向量法求空間點(diǎn)到平面的距離教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)讓學(xué)生理解空間點(diǎn)到平面距離的概念。學(xué)生能夠掌握用向量法求空間點(diǎn)到平面距離的方法，并能熟練運(yùn)用該方法解決相關(guān)問題。2.過程與方法目標(biāo)通過向量法求空間點(diǎn)到平面距離的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力。經(jīng)歷向量法推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和將空間問題轉(zhuǎn)化為向量問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的重要作用，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)向量法求空間點(diǎn)到平面距離公式的推導(dǎo)。運(yùn)用向量法求空間點(diǎn)到平面的距離。2.教學(xué)難點(diǎn)理解向量法求空間點(diǎn)到平面距離公式的推導(dǎo)思路。如何引導(dǎo)學(xué)生將空間點(diǎn)到平面距離問題準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為向量問題，并合理運(yùn)用向量知識求解。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解向量法求空間點(diǎn)到平面距離的基本概念、公式推導(dǎo)和解題步驟，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識。2.討論法：組織學(xué)生討論向量法的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和思維能力。3.練習(xí)法：通過適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)生運(yùn)用向量法解決實(shí)際問題的能力。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.回顧提問提問學(xué)生平面的法向量的定義和求法。讓學(xué)生回憶空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其幾何意義。2.情境引入展示一個(gè)實(shí)際問題情境：已知一個(gè)空間中的平面和平面外一點(diǎn)，如何求該點(diǎn)到平面的距離？例如，在一個(gè)立體圖形中，已知一個(gè)平面和平面外的一個(gè)頂點(diǎn)，求該頂點(diǎn)到平面的距離。引導(dǎo)學(xué)生思考如何解決這個(gè)問題，從而引出本節(jié)課的主題--向量法求空間點(diǎn)到平面的距離。

（二）知識講解（15分鐘）1.空間點(diǎn)到平面距離的概念給出空間點(diǎn)到平面距離的定義：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，該點(diǎn)與垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。強(qiáng)調(diào)點(diǎn)到平面距離的唯一性和最短性。2.向量法求空間點(diǎn)到平面距離公式的推導(dǎo)設(shè)平面\(\alpha\)的法向量為\(\vec{n}\)，點(diǎn)\(P\)是平面\(\alpha\)外一點(diǎn)，點(diǎn)\(A\)是平面\(\alpha\)內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)\(P\)到平面\(\alpha\)的距離\(d\)等于向量\(\overrightarrow{PA}\)在法向量\(\vec{n}\)方向上的投影的絕對值。具體推導(dǎo)過程如下：已知\(\vec{n}\)是平面\(\alpha\)的法向量，\(A\in\alpha\)，\(P\notin\alpha\)，則\(\overrightarrow{PA}\)與\(\vec{n}\)的夾角為\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)）。根據(jù)向量的投影公式，\(\overrightarrow{PA}\)在\(\vec{n}\)方向上的投影為\(\vert\overrightarrow{PA}\vert\cos\theta\)。又因?yàn)閈(\cos\theta=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\overrightarrow{PA}\vert\vert\vec{n}\vert}\)，所以\(\vert\overrightarrow{PA}\vert\cos\theta=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)。即點(diǎn)\(P\)到平面\(\alpha\)的距離\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)。

