新課程標準數(shù)學選修2—2第一章課后習題解答

第一章導數(shù)及其應用

3.1變化率與導數(shù)

練習(P6)

在第3h和5h時，原油溫度的瞬時變化率分別為-1和3.它說明在第3h附近，原油溫度

大約以1C/h的速度下降；在第5h時，原油溫度大約以3C/h的速率上升.

練習(P8)

函數(shù)力⑺在「=與附近單調(diào)遞增，在/=%附近單調(diào)遞增.并且，函數(shù)〃⑺在附近比在與附近

增加得慢.說明：體會“以直代曲”的思想.

練習(P9)

函數(shù)r(V)=

根據(jù)圖象，估算出/(0.6)a0.3,r(1.2)?0.2.

說明：如果沒有信息技術，教師可以將此圖直接提供給學生，然后讓學生根據(jù)導數(shù)的幾何意

義估算兩點處的導數(shù).

習題1.1A組(P10)

1、在f。處，雖然叱/)=卬,1),然而二"9二加)N二加).

一加一加

所以，企業(yè)甲比企業(yè)乙治理的效率高.

說明：平均變化率的應用，體會平均變化率的內(nèi)涵.

2、2二〃(1tA上〃(1).=_49加_3.3,所以，〃'⑴=—3.3.

Zkt

這說明運動員在，=ls附近以3.3m/s的速度下降.

3、物體在第5s的瞬時速度就是函數(shù)s(f)在f=5時的導數(shù).

As5(5+Ar)-5(5)人s匕匕2，41八

一=—----------=Az+lO,所以，“5)=10.

△tZ

因此，物體在第5s時的瞬時速度為10m/s,它在第5s的動能々=；x3xl()2=i50J.

4、設車輪轉(zhuǎn)動的角度為。，時間為/,則。=比2。＞0).

由題意可知，當f=0.8時，0=271.所以女=三巴，于是。=把/.

88

車輪轉(zhuǎn)動開始后第3.2s時的瞬時角速度就是函數(shù)。⑷在f=3.2時的導數(shù).

\06(3.2+△，)—6(3.2)25萬,“叱,、，八，「一、”

——=—-------------=——M+20萬，所以夕(3.2)=20萬.

ArZ8

因此，車輪在開始轉(zhuǎn)動后第3.2s時的瞬時角速度為20%s1

說明：第2,3,4題是對了解導數(shù)定義及熟悉其符號表示的鞏固.

5、由圖可知，函數(shù)/(x)在x=-5處切線的斜率大于零，所以函數(shù)在x=-5附近單調(diào)遞增.同

理可得，函數(shù)/(x)在x=-4,-2,0,2附近分別單調(diào)遞增，幾乎沒有變化，單調(diào)遞減，單調(diào)

遞減.說明：“以直代曲”思想的應用.

6、第一個函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率是一個小于零的常數(shù)，因此，其導數(shù)/'(X)的圖象

如圖(1)所示；第二個函數(shù)的導數(shù)/'(X)恒大于零，并且隨著x的增加，/'(X)的值也在增加;

對于第三個函數(shù)，當x小于零時，/(x)小于零，當x大于零時，廣(x)大于零，并且隨著x的

增加，/'(x)的值也在增加.以下給出了滿足上述條件的導函數(shù)圖象中的一種.

說明：本題意在讓學生將導數(shù)與曲線的切線斜率相聯(lián)系.

習題3.1B組(P11)

1、高度關于時間的導數(shù)刻畫的是運動變化的快慢，即速度；速度關于時間的導數(shù)刻畫的是

速度變化的快慢，根據(jù)物理知識，這個量就是加速度.

說明：由給出的v(f)的信息獲得s(f)的相關信息，并據(jù)此畫出sQ)的圖象的大致形狀.這個

過程基于對導數(shù)內(nèi)涵的了解，以及數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換.

3、由(1)的題意可知，函數(shù)/(X)的圖象在點(1,-5)處的切線斜率為-1,所以此點附近曲

線呈下降趨勢.首先畫出切線的圖象，然后再畫出此點附近函數(shù)的圖象.同理可得(2)(3)

某點處函數(shù)圖象的大致形狀.下面是一種參考答案.

