第23課相似多邊形

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.1.了解相似多邊形的概念和性質(zhì).

2.在簡(jiǎn)單情形下，能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形相似.

3.會(huì)用相似多邊形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.

噩知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01相似多邊形的概念

1.一般地,對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比也叫做相似

比.

知識(shí)點(diǎn)02相似多邊形的性質(zhì)

1.相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

2.相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方.

能力拓展

考點(diǎn)01相似多邊形的概念

【典例1】如圖，細(xì)線(xiàn)平行于正多邊形一邊，并把它分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原多邊形相似的是

()

【即學(xué)即練1】下列結(jié)論不正確的是（

A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正八邊形都相似

考點(diǎn)02相似多邊形的性質(zhì)

【典例2】?jī)蓚€(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為6c機(jī)和8aw,它們的周長(zhǎng)之和為56aw,面積之差為28”?,求

較小相似多邊形的周長(zhǎng)與面積.

【即學(xué)即練2］如圖所示，四邊形ABCZJs四邊形A'B'CD',求未知邊龍的長(zhǎng)度和a的大小.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別為2,3,4,5,6,另一個(gè)和它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊為24,則這個(gè)多邊形的最短

邊長(zhǎng)為（

A.6B.8C.12D.10

2.如圖，下列兩個(gè)四邊形若相似，則下列結(jié)論不正確的是（)

y

A.Za=100°Cy=24D.x=l

5

3.已知兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16,其中較小多邊形的周長(zhǎng)為18c",則較大多邊形的周長(zhǎng)為（

A.24cmB.27cmC.28cmD.32cm

4.某塊面積為4000m2的多邊形草坪，在嘉興市政建設(shè)規(guī)劃設(shè)計(jì)圖紙上的面積為250cm2,這塊草坪某條邊的

長(zhǎng)度是40%則它在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是（)

A.4cmB.5cmC.10cmD.40cm

5.兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1：4,則這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)之比是（)

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

6.如圖，把矩形A8C0中的邊向上翻折到AO邊上，當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)方重合時(shí)，折痕與8。邊交于點(diǎn)連

接E尸，若四邊形EEDC與矩形ABC。恰好相似，若42=1時(shí)，AD的長(zhǎng)為（）

AD

、、

、

、、

S、

、

REC

A.14A^.B.遙7C.3-75D.V5-1

22

7.如圖，四邊形ABCDs四邊形EFGH,NA=NO=100°，ZG=65°，則NF=

B

8已知一個(gè)四邊形的各邊長(zhǎng)分別是3c〃z、4cm>5cm>8cm,另一個(gè)與它相似的四邊形的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)是12c〃z,

那么另一個(gè)四邊形的周長(zhǎng)是—cm.

9.已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3,面積之差為5c機(jī)2,則這兩個(gè)菱形的面積分別是.

10.如圖，四邊形48CDS四邊形A，B'CD',且NA=62°,ZB=75°,ZDr=140°,AO=9,A

'B'=11,A'D'=6,B'C=8.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出：ZC=____度；

（2）求邊和BC的長(zhǎng).

Cr

:L

"71B，

題組B能力提升練

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.所有菱形都相似I3.所有矩形都相似

C.所有正方形都相似I>所有平行四邊形都相似

12.如圖，取一張長(zhǎng)為m寬為6的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長(zhǎng)方形紙片，若要使小長(zhǎng)方形

與原長(zhǎng)方形相似，則原長(zhǎng)方形紙片的邊服b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）

1-----------1-----------

11

1第一次對(duì)折1第二次對(duì)折

1-----1

b11

11

11

11

A.a—y]~2bB.a—2bC.a—2-\[2bD.a—4b

13.如圖，一塊矩形ABC。綢布的長(zhǎng)寬A￡）=l,按照?qǐng)D中的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，如

果裁出的每面彩旗與矩形ABCD綢布相似，則a的值等于（）

B.aC.2D.炳

14.如圖，矩形相框的外框矩形的長(zhǎng)為12dm,寬為8dm,上下邊框的寬度都為xdm,左右邊框的寬度都為

ydm.則符合下列條件的x,y的值能使內(nèi)邊框矩形和外邊框矩形相似的為（）

x

A.x=yB.3x=2yC.x=l,y=2D.x=3,y=2

15將鄰邊為3和5的矩形按如圖的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與

16.一個(gè)矩形ABCD的較短邊長(zhǎng)為2.