（三）例題講解（20分鐘）1.例1已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(2,3,1)\)，點(diǎn)\(A(2,1,3)\)在平面\(\alpha\)內(nèi)，點(diǎn)\(P(1,2,1)\)，求點(diǎn)\(P\)到平面\(\alpha\)的距離\(d\)。解：首先求向量\(\overrightarrow{PA}=(21,12,31)=(3,1,2)\)。然后計(jì)算\(\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}=(3)\times2+(1)\times(3)+2\times1=6+3+2=1\)。再求\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{2^2+(3)^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\)。最后根據(jù)公式\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}=\frac{\vert1\vert}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}\)。詳細(xì)講解每一步的計(jì)算依據(jù)和目的，讓學(xué)生理解向量法求點(diǎn)到平面距離的具體操作過程。2.例2在棱長為\(1\)的正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，求點(diǎn)\(A_1\)到平面\(ACB_1\)的距離\(d\)。解：以\(D\)為原點(diǎn)，分別以\(DA,DC,DD_1\)所在直線為\(x,y,z\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則\(A(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(B_1(1,1,1)\)，\(A_1(1,0,1)\)。求平面\(ACB_1\)的法向量\(\vec{n}\)：設(shè)\(\vec{n}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AB_1}=(0,1,1)\)。由\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB_1}=0\end{cases}\)，可得\(\begin{cases}x+y=0\\y+z=0\end{cases}\)，令\(y=1\)，則\(x=1\)，\(z=1\)，所以\(\vec{n}=(1,1,1)\)。計(jì)算向量\(\overrightarrow{A_1C}=(1,1,1)\)。計(jì)算\(\overrightarrow{A_1C}\cdot\vec{n}=(1)\times1+1\times1+(1)\times(1)=1\)。計(jì)算\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{1^2+1^2+(1)^2}=\sqrt{3}\)。根據(jù)公式\(d=\frac{\vert\overrightarrow{A_1C}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。在講解過程中，強(qiáng)調(diào)建立空間直角坐標(biāo)系的方法以及如何根據(jù)已知條件求平面的法向量，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握用向量法解決立體幾何中距離問題的步驟。

（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(3,4,5)\)，點(diǎn)\(A(2,1,3)\)在平面\(\alpha\)內(nèi)，點(diǎn)\(P(1,2,4)\)，求點(diǎn)\(P\)到平面\(\alpha\)的距離。2.在正三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)中，各棱長都為\(2\)，求點(diǎn)\(B_1\)到平面\(A_1BC\)的距離。讓學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)立完成這兩道練習(xí)題，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并給予糾正。請兩位學(xué)生上臺板演，其他學(xué)生做完后同桌之間互相批改，最后教師對學(xué)生的解題情況進(jìn)行點(diǎn)評，強(qiáng)調(diào)解題的關(guān)鍵步驟和易錯(cuò)點(diǎn)。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括空間點(diǎn)到平面距離的概念和向量法求空間點(diǎn)到平面距離的公式及推導(dǎo)過程。2.總結(jié)用向量法求空間點(diǎn)到平面距離的步驟：確定平面的法向量\(\vec{n}\)。找到平面內(nèi)一點(diǎn)\(A\)和平面外一點(diǎn)\(P\)，計(jì)算向量\(\overrightarrow{PA}\)。計(jì)算\(\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\)和\(\vert\vec{n}\vert\)。根據(jù)公式\(d=\frac{\vert\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)求出點(diǎn)\(P\)到平面的距離\(d\)。3.強(qiáng)調(diào)在解題過程中需要注意的問題，如建立合適的空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確計(jì)算向量的坐標(biāo)和數(shù)量積等。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.教材課后習(xí)題：第[X]頁，習(xí)題[X]組第[X]題。2.已知平面\(\alpha\)經(jīng)過三點(diǎn)\(A(1,2,3)\)，\(B(2,0,1)\)，\(C(3,2,0)\)，求點(diǎn)\(P(0,2,\frac{7}{3})\)到平面\(\alpha\)的距離。3.思考：除了向量法，還有哪些方法可以求空間點(diǎn)到平面的距離？請查閱資料并簡單介紹。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對向量法求空間點(diǎn)到平面的距離有了較為系統(tǒng)的認(rèn)識和理解。在教學(xué)過程中，通過回顧相關(guān)知識引入新課，為公式的推導(dǎo)做好鋪墊，然后詳細(xì)講解公式的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生理解其原理。例題和練習(xí)