說明：這是一個綜合性問題，包含了對導數(shù)內(nèi)涵、導數(shù)幾何意義的了解，以及對以直代曲思

想的領悟.本題的答案不唯一.

1.2導數(shù)的計算

練習(P18)

1、/(x)=2x—7,所以，:(2)=—3,尸(6)=5.

2、(1)/=(2)了=2優(yōu)；

xln2

(3)yr=10x4-6x;(4)y'=-3sinx-4cosx;

1x1

(5)y，=」sin土；(6)"

習題1.2A組(P18)

1、竺=S"+Ar,所以，S'(r)-lim(2^r+Ar)=Inr.

ArAr"f。

2、W)=-9.8/+6.5.

3

3、r7V)=-A

3V4/Z-V2

4、1)y'=3x2+---(2)y'=nxn-'ex+x"ex;

xln2

3x2sinx-x3cosx+cosx

(3)(4)y'=99(x+l)98;

y=sin2x

(5)y，=_2e;(6)y'=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

5、/(x)=—8+20x.由尸(x0)=4有4=—8+28Xo，解得x0=38.

6x(1)y'=lnx+1;(2)y=x-l.

_x

7、y=----1-t1.

71

8、(1)氨氣的散發(fā)速度A⑺=500xIn0.834x0.834。

(2)A'(7)=-25.5,它表示氨氣在第7天左右時，以25.5克/天的速率減少.

就越來越逼近函數(shù)y=cosx.

2、當y=0時，x=0.所以函數(shù)圖象與x軸交于點P(0,0).

y'=—e"，所以)兒=0=-1?

所以，曲線在點尸處的切線的方程為〉=--

2、/?)=-4sinf.所以，上午6:00時潮水的速度為-0.42m/h;上午9:00時潮水的速度

為-O.63m/h;中午12:00時潮水的速度為-O.83m/h;下午6:00時潮水的速度為-1.24m/h.

1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

練習(P26)

1、(1)因為/(x)=x2—2X+4,所以尸(X)=2X—2.

當/(x)>0,即X>1時，函數(shù)/(x)=x2—2x+4單調(diào)遞增；

當/'(x)<0,即x<l時，函數(shù)/(x)=X?-2x+4單調(diào)遞減.

(2)因為/(x)=e、—x,所以/'(x)=e、—1.

當/(x)>0,即x>0時，函數(shù)/(x)="—x單調(diào)遞增；

當;(x)<0,即x<0時，函數(shù)/(x)=e，-x單調(diào)遞減.

(3)因為/(x)=3x—所以/0)=3-3/.

當/(x)>0,即一1<X<1時，函數(shù)/(x)=3x—V單調(diào)遞增；

當/'(x)<0,即x<—1或x>l時，函數(shù)/(x)=3x—V單調(diào)遞減.

(4)因為/(x)=/-r-x,所以/'(X)=3X2-2X-1.

當;（x）〉0,即x<—L或x>l時，函數(shù)/。）=%3一/一工單調(diào)遞增;

當了'（X）<O,即-,<X<1時,函數(shù)/（》）=%3-》2一%單調(diào)遞減.

b一

---*c--r

\；注：圖象形狀不唯一.

3、因為/(x)=ax2+"+c(aw0),所以fr(x)=2ax+b.

當a〉0時,±

>時

尸(x)>0,即-函數(shù)/(x)=ax2+/?x+c(〃w0)單調(diào)遞增;

26

Z

<±時

/(x)<0,即-函數(shù)/(x)=ax?+bx+c(aw0)單調(diào)遞減.

226

當a<0時,Z±

<時

尸（幻〉0,即一函數(shù)+6X+C(Q。0)單調(diào)遞增;

2?

b

/'（x）<0,即X〉----時，函數(shù)/（X）=〃/+》x+c（4w0）單調(diào)遞減.

2a

4、證明：因為/。）=2/-6/+7,所以/⑶=6/-121.

當天w（0,2）時，/z（x）=6x2-12x<0,

因此函數(shù)/（乃=2%3-61+7在（0⑵內(nèi)是減函數(shù).

練習（P29）

1、々，尤4是函數(shù)）'=/（無）的極值點，

其中X=4是函數(shù)）'=/（X）的極大值點，1=14是函數(shù)丁=/W的極小值點.