（1）如圖①，若沿長(zhǎng)邊對(duì)折后得到的矩形與原矩形相似，求它的另一邊長(zhǎng);

（2）如圖②，已知矩形的另一邊長(zhǎng)為4,剪去一個(gè)矩形A8EF后，余下的矩形EFDC與原矩形相

似，求余下矩形EEDC的面積.

D

②

題組C培優(yōu)拔尖練

17..如圖所示，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的一個(gè)圖形在另一

個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)邊平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖形不相似的一組是（）

18.如圖，梯形A8C。中，E、尸分別為A3、OC兩腰上的點(diǎn)，＞EF//BC.若AE=2,AB=5,且梯形AEFD

與梯形E3CF相似，則BC與的比值為（）

4292

19.如圖所示，一般書(shū)本的紙張是原紙張多次對(duì)開(kāi)得到的，矩形ABC。沿EF對(duì)開(kāi)后，再把矩形EFC。沿MN

對(duì)開(kāi)，依此類(lèi)推，若各種開(kāi)本的矩形都相似，那么姻■等于

AD

20.如圖，在矩形A8CD中，截去一個(gè)正方形A8FE后，使剩下的矩形對(duì)開(kāi)后與原矩形相似，那么原矩形中

AD-.AB=

?3尸C

21.如圖，在矩形A8CD中，AD=2,CD=1,連接AC,以對(duì)角線(xiàn)AC為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛8CD的

相似矩形AB1C1C,再連接AC1,以對(duì)角線(xiàn)AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2c2C1,…，按此規(guī)律

繼續(xù)下去，則矩形A&G1C聯(lián)1的面積為.

c

22.如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.取BC邊中點(diǎn)E,作即〃AB,EF//AC,得到四邊形成)4尸，

它的面積記作Si；取8E中點(diǎn)目，作ELDI〃EB,EIFI〃EF,得到四邊形EIOIFFI,它的面積記作S2.照

此規(guī)律作下去，則52011=

23.矩形ABCD紙片的邊48長(zhǎng)為2cm動(dòng)直線(xiàn)/分別交A。、BC于E、尸兩點(diǎn)，1.EF//AB；

(1)若直線(xiàn)/是矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸，且沿著直線(xiàn)I剪開(kāi)后得的矩形EFCD與原矩形ABCD相似，試求

AD的長(zhǎng)？

(2)若使AO=jm+lcm,試探究：在AD邊上是否存在點(diǎn)E,使剪刀沿著直線(xiàn)/剪開(kāi)后，所得到的小矩

形紙片中存在與原矩形ABC。相似的情況.若存在，請(qǐng)求出AE的值，并判斷E點(diǎn)在邊上位置的特

殊性；若不存在，試說(shuō)明理由.

第23課相似多邊形

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.1.了解相似多邊形的概念和性質(zhì).

2.在簡(jiǎn)單情形下，能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形相似.

3.會(huì)用相似多邊形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.

趣知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01相似多邊形的概念

1.一般地,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的

比也叫做相似比.

知識(shí)點(diǎn)02相似多邊形的性質(zhì)

1.相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

2.相似多邊形的周長(zhǎng)之比等于相似比；相似多邊形的面積之比等于相似比的平方.

能力拓展

考點(diǎn)01相似多邊形的概念

【典例1】如圖，細(xì)線(xiàn)平行于正多邊形一邊，并把它分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原

多邊形相似的是（）

【思路點(diǎn)撥】利用相似多邊形的判定方法判斷即可.

【解析】解：4、陰影三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等，符合相似多邊

形的定義，符合題意；

8、陰影矩形與原矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，

不符合題意；

C、陰影五邊形與原五邊形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定

義，不符合題意；

。、陰影六邊形與原六邊形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定

義，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查了相似多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)

邊的比相等.

【即學(xué)即練1】下列結(jié)論不正確的是()

A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正八邊形都相似

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似，就可以判斷.

【解析】解：4所有的矩形不一定都相似.

8、所有的正方形因?yàn)樗倪呄嗟榷枷嗨?

