8．2立體圖形的直觀圖學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．2.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫常見(jiàn)的柱體、錐體、臺(tái)體、球以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖．情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)空間幾何體，除了要會(huì)辨認(rèn)它們，還需要作圖來(lái)表示這些幾何體，以便進(jìn)一步提高對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)．同時(shí)，比較準(zhǔn)確地畫出幾何圖形，是學(xué)好立體幾何的一個(gè)前提．我們常用三視圖和直觀圖來(lái)表示空間幾何體．在初中就已知道，三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置來(lái)觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形．而直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而獲得的圖形．怎樣畫出現(xiàn)實(shí)生活中相應(yīng)幾何體的直觀圖呢？

新知探究知識(shí)點(diǎn)一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法問(wèn)題引導(dǎo)1.我們都非常喜歡打乒乓球，乒乓球臺(tái)是長(zhǎng)方形的，為什么從旁邊看起來(lái)是一個(gè)平行四邊形呢？提示：在乒乓球臺(tái)上建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，當(dāng)將兩坐標(biāo)軸的夾角變?yōu)?5°或135°時(shí)，臺(tái)面看起來(lái)就是平行四邊形了．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟典例探究例1用斜二測(cè)畫法畫出如圖所示的水平放置的△OAB的直觀圖．解：(1)在三角形中建立如圖①所示的直角坐標(biāo)系xOy，再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在圖①中作BD⊥x軸于D，在坐標(biāo)系x′O′y′中，沿x′軸正方向取O′A′＝OA，沿x′軸負(fù)方向取O′D′＝OD.(3)在坐標(biāo)系x′O′y′中沿y′軸正方向畫D′B′平行于y′軸，且D′B′＝eq\f(1,2)DB.(4)連接O′B′，A′B′，去掉輔助線，得到△O′A′B′，即水平放置的平面圖形△OAB的直觀圖，如圖③所示．畫水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．(2)畫平面圖形的直觀圖時(shí)，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段．變式訓(xùn)練1．用斜二測(cè)畫法畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．解：畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖問(wèn)題引導(dǎo)2.我們可以把長(zhǎng)方體看成底面ABCD沿著與底面垂直的方向平移后形成的幾何體，依據(jù)這一點(diǎn)，如何作出長(zhǎng)方體的直觀圖呢？提示：先作出底面的直觀圖，然后找一個(gè)與底面垂直的方向，將底面平移，就形成了長(zhǎng)方體的直觀圖．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)空間幾何體直觀圖的畫法步驟(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)與x軸、y軸都垂直的eq\o(□,\s\up1(1))z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是eq\o(□,\s\up1(2))z′軸．(2)畫底面：eq\o(□,\s\up1(3))x′O′y′平面表示水平平面，eq\o(□,\s\up1(4))y′O′z′平面和eq\o(□,\s\up1(5))x′O′z′平面表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖．(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中eq\o(□,\s\up1(6))平行性和eq\o(□,\s\up1(7))長(zhǎng)度都不變．(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為eq\o(□,\s\up1(8))虛線．典例探究例2(鏈接教材P109例2)用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1cm，下底面邊長(zhǎng)為2cm，高(兩底面之間的距離，即兩底面中心連線的長(zhǎng)度)為2cm的正四棱臺(tái)．解：(1)畫軸．如圖(1)所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．在平面xOy上畫邊長(zhǎng)為2cm的正方形的直觀圖ABCD.(3)畫上底面．在Oz上截取OO′＝2cm，過(guò)O′分別作平行于Ox、Oy的O′x′、O′y′，在平面x′O′y′上用畫正四棱臺(tái)下底面直觀圖的方法畫出邊長(zhǎng)為1cm的正四棱臺(tái)的上底面的直觀圖A′B′C′D′.(4)依次連接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉輔助線，將被遮擋部分改成虛線)得到正四棱臺(tái)的直觀圖，如圖(2)所示．圖(1)圖(2)空間幾何體的直觀圖的畫法(1)對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體(柱體、錐體、臺(tái)體、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以較快較準(zhǔn)確地畫出直觀圖．(2)畫空間幾何體的直觀圖，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個(gè)z軸，表示豎直方向．(3)z軸方向上的線段，方向與長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致．變式訓(xùn)練2．一個(gè)機(jī)器部件，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm，高為3cm，圓錐的高為3cm，畫出此機(jī)器部件的直觀圖．解：(1)如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫圓柱的兩底面．以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上取線段AB，使AB＝3cm，利用橢圓模板畫橢圓，使其經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)．這個(gè)橢圓就是圓柱的下底面．在z軸上截取OO′，使OO′＝3cm，過(guò)O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′，類似下底面的作法作出圓柱的上底面．(3)畫圓錐的頂點(diǎn)．在z軸上畫出點(diǎn)P，使PO′＝3cm.(4)成圖．連接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得到此幾何體(機(jī)器部件)的直觀圖，如圖②.①②思維提升直觀圖的還原與計(jì)算例3(1)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，B′C′＝1，OC′＝eq\r(2)，則該平面圖形的面積為()A．eq\f(\r(2),2) B．2C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：D因?yàn)橹庇^圖是底角為45°的等腰梯形，且B′C′＝1，OC′＝eq\r(2)，所以等腰梯形的高為h＝OC′sin45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，所以等腰梯形的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋1＋1＋1)×1＝2，所以原平面圖形的面積為S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×2＝4eq\r(2).故選D.(2)如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的斜二測(cè)直觀圖，若O′A′＝3，O′B′＝4，則△OAB的面積為_(kāi)_______．解析：把△O′A′B′還原為△OAB，如圖所示，則OA＝2O′A′＝2×3＝6，OB＝O′B′＝4，所以△OAB的面積為S＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)×6×4＝12.答案：12由直觀圖還原為平面圖形的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可．由此可得，直觀圖面積S′與原圖形面積S的關(guān)系為S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.變式訓(xùn)練3.(1)如圖，正方形A′B′C′D′是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的一個(gè)平面四邊形ABCD的直觀圖，若A′D′＝1，則四邊形ABCD周長(zhǎng)為()A．eq\r(2) B．4C．2eq\r(2) D．8解析：D根據(jù)題意，直觀圖中，四邊形A′B′C′D′是正方形A′B′C′D′，且邊長(zhǎng)為1，則A′B′＝1，O′D′＝eq\r(2)，作出原圖如圖，OD＝2O′D′＝2eq\r(2)，則有AD＝eq\r(8＋1)＝3，四邊形ABCD為平行四邊形，則BC＝3，CD＝1，故四邊形ABCD周長(zhǎng)為1＋3＋3＋1＝8.故選D.(2)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么由斜二測(cè)畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2解析：D法一：建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.①②如圖②所示，建立對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，應(yīng)有A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥O′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面積是S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.法二：∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.