2、（1）因為/。）=612一％一2,所以尸（x）=12x-L

令/'（X）=12x—1=0,得x=4

當九〉《時'八九）>°，/（x）單調(diào)遞增；當工<《時，/（x）單調(diào)遞減.

所以，當工=_1時，/（X）有極小值，并且極小值為/（工）=6'（」~）2--1-2=—絲.

1212121224

（2）因為/（X）=X3_27X,所以尸（X）=31-27.

令廣（%）=31—27=0,得》=±3.

下面分兩種情況討論：

①當/（x）>0,即x<—3或x>3時；②當/'（x）<0,即—3<x<3時.

當X變化時，f\x),/(x)變化情況如下表:

X(-co,-3)-3(-3,3)3(3,+8)

/'(X)4-0-0+

/(X)單調(diào)遞增54單調(diào)遞減-54單調(diào)遞增

因此，當x=-3時，/(x)有極大值，并且極大值為54;

當x=3時，/(x)有極小值，并且極小值為-54.

(3)因為/(x)=6+12x—所以r(x)=12-3/.

令/'(x)=12-3*2=0,得》=±2.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)>0,即—2<x<2時；②當/(x)<0,即x<—2或x>2時.

當x變化時，f'(x),/(x)變化情況如下表：

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+00)

f'M-0+0-

fM單調(diào)遞減-10單調(diào)遞增22單調(diào)遞減

因此，當x=-2時，/(x)有極小值，并且極小值為-10;

當x=2時，/(x)有極大值，并且極大值為22

(4)因為/(x)=3x—V,所以:(x)=3-3/.

令r(x)=3—3/=0,得》=±1.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)>0,即-1<X<1時；②當r(x)<0,即x<—1或X>1時.

當x變化時，/'(X),/(x)變化情況如下表：

X-1(-1,1)1。,+8)

/'(X)-0+0-

fW單調(diào)遞減-2單調(diào)遞增2單調(diào)遞減

因此，當x=-l時，/(x)有極小值，并且極小值為-2;

當x=l時，/(x)有極大值，并且極大值為2

練習(P31)

1149

(1)在［0,2］上,當％-時,/(x)=6/—x—2有極小值，并且極小值為/(」?)=—竺.

121224

又由于/(0)=—2,/⑵=20.

因此，函數(shù)/(x)=6x2—X—2在［0,2］上的最大值是20、最小值是—”.

24

(2)在［-4,4］上，當x=—3時,"x)=x3—27x有極大值，并且極大值為/(—3)=54;

當x=3時，/(》)=/一27x有極小值，并且極小值為/(3)=—54;

又由于/(—4)=44,/(4)=一44.

因此，函數(shù)/(x)=>—27元在［-4,4］上的最大值是54、最小值是-54.

(3)在［―；,3］上，當x=2時，/(x)=6+12x—無3有極大值，并且極大值為/(2)=22.

又由于=/⑶=15.

因此，函數(shù)/(x)=6+12x-d在［-2,3］上的最大值是22、最小值是笑.

327

(4)在［2,3］上，函數(shù)/(x)=3x—/無極值.

因為/(2)=—2,/⑶=—18.

因此，函數(shù)/(x)=3x-在［2,3］上的最大值是-2、最小值是-18.

習題1.3A組(P31)

1、(1)因為/(x)=—2x+l,所以/'(x)=—2<0.

因此,函數(shù)/(x)=-2x+l是單調(diào)遞減函數(shù).

rrTT

(2)因為/(X)=x+cosx,xe(O,y),所以/'(x)=l-sinx>0,xe(0,—).

因此，函數(shù)/(x)=x+cosx在(O,1)上是單調(diào)遞增函數(shù).

(3)因為/'(x)=—2x—4,所以/'(x)=—2<0.

因此，函數(shù)/(x)=2x-4是單調(diào)遞減函數(shù).

(4)因為/(x)=2d+4x,所以尸(功=6。+4>0.

因此,函數(shù)/(x)=2/+4x是單調(diào)遞增函數(shù).

2、(1)因為f(x)=X2+2x-4,所以/'(x)=2x+2.

當/(x)>0,即x>T時,函數(shù)/(x)=f+2x—4單調(diào)遞增.

當廣(x)<0,即x<—l時，函數(shù)/(x)=f+2x—4單調(diào)遞減.