C、所有的等腰直角三角形兩腰相等都相似.

D,所有的正八邊形都相似.

故選：A.

【點(diǎn)睛】考查了相似多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)

邊的比相等.

所有的正方形都相似；所有的等腰直角三角形都相似；所有的正八邊形都相似.

考點(diǎn)02相似多邊形的性質(zhì)

【典例2】?jī)蓚€(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為6cm和8cm,它們的周長(zhǎng)之和為56cm,面積之

差為28cm2,求較小相似多邊形的周長(zhǎng)與面積.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)較小相似多邊形的周長(zhǎng)為x,面積為》則較大相似多邊形的周長(zhǎng)為56

-%,面積28+y,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到一_=旦，」—=(2)2,然后利用比

56-x828+y8

例的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：設(shè)較小相似多邊形的周長(zhǎng)為xcm,面積為ycnr,則較大相似多邊形的周長(zhǎng)

為(56-x)cm,面積(28+y)civ2,

根據(jù)題意得一三_=旦，上-=(A)2,

56-x828+y8

解得尤=24,y=36,

所以較小相似多邊形的周長(zhǎng)為24cm,面積為36cm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的比相等；兩個(gè)相似多邊

形周長(zhǎng)的比等于相似比；兩個(gè)相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

【即學(xué)即練2］如圖所示，四邊形ABCOs四邊形A'B'CD',求未知邊x的長(zhǎng)度和a

的大小.

￡'C'

12/129\

.3__78\

4'xB'

【思路點(diǎn)撥】由相似多邊形的性質(zhì)可得，AD：AB^A'D'：A1B',NC=NC'，根

據(jù)圖中表明的數(shù)字求解即可.

【解析】解：由題意得：兇■學(xué),

12x

*?x~18,

?：ZC=360°-（63°+129°+78°）=90°,四邊形A2C0S四邊形4'B'CD',

.,./C=NC'=90°,

即a=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

L一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別為2,3,4,5,6,另一個(gè)和它相似的多邊形的最長(zhǎng)邊為24,則這

個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.12D.10

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【解析】解：設(shè)這個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為X,

???兩個(gè)多邊形相似，

-24=,x

"T

解得，x=8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，下列兩個(gè)四邊形若相似，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.Za=100°BTC.y=24D.x=7

5

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等得到答案.

【解析】解：Na=360°=50°-120°-90°=100°,A正確；

x-8X4__32^；8正確，D錯(cuò)誤,

55

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，牢記相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也

相等.

3.已知兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16,其中較小多邊形的周長(zhǎng)為18cm,則較大多邊形

的周長(zhǎng)為（）

A.24cmB.21cmC.28cmD.32c機(jī)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似多邊形面積之比等于相似比的平方求出相似比，根據(jù)相似多邊形

周長(zhǎng)之比等于相似比去周長(zhǎng)比，列式計(jì)算即可.

【解析】解：兩個(gè)相似多邊形的面積比是9：16,

兩個(gè)相似多邊形的相似比是3：4,

兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是3：4,

設(shè)較大多邊形的周長(zhǎng)為為xcm,

由題意得，18：x=3：4,

解得，x=24,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似

比，而面積之比等于相似比的平方.

4.某塊面積為4000層的多邊形草坪，在嘉興市政建設(shè)規(guī)劃設(shè)計(jì)圖紙上的面積為250c7川，這

塊草坪某條邊的長(zhǎng)度是40優(yōu)，則它在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是（）

A.4cmB.5cmC.10cmD.AQcm

【思路點(diǎn)撥】首先設(shè)這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是xcm,根據(jù)題意可得這兩個(gè)圖形相

似，根據(jù)相似圖形的面積比等于相似比的平方，可列方程.40000000=（變叫）2,解

250x

此方程即可求得答案，注意統(tǒng)一單位.

【解析】解：設(shè)這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是xcm,4000m2=40000000cm2,40m=

4000cm,

根據(jù)題意得：40000000=（4000.）2,

250x

解得：x=10.

故這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長(zhǎng)度是1057.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似圖形的性質(zhì).此題難度不大，注意相似圖形的面積比等于相似

比的平方的應(yīng)用與方程思想的應(yīng)用.

5.兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1：4,則這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)之比是（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出周長(zhǎng)比.