課堂小結(jié)1．知識(shí)網(wǎng)絡(luò)2．方法歸納本課時(shí)應(yīng)用了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．3．易錯(cuò)提醒同一圖形選取坐標(biāo)系的角度不同，得到的直觀圖可能不同．

課堂練習(xí)1．(多選)(2024·太原期中)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是()A．三角形的直觀圖是三角形B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是正方形D．菱形的直觀圖是菱形解析：AB由斜二測(cè)直觀圖的畫法規(guī)則，平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，可知三角形的直觀圖還是三角形，故A正確；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，所以B正確；正方形的直觀圖是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；菱形的直觀圖是平行四邊形，故D錯(cuò)誤．故選AB.2．若利用斜二測(cè)畫法把一個(gè)高為10cm的圓柱的底面畫在x′O′y′平面上，則圓柱的高應(yīng)()A．平行于z′軸且大小為10cmB．平行于z′軸且大小為5cmC．與z′軸成45°且大小為10cmD．與z′軸成45°且大小為5cm解析：A平行于z軸(或在z軸上)的線段，在直觀圖中的方向和長(zhǎng)度都與原來(lái)保持一致．3.(多選)如圖，已知等腰三角形ABC，則如圖所示的四個(gè)圖形，可能是△ABC的直觀圖的是()解析：CD當(dāng)∠x′O′y′＝135°時(shí)，其直觀圖是C；當(dāng)∠x′O′y′＝45°