(2)因為/(X)=2X2-3X+3,所以/'(X)=4X—3.

當/(無)>0,即x>2時，函數(shù)f(x)=2尤2-3X+3單調(diào)遞增.

4

當/(x)<0,即x<3時，函數(shù)f(x)=2%2-3x+3單調(diào)遞減.

4

(3)因為/(x)=3x+/,所以r(x)=3+3f〉0.

因此，函數(shù)/(x)=3x+V是單調(diào)遞增函數(shù).

(4)因為/(x)=d+x2—x,所以尸(x)=3/+2尤-1.

當尸(X)>0,即X<—1或X>；時，函數(shù)/(幻=/+/7單調(diào)遞增.

當了'(X)<O,即時，函數(shù)/(x)=A3+x?-X單調(diào)遞減.

3、(1)圖略.(2)加速度等于0.

4、(1)在％處，導函數(shù)y=/'(x)有極大值；

(2)在％=須和工=々處，導函數(shù)y=/'(x)有極小值；

(3)在％=七處，函數(shù)y=/(x)有極大值；

(4)在x=/處，函數(shù)y=/(x)有極小值.

5、(1)因為/(.)=6/+>+2,所以/'(x)=12x+l.

令/(%)=i2x+i=o,得了=—g.

當x>-《時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當》<一看時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

所以，戶-、時，f(x)有極小值，并且極小值為

(,-1-)、=A6x(/--1)、2--1-2。=--49.

12121224

(2)因為小)=/一12x,所以尸(x)=3/—12.

令/'(x)=3f-12=0,得》=±2.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)>0,即x<—2或x>2時；②當/'(x)<0,即—2<x<2時.

當x變化時，/'(x),/(x)變化情況如下表:

X(一8,-2)-2(々2)2(2,+8)

廣(X)十0-0+

fW單調(diào)遞增16單調(diào)遞減-16單調(diào)遞增

因此，當x=-2時，/(x)有極大值，并且極大值為16;

當x=2時，/(x)有極小值，并且極小值為-16.

(3)因為f(x)=6-12%+/,所以/(x)=—12+3/.

令/'(x)=-12+3x?=0,得*=±2.

下面分兩種情況討論：

①當/'(x)〉0,即x<—2或x〉2時；②當/(x)<0,即一2<x<2時.

當x變化時，f'(x),/(x)變化情況如下表：

X(-co,-2)-2(-2⑵2(2,+8)

/'(X)4-0-0+

fM單調(diào)遞增22單調(diào)遞減-10單調(diào)遞增

因此，當x=-2時，/(x)有極大值，并且極大值為22;

當x=2時，/(x)有極小值，并且極小值為-10.

(4)因為/(x)=48x—所以尸(x)=48—3f.

令;(x)=48—3x2=0,得'=±4.

下面分兩種情況討論：

①當廣(x)>0,即x<—2或x>2時；②當/'(x)<0,即一2〈尤<2時.

當X變化時，/'(X),/(X)變化情況如下表：

X(-00,-4)-4(-4,4)4(4,+00)

/"(x)-0+0-

/(X)單調(diào)遞減-128單調(diào)遞增128單調(diào)遞減

因此，當x=-4時，/(%)有極小值，并且極小值為-128;

當x=4時，，(x)有極大值，并且極大值為128.

147

6、(1)在［一1,1］上，當工=-一時，函數(shù)/(》)=6/+》+2有極小值，并且極小值為一.

1224

由于『(一1)=7,/⑴=9,

47

所以，函數(shù)/。)=6/+》+2在［-1,1］上的最大值和最小值分別為9,—.

24

(2)在［—3,3］上，當x=—2時，函數(shù)/(X)=X3_12X有極大值，并且極大值為16;

當x=2時，函數(shù)/(X)=X3_12X有極小值，并且極小值為-16.

由于/(-3)=9，〃3)=-9,

所以,函數(shù)/。)=1—12%在［-3,3］上的最大值和最小值分別為16,-16.

(3)在［一；,1］上，函數(shù)/(x)=6—12x+x3在［―上無極值.

由于/(一；)=箸，/⑴=一5，

所以，函數(shù)/(x)=6—12x+/在上的最大值和最小值分別為絲，-5.

327

(4)當x=4時，/(x)有極大值，并且極大值為128..