【解析】解：???兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1：4,

...這兩個(gè)相似多邊形的相似比是1：2,

則這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)之比是1：2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似

比，而面積之比等于相似比的平方.

6.如圖，把矩形A8C。中的AB邊向上翻折到邊上，當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)/重合時(shí)，折痕與8c

邊交于點(diǎn)E,連接EF,若四邊形EEDC與矩形ABC。恰好相似，若時(shí)，的長(zhǎng)

為（）

A、FD

X

、

REC

A.B.疾TC.3-V5D.V5-1

22

【思路點(diǎn)撥】可設(shè)由四邊形跖DC與矩形ABC。相似，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊

的比相等列出比例式，求解即可.

【解析】解：

設(shè)AD=x,則陽(yáng)=x-l,FE=1,

:四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

??--E-F--A-D-,,

FDAB

解得尤1=上返，月=上運(yùn)（不合題意舍去），

22

經(jīng)檢驗(yàn)處=止/￡是原方程的解.

2

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四

邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式.

7.如圖，四邊形ABCOs四邊形.GT/,NA=NO=100°,NG=65°,則/P=95°

B

【思路點(diǎn)撥】利用相似多邊形的性質(zhì)得到NA=/0=/E=/H=100°,然后根據(jù)四邊

形的內(nèi)角和計(jì)算N尸的度數(shù).

【解析】解：：四邊形ABCD^四邊形EFGH,

：.ZA=Z￡>=Z￡=ZH=100°,

尸=360°-NE-NH-NG=360°-100°-100°-65°=95°.

故答案為95°.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的比相等.

8已知一個(gè)四邊形的各邊長(zhǎng)分別是3cm、4cm、5cm、8cm,另一個(gè)與它相似的四邊形的最長(zhǎng)

邊的長(zhǎng)是12cm,那么另一個(gè)四邊形的

周長(zhǎng)是30cm.

【思路點(diǎn)撥】先求出已知四邊形的周長(zhǎng)，再根據(jù)最長(zhǎng)邊求出兩個(gè)相似四邊形的相似比，

再根據(jù)相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解析】解：已知四邊形的周長(zhǎng)為：3+4+5+8=20。%,

根據(jù)題意，兩相似多邊形的相似比為」2=3,

82

設(shè)另一個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為X,

則2_=2，

202

解得x=30cm.

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比的性質(zhì)，根據(jù)最長(zhǎng)邊求出兩多邊

形的相似比是解題的關(guān)鍵，注意求相似比有順序.

9.已知兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3,面積之差為5cm2,則這兩個(gè)菱形的面積分別是

4cv/,9cm2.

【思路點(diǎn)撥】分別設(shè)兩個(gè)菱形的面積為撫川、（x+5）cm2,然后根據(jù)相似多邊形的面積

的比等于相似比的平方列式求解即可.

【解析】解：設(shè)兩個(gè)菱形的面積為XC加\（x+5）cm2,

???兩個(gè)相似的菱形的相似比為2：3,

:.上:（2）2,

x+53

解得x=4,

x+5=9,

.,.這兩個(gè)菱形的面積分別是4a〃2,9cm2.

故答案為：4c/n2,9cm2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，熟練掌握性質(zhì)并列

出比例式是求解的關(guān)鍵.

10.如圖，四邊形ABCZJs四邊形a，B'CD',且/A=62°,/B=75°,ZD'=140

°,A￡>=9,A'B'=11,A'D'=6,B'C=8.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出：NC=83度;

(2)求邊A3和BC的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等以及四邊形內(nèi)角和360°解決問(wèn)題即可.

(2)利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解決問(wèn)題即可.

【解析】解：(1):四邊形ABCDs四邊形A'B'CD',

：.ZD=ZD'=140°,

；./C=360°-ZA-ZB-ZD=360°-62°-75°-140°=83°,

故答案為：83.

(2)?.,四邊形ABCZJs四邊形A'B'CD',

?AB=BC=AD

,?￡B，B'A7Dy

???AB-_-BC_,9

1186

：.AB=^-,BC=12.

2

【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相

似多邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

題組B能力提升練

11.下列說(shuō)法正確的是()

A.所有菱形都相似B.所有矩形都相似

C.所有正方形都相似D.所有平行四邊形都相似

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似多邊形的定義一一判斷即可.

