設(shè)平面的法向量為，則可得令可得設(shè)二面角為，則，故二面角的余弦值為．（2）連接交于點(diǎn)，則，，而．故，從而，從而，又平面底面，平面底面，故平面，故，又平面，故，又，故．【評分細(xì)則】其他解法酌情給分．19．首先構(gòu)造如圖的數(shù)表：……（1）解：由題意得，又由數(shù)列的定義知，則可補(bǔ)全數(shù)表如圖所示．135357579則數(shù)列的各項(xiàng)之和為45．（2）證明：如數(shù)表所示，即證明左上至右下的對角線（記為）上的數(shù)成等差數(shù)列，由該數(shù)表中的數(shù)的定義可知，該數(shù)表每行均為等差數(shù)列且公差相同，設(shè)公差為，每列也為等差數(shù)列且公差相同，設(shè)公差為，那么，那么數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列．（3）證明：不妨將數(shù)表的每個數(shù)看作一個點(diǎn)，若三點(diǎn)共線，且關(guān)于中間的一點(diǎn)中心對稱，則顯然這三個點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．在該數(shù)表中，只需要