由于/'(-3)=—117,/(5)=115,

所以,函數(shù)〃x)=48x-x3在［-3,5］上的最大值和最小值分別為128,-117.

習題3.3B組(P32)

1、(1)證明：設/(x)=sinx-x,xe(0,7T).

因為/'(x)=COSX-1<0,XG(0,7T)

所以/(x)=sinx-j^(0,7f)內(nèi)單調(diào)遞減

因此/(x)=sinx-x</(0)=0,xe(0,TI'),即sinxcx,xe(0,)).圖略

(2)證明:f(x)=x-x2,xe(0,1).

因為r(x)=l_2x,xe(0,l)

所以，當xe(0,g)時，/,(x)=l-2x>0,/(x)單調(diào)遞增，

/(x)=x-x2>/(0)=0;

當xe(g,l)時，/,(x)=l-2x<0,/(x)單調(diào)遞減，

/(x)=x-x2>/(l)=0;

2

又/(；)=；>0.因此，x-x>0,xe(0,l).圖略

(3)證明：設/(x)=e*-l-x,xwO.

因為r(x)=--l,XHO

所以,當x>0時，f\x)=ex-l>0,/(x)單調(diào)遞增，

/(x)=^-l-x>/(0)=0;

當x<0時，f'(x)=e*-l<0,F(x)單調(diào)遞減,

/(x)=^-l-x>/(0)=0;

綜上，ex-1>x,xH0.圖略

(4)證明：設/(x)=lnx-x,x>0.

因為廣(x)='—l，XHO

X

所以，當0<x<l時，/^)=--1>0,/(X)單調(diào)遞增，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0;

當x>l時，/,(x)=--l<0,/(X)單調(diào)遞減，

X

/(x)=lnx-x</(l)=-l<0;

當x=l時，顯然lnl<L因此，Inx<x.

由(3)可知，ex>x+l>x,x>0.

綜上，\nx<x<ex,x>0圖略

2、（1）函數(shù)/。）=〃/+"2+以+4的圖象大致是個“雙峰”圖象，類似2,或“s”

的形狀.若有極值，則在整個定義域上有且僅有一個極大值和一個極小值，從圖象上能大致估

計它的單調(diào)區(qū)間.

(2)因為/(x)=ax'+bF+cx+d,所以/'(x)=+2匕x+c.

下面分類討論：

當a#0時，分a>0和a<0兩種情形：

①當a>0,且3ac>0時，

設方程f'(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根分別為，且須<々,

當/'(X)=3ax2+2bx+c〉0,即x<玉或x>々時，函數(shù)/(x)=4/+［單調(diào)遞增；

當/'(x)=3"2+2bx+c<0,即玉<苫<々時，函數(shù)/(x)=辦3+匕%2+cx+d單調(diào)遞減.

當a>0,且匕2-3ac<0時，

此時/'(x)=3af+2云+cNO,函數(shù)++5+》單調(diào)遞增.

②當a<0,且。2—3ac>0時，

設方程f'(x)=3ax2+2bx+c=0的兩根分別為王，且須<々，

當/'(x)=3ax2+2bx+c〉0,即玉<%<々時，函數(shù)/(xXax'+bx?+cx+d單調(diào)遞增；

當/'(X)=3ax2+2bx+c<0,即》<玉或時，函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx+d單調(diào)遞減.

當a<0,且。2-3ac〈O時，

此時f'(x)=3ax2+2bx+c<0,函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx+d單調(diào)遞減

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例

習題1.4A組(P37)

1、設兩段鐵絲的長度分別為x,l-x,則這兩個正方形的邊長分別為土，占，兩個正方

44

形的面積和為S=f(x)=(-)2+(^)2=—(2x2-2lx+l2),Q<x<l.

4416

令尸(x)=0,即4x—2/=0,x=~.

當xw(0,2)時，:。)<0；當時，/'(x)>0.

因此，x=2是函數(shù)/(X)的極小值點，也是最小值點.

所以，當兩段鐵絲的長度分別是上時，兩個正方形的面積和最小.

2

2、如圖所示，由于在邊長為。的正方形鐵片的四角截去

四個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋方盒，所以無

蓋方盒的底面為正方形，且邊長為。-2x,高為x.