【解析】解：???相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等,

:.所有正方形都是相似多邊形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于

中考?？碱}型.

12.如圖，取一張長(zhǎng)為m寬為。的長(zhǎng)方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長(zhǎng)方形紙片，

若要使小長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似，則原長(zhǎng)方形紙片的邊外6應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）

第一次對(duì)折第二次對(duì)折

------

A.a=?bB.a—2bC.a—2y[2bD.a—4b

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)折表示出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例列

式計(jì)算即可得解.

【解析】解：對(duì)折兩次后的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6,寬為工a,

4

?.?小長(zhǎng)方形與原長(zhǎng)方形相似，

?a—_k_

?二工’

4a

:,a=2b.

故選：B,

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，準(zhǔn)確表示出小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是

解題的關(guān)鍵.

13.如圖，一塊矩形ABC。綢布的長(zhǎng)寬4。=1,按照?qǐng)D中的方式將它裁成相同的三

面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗與矩形A2CD綢布相似，則。的值等于（）

D——————|C

.41------------------'B

A.V2B.V3C.2D.V5

【思路點(diǎn)撥】由裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，構(gòu)建方程求

解即可.

【解析】解：；使裁出的每面彩旗的寬與長(zhǎng)的比與原綢布的寬與長(zhǎng)的比相同，

1

.1=京\

a1

解得。=次或-愿（舍棄），

.*a=，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì).注意相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

14.如圖，矩形相框的外框矩形的長(zhǎng)為12力九，寬為8而z,上下邊框的寬度都為北加，左右邊

框的寬度都為ydw則符合下列條件的尤，y的值能使內(nèi)邊框矩形和外邊框矩形相似的為

土

X

不

y

A.x=yB.3x=2yC.x=l,y=2D.x=3,y=2

【思路點(diǎn)撥】分兩種情形，利用相似多邊形的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：如圖，當(dāng)矩形ABCOs矩形EFGH時(shí)，則有地=地，

EFEH

??-8_,

8-2x

可得3x=2y,選項(xiàng)3符合題意，

當(dāng)矩形ABCDs矩形時(shí)，則有期_=幽，

EHEF

??_?12，

8-2x

推不出：x=y或3x=2y或x=l,y=2或x=3,y=2.故選項(xiàng)A,B,C,。都不滿(mǎn)足條

件，此種情形不存在.

?.矩形ABCQs矩形EFGH,可得3x=2y,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)

構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

15將鄰邊為3和5的矩形按如圖的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1,

則新矩形與原矩形不相似（填寫(xiě)“不相似”或“相似”）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出角對(duì)應(yīng)相等，但是兩矩形的對(duì)應(yīng)邊的比不相等，即可

得出答案.

【解析】解：不相似，

理由是：根據(jù)題意得：新矩形的邊長(zhǎng)為5、5、7、7,

,原矩形的邊長(zhǎng)為3、3、5、5、，

兩矩形的對(duì)應(yīng)邊的比不相等，

.?.兩矩形不相似，

故答案為：不相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，能理解相似多邊形的判定

定理是解此題的關(guān)鍵.

16.一個(gè)矩形ABCO的較短邊長(zhǎng)為2.

（1）如圖①，若沿長(zhǎng)邊對(duì)折后得到的矩形與原矩形相似，求它的另一邊長(zhǎng)；

（2）如圖②，已知矩形ABCD的另一邊長(zhǎng)為4,剪去一個(gè)矩形所后，余下的矩形EFDC

與原矩形相似，求余下矩形屏DC的面積.

EC

9

【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知矩形DVWC與矩形ABC。相似，根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊

的比相等列出比例式，就可以得到它的另一邊長(zhǎng)；

（2）根據(jù)相似矩形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出。P的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形面積公式求解即

可.

【解析】解：（1）由已知得MN=AB=2,

22

?..沿長(zhǎng)邊對(duì)折后得到的矩形與原矩形相似，

矩形。MNC與矩形ABC。相似，如=典，

ABBC

：.DM'BC=AB'MN,BpJiBC2=4,

2

:.BC=2近,即它的另一邊長(zhǎng)為2加；

（2）:矩形EFDC與原矩形ABCD相似，

?DFCD

"AB=BC，；

\"AB=CD=2,BC=4,

，￡>/=研嗯0=],

BC

.,.矩形￡79^的面積=。?。尸=2*1=2.