(1)無蓋方盒的容積V(x)=(a—2x)2x,0<x<^.

(2)因為丫(》)=4V-4江+。一,

所以小)=12r—8以+。2.

令v，(x)=o,得x=q(舍去)，或犬=區(qū).

當xe(O,@)時，Vf(x)>0;當xe(3,q)時，V'(x)<0.

因此，x=二是函數(shù)丫(X)的極大值點，也是最大值點.

所以，當x=q時，無蓋方盒的容積最大.

3、如圖，設圓柱的高為〃，底半徑為R,/nA

則表面積S=2萬R/Z+2%R2

由丫=萬??2力，得〃=\.

因此，5(/?)=2萬/?衛(wèi)+2不/?2='+2乃/?2,R〉O.

兀內(nèi)Rh

令S'(H)=—更+4?H=0,解得R=;E.

RV

當Re(O,J上2")時，S'(R)<0;"V_.

當區(qū)e時'S'(H)>0.(第3題)

因此，R=J±是函數(shù)S(R)的極小值點，也是最小值點.此時，仁二=2咚=2R.

V2萬7iR-V2兀

所以，當罐高與底面直徑相等時，所用材料最省.

4、證明：由于/(%)=一工(工一卬)2，所以/'(》)=一>2(%—4)?

〃/=1〃i=l

1"

令f'(x)=O,得了=—Zq，

1n

可以得到，x=是函數(shù)/(x)的極小值點，也是最小值點.

1〃

這個結(jié)果說明，用〃個數(shù)據(jù)的平均值上￡勾表示這個物體的長度是合理的,

這就是最小二乘法的基本原理.

2

5、設矩形的底寬為xm,則半圓的半徑為二m,半圓的面積為二Ln?,

28

矩形的面積為a-三二1或，矩形的另一邊長為(巴―二)m

8x8

因此鐵絲的長為/(x)=2±+x+&?-衛(wèi)=(1+工)x+即，0<x<但

2x44xV7t

令/'(x)=l+工—衛(wèi)=0,得x=匚叵(負值舍去).

4x，4+萬

當xe(O停二)時，/'(x)<0;當xw(、尸二,、怪)時，/'(x)>0.

V4+乃Y4+乃V71

因此，x一a二是函數(shù)/(X)的極小值點，也是最小值點.

V4+萬

所以，當?shù)讓挒椋勰m時，所用材料最省.

6、利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘單價.

由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式，再用導數(shù)求最大利潤.

收入7?=葉/?=虱25-卜)=254-：7,

OO

利潤L=R—C=(25q—」/)—(100+4q)=—!/+21q-100,0<^<200.

88

求導得〃=—Lq+21

4

令U=0,即」4+21=0,4=84.

4

當qe(0,84)時,L'>0；當qe(84,200)時，L'<0;

因此，q=84是函數(shù)L的極大值點，也是最大值點.

所以，產(chǎn)量為84時，利潤L最大，

習題1.4B組(P37)

1、設每個房間每天的定價為x元，

y__120|

那么賓館利潤L(x)=(50--10)(x-20)=--X2+70X-1360,180<x<680.

令Z/(x)=—：x+70=0,解得x=350.

當xe(180,350)時，L'(x)>0;當xe(350,680)時，L'(x)>0.

因此，x=35O是函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點.

所以，當每個房間每天的定價為350元時，賓館利潤最大.

2、設銷售價為x元/件時，

/?—x4Sh

利潤L(x)=(x-a)(c+c-----x4)=c(x-a)(5——x),a<x<一.

hh4

4T(x)=x+4r/C+5/?C=0,解得X=4"+5〃.

hb8

w/4Q+5/?、Q、八w,4(2+5/75Z?\q.、?

當------)時，L(x)>0;當XE(------,一)時，Lrf(x)<0.

884

當》=蛻H是函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點.

所以，銷售價為曳F元/件時，可獲得最大利潤.

1.5定積分的概念

練習(P42)

8

31

說明：進一步熟悉求曲邊梯形面積的方法和步驟，體會“以直代曲”和“逼近”的思想.

練習(P45)

1、?A5/=v(-)Ar=[-<-)2+2]--=-(-)2i=l,2,.

nnnnnn

于是s=￡儆x￡△$；=￡v(-)Ar

/=!/=1i=l幾

與，+馬

,-innn

=-(-)2------(-)2---(-)2--+2

nnnnnn

1,

=-[l+292+--?+n2]+2

fT

1n(n+l)(2n+1).

=----7------------------------F2

n36

=--(l+-)(l+—)+2

3nIn

取極值，得

nijfiiii5

s=lim>[-v(-)]=limY[一一(1+-)(1+—)+2]=-

…￡nn…白3n2n3

說明：進一步體會“以不變代變”和“逼近”的思想.

說明：進一步體會“以不變代變”和“逼近”的思想，熟悉求變速直線運動物體路程的方法

和步驟.

練習(P48)

fx%x=4.說明：進一步熟悉定積分的定義和幾何意義.

從幾何上看，表示由曲線y=》3與直線x=0,x=2,y=0所圍成的曲邊梯形的面積S=4.

習題1.5A組(P50)

-2哽；-11

U(l)［+—)-l］x—=0.495;

」￡100100

500-1|

(2)『2(1)八2［(1+.)-1h而=0499;

C理/_］

(3)［(x-l)Jx?y［(l+——)-l］x1——=0.4995.

J占10001000

說明：體會通過分割、近似替換、求和得到定積分的近似值的方法.

2、距離的不足近似值為：18x1+12x1+7x1+3x1+0x1=40(m);

距離的過剩近似值為：27x1+18x1+12x1+7x1+3x1=67(m).

3、證明：令/(x)=l.用分點a-x0<<???<xj_l<xi<???<xti-b

將區(qū)間［a,b］等分成八個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點以i=1,2,)

作和式￡/?心=￡"^=。-a,

/=!/=1〃

從而f\dx-limV-一-=h-a,

/=1ri

說明：進一步熟悉定積分的概念.

4、根據(jù)定積分的幾何意義，fJl—x2dx表示由直線x=0,x=l,y=0以及曲線y=/一》2

所圍成的曲邊梯形的面積，即四分之一單位圓的面積，因此［Ji=E/x=(.

5、⑴「xidx=--.

J-i4

由于在區(qū)間［一1,0］上所以定積分表示由直線x=0,x=-l,y=0和曲線

y=d所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).

(2)根據(jù)定積分的性質(zhì)，得］產(chǎn)3公=(33小+'彳3公=一(+；=0.

由于在區(qū)間上在區(qū)間［0,1］上尤320,所以定積分￡產(chǎn)3dx等于位于x軸上方的

曲邊梯形面積減去位于X軸下方的曲邊梯形面積.

(3)根據(jù)定積分的性質(zhì)，得jx3dx=工尤3公+jx3dX=—；+4=?

由于在區(qū)間上V<0,在區(qū)間［0,2］上V20,所以定積分等于位于X軸上方的

曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積.

說明：在(3)中，由于/在區(qū)間［-I,。］上是非正的，在區(qū)間［0,2］上是非負的，如果直接利

用定義把區(qū)間［-1,2］分成〃等份來求這個定積分，那么和式中既有正項又有負項，而且無法抵

擋一些項，求和會非常麻煩.利用性質(zhì)3可以將定積分，產(chǎn)3公化為Q/dx+fV/x,這樣，%3

在區(qū)間和區(qū)間［0,2］上的符號都是不變的，再利用定積分的定義，容易求出f產(chǎn)3公，

f/dx,進而得到定積分f產(chǎn)3dx的值.由此可見，利用定積分的性質(zhì)可以化簡運算.

在(2)(3)中，被積函數(shù)在積分區(qū)間上的函數(shù)值有正有負，通過練習進一步體會定積分的

幾何意義.

習題1.5B組(P50)

1、該物體在f=0到f=6(單位：s)之間走過的路程大約為145m.

說明：根據(jù)定積分的幾何意義，通過估算曲邊梯形內(nèi)包含單位正方形的個數(shù)來估計物體走過

的路程.

2、(1)v=9.8U.

8；11QQ

(2)過剩近似值：y9.81x-x--9.81x-x—x=88.29(m);

勺2242

8；_1118v7

不足近似值：?.81x——x-=9.81x-x——=68.67(m)

占2242

(3)19.81團；￡9.81/d/=78.48(m).