【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等.也考查了矩形的面

積.

題組C培優(yōu)拔尖練

17..如圖所示，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的

一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)邊平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖

形不相似的一組是（）

【思路點(diǎn)撥】此題考查相似多邊形的判定問(wèn)題，其對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

【解析】解：由題意得，A中三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；

C,。中正方形，菱形四條邊均相等，所以對(duì)應(yīng)邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱

形相似；

而B(niǎo)中矩形四個(gè)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以B中矩形不是相似多邊形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查了相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)及判定.

18.如圖，梯形ABC。中，E、尸分別為A3、OC兩腰上的點(diǎn)，且若AE=2,AB

=5,且梯形與梯形EBCP相似，則2C與AD的比值為（）

4292

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩個(gè)梯形相似，則對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解.

【解析】解：：梯形梯形MB,且AE：BE=2：3,

：.AD：EF=EF：8c=2：3,

：.AD：EF：3C=4：6：9,

：.BC：AD=9：4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)得出AE：BE=2：3是解題

關(guān)鍵.

19.如圖所示，一般書(shū)本的紙張是原紙張多次對(duì)開(kāi)得到的，矩形A8C。沿￡月對(duì)開(kāi)后，再把

矩形EFCO沿對(duì)開(kāi)，依此類(lèi)推，若各種開(kāi)本的矩形都相似，那么妲等于近.

AD—2一

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形ABCD的面積是矩形ABFE面積的2倍，得出相似圖形面積比是

相似比的平方，進(jìn)而得出膽的值.

AD

【解析】解：：矩形ABCD的面積是矩形42FE面積的2倍，

?.?各種開(kāi)本的矩形都相似，

（膽）2=_1,

AD2

?AB=&

"ADT'

故答案為：Y2.

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的相似的性質(zhì)，得出相似圖形面積比是相似比的平方是

解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

20.如圖，在矩形ABCD中，截去一個(gè)正方形ABFE后，使剩下的矩形對(duì)開(kāi)后與原矩形相似,

那么原矩形中A。：AB=或2.

BpC

【思路點(diǎn)撥】用AD和AB表示出DE,然后分兩種情況利用相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例列

式計(jì)算即可得解.

【解析】解：；四邊形A3BE是正方形,

J.DE^AD-AB,

???剩下的矩形對(duì)開(kāi)后與原矩形相似，

.AB_DE

.反鼠

即處=處膽，

整理得，2AD1-2AD-AB-AB2=Q,

解得4￡）=止巨42,上叵48（舍去），

22

：.AD：AB=.1+A^,

2

或嶇=加，

ADDE

ADAD-AB

整理得AO=2A3,

：.AD：AB=2,

綜上所述，AD：48=上走或2.

2

故答案為：上正或2.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，主要利用了相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，

難點(diǎn)在于要分情況討論.

21.如圖，在矩形A8CZ）中，AD=2,CD=\,連接AC,以對(duì)角線(xiàn)AC為邊，按逆時(shí)針?lè)较?/p>

作矩形ABC。的相似矩形AB1CC,再連接AQ,以對(duì)角線(xiàn)AC1為邊作矩形A8C1C的相

似矩形AB2c2C1,…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形A8"CnC"J的面積為一.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC,ACi,AC2的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

根據(jù)規(guī)律即可求得第n個(gè)矩形的面積.

【解析】解:

:四邊形ABC。是矩形，

：.AD±DC,

AC=VAD2+CD2=722+12=^5,

;按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛BC。的相似矩形AB1C1C,

矩形AB1C1C的邊長(zhǎng)和矩形ABCD的邊長(zhǎng)的比為泥：2

矩形AB1C1C的面積和矩形ABCD的面積的比5：4,

:矩形A3CD的面積=2義1=2,

矩形AB1C1C的面積=回，

2

依此類(lèi)推，矩形A82c2。的面積和矩形AB1C1C的面積的比5：4

???矩形A32QC1的面積==

23

???矩形AB3c3c2的面積=2一，