3、(1)分割

在區(qū)間［0,/］上等間隔地插入“-1個分點，將它分成〃個小區(qū)間：

［0,-］,……，［竺

nnnn

記第，?個區(qū)間為［支型,4(i=l,2,…〃)，其長度為

nn

nnn

把細棒在小段［o,4,……，［也久,〃上質(zhì)量分別記作:

nnnn

Aw1,Am2,---,Amn,

則細棒的質(zhì)量加=￡Am,.

i=l

(2)近似代替

當"很大，即想很小時，在小區(qū)間［如叫■，為上，可以認為線密度P(x)=Y的值變

nn

化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它近似地等于任意一點白e區(qū)二更，巴處的函數(shù)

nn

值P?)=。2.于是，細棒在小段［q一旦當上質(zhì)量Am產(chǎn))(6)Ax=gj_L(i=).

nnn

(3)求和

得細棒的質(zhì)量〃?=￡△%?)Ax=--

/=!?=1i=ln

(4)取極限

細棒的質(zhì)量m=所以m=fx2dx

〃->8n力

1=1"

1.6微積分基本定理

練習(P55)

(1)50;(2)—;(3)這—*；(4)24;

333

31

(5)--ln2;(6)(7)0;(8)-2.

22

說明：本題利用微積分基本定理和定積分的性質(zhì)計算定積分.

習題1.6A組(P55)

9

(2)一31n2;(3)—+In3-In2;

22

(4)-lZ、3/

(5)——+1;(6)e2-e-2\n2.

68

說明：本題利用微積分基本定理和定積分的性質(zhì)計算定積分.

2、Isinxdx-［-cosx］(^-2.

它表示位于X軸上方的兩個曲邊梯形的面積與X軸下方的曲邊梯形的面積之差.或表述為：

位于X軸上方的兩個曲邊梯形的面積(取正值)與X軸下方的曲邊梯形的面積(取負值)的代

數(shù)和.

習題1.6B組(P55)

1、(1)原式=de?*］；=”一4；(2)原式=dsin2xB=4—且；

2222624

廟4r26

(3)原式=[-],=——

ln21In2

c/1、/?Jrcosmx^I/c

2.(1)sinmxdx=[-------]_乃=[rcosmjr-cos(一加左)]=0;

Mm'm

(2)fcosmxdx-‘始""匕1r=—[sinmrc-sin(-m^)]=0;

L冗m，m

(3)「sin2s仆「匕您陋仆亡-包迦心好；

、冗224m

,A、儼2,r1+cos2mxxsin2mx”

(4)cosmxdx=--------dxf=[r—+-------]、=萬.

b〃224m乃

3、(1)s(f)=「5(1—""')力=[&/+與/人工=51+4*"一與=49，+245042，一245.

睚kk2°kk2k2

(2)由題意得49f+245e42'—245=5000.

這是一個超越方程，為了解這個方程，我們首先估計f的取值范圍.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當，〉0時，0<"°&<1,從而5000<49/<5245,

50005245

因此,<t<-------

49----49

-0.2x-------——0.2x---4--9---

因此245e49=3.36x10-7,245e=1.24x10”，

所以，1.24x10-7<245e心<3.36x10-7.

從而，在解方程4%+245642'-245=5000時，2456一?！翱梢院雎圆挥?

因此，.4%一245。5000,解之得，=士史(s).

49

說明：B組中的習題涉及到被積函數(shù)是簡單的復合函數(shù)的定積分，可視學生的具體情況選做,

不要求掌握.

L7定積分的簡單應用

練習(P58)

32

(1)—；(2)1.

3

說明：進一步熟悉應用定積分求平面圖形的面積的方法與求解過程.

練習(P59)

1、s=((2f+3)dt=[廣+3力；=22(m).

2、W=j(3工+4)公=6/+4劃：=40(J).

習題1.7A組(P60)

9

1、(1)2;(2)

2

2、皿=『女44"=[一攵幺]：=女幺一左幺.

rrab

3、令yQ)=0,ER40-10/=0.解得f=4.即第4s時物體達到最大高度.

最大高度為/?=￡(40-\Ot)dt=[40/-5/2]o=80(m).

4、設fs后兩物體相遇，則1(3『+1)力=[10回+5,

解之得f=5.即A,8兩物體5s后相遇.

此時，物體A離出發(fā)地的距離為