第十二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷參考答案(數(shù)學(xué)類低年級組,2021年5月)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):考試形式:閉卷考試時(shí)間:180分鐘滿分:100分題號一二三四五六總分滿分2020得分注意:1.所有答題都須寫在標(biāo)準(zhǔn)答題紙上,寫在本試卷或其它紙上均無效.密封線答題時(shí)不要超過此線,2.密封線左邊請勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記.密封線答題時(shí)不要超過此線,3.如答題空白不夠,可寫在當(dāng)頁背面,并標(biāo)明題號.得分評閱人一、(本題20分,每小題5分)得分評閱人則積分,,4.設(shè)A為2021階對稱矩陣,A的每一行均為1,2,...,2021的一個(gè)排列.則A的跡trA=1011×2021.,12得分評閱人二、(本題15分)給定yOz平面上的圓C:y=得分評閱人1.求C繞z軸旋轉(zhuǎn)所得到的環(huán)面S的隱式方程.0)為頂點(diǎn)的兩個(gè)錐面S1和S2的半頂角之差為π/3,且均與環(huán)面S相切(每條母線都與環(huán)面相切),求z0和S1,S2的隱式方程.解答.1.由yOz平面的圓C的參數(shù)方程消去參數(shù)θ可得由此可得繞z軸旋轉(zhuǎn)獲得的環(huán)面S的方程化簡得到S:(x2+y2+(z-1)2+2)2=12(x2+y2).2.記圓C的圓心坐標(biāo)為O,(0,√3,1),M的坐標(biāo)為(0,0,t),M與圓C的兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B,則由兩個(gè)圓錐半頂角之差為可得7O,MA=7O,MB=,進(jìn)而通過解三角形可得t=0或t=2.當(dāng)t=0時(shí),得M(0,0,0),此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為,錐面S1的母線即為直線MA,其方程為z=0,S1即為L1繞z軸所得旋轉(zhuǎn)面?其方程為S1:z=√.錐面S2的母線即為直線MB,其方程為姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):,2即為L2繞z軸所得旋轉(zhuǎn)面?其方程為S姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):,yy密封線答題時(shí)不要超過此線,當(dāng)t=2時(shí),得M(0,0,2),此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,,,√3,2),兩條母線的方程分別為密封線答題時(shí)不要超過此線,對應(yīng)的錐面方程為:z=2-√和S:z=2.,,34三、(本題15分)設(shè)n階復(fù)方陣A1,...,A2n均相似于對角陣,Cn表示復(fù)n維列向量空間.證明:1.Cn=kerAk田ImAk.這里kerAk={α|Akα=0,α∈Cn},ImAk={Akβ|β∈Cn}(k=1,...,2n).2.若對所有的k<j皆有AkAj=0(k,j=1,2,...,2n),則A1,...,A2n中至少有n個(gè)矩陣為零矩陣.證明.由Ak可復(fù)對角化可知,存在可逆矩陣Pk=(p1(k),···,pn(k))使得特征值λ0的特征向量.于是,kerAk=span{p1(k),···,pt(k)},ImAk=n(k)}.這里若Ak不以0為特征值時(shí),kerAk=0.事實(shí)上,若dimkerAk>t,則特征值0的代數(shù)重?cái)?shù)>t,矛盾.從而有kerAk=t(k)}.另一方面,?y∈Cn,y可寫成y=a1p1(k)+···+anpn(k),結(jié)果Ay=at+1λt()1pt()1+···,pn(k)}.從而有ImAk=span{pt()1,···,pn(k)}.故有Cn=kerAk田ImAk.現(xiàn)由條件A1A2=0得ImA2≤kerA1,進(jìn)而有得分得分評閱人事實(shí)上,由Cn=kerA2田ImA2可知,?u∈kerA1,u=u1+u2,其中u1222.又由ImA2≤kerA1得u1=(u-u2)∈kerA2∩kerA1.結(jié)果kerA1有直和分解:kerA1=(kerA2∩kerA1)田ImA2,于是利用A1A3=0,A2A3=0及Cn=kerA3田ImA3,重復(fù)前述對kerA1進(jìn)行分解的過程又可得kerA21)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):,密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線,,從而有最后有兩邊取維數(shù)得n=dim(kerA1∩···∩kerA2n)+rankA1+···+rankA2n.;rankA2n中至少有n個(gè)為0?即A1;...;A2n中至少有n個(gè)矩陣為零矩陣.證畢.256四、(本題20分)稱實(shí)函數(shù)f滿足條件(P):若f在得分評閱人[0,1]上非負(fù)連續(xù)dx=+且對四、(本題20分)稱實(shí)函數(shù)f滿足條件(P):若f在得分評閱人1.令c>0,對于f1(x)=cx和f2(x)=√x,分別驗(yàn)證f1,f2是否滿足條件(P),并計(jì)算2.證明:?m>1,存在滿足條件(P)的函數(shù)f以及趨于零的正數(shù)列{xn},使得f在每一點(diǎn)xn可導(dǎo),且nmef,.解答.我們指出,注意到-xfI=-x2對計(jì)算與思考是有益的.1.易見f1,f2都在[0,1]上非負(fù)連續(xù),f1(1)>f1(0)=0,f2(1)>f2(0)=0.對于x>0,f=c,f=0,fx-1/2,fx-3/2.因此,f1,f2均是[0,1]上的凹函數(shù).由于dx=+dx<+所以f1滿足條件(P)而f2不滿足條件(P).2.從1的結(jié)果得到提示,我們用類似函數(shù)√x與cx的函數(shù)來構(gòu)造想要的例子.注意到對于(0,1]中嚴(yán)格單調(diào)下降并趨于零的點(diǎn)列{an},當(dāng)函數(shù)f的圖像為依次連接的折線且f(0)=0時(shí),條件(P)成立.于是,我們可以嘗試尋找這樣一列{an}以及xn∈(an+1,an)以滿足題目的要求.(10分)具體地,取a0=1,xn∈(an+1,an)待定.我們給出f的表達(dá)式如下:其中姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):,密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線,,注意到取an+1=ane-即有0<an+1<an,且(15分)另一方面,在內(nèi),f/=kn>因此,任取xn∈(an+1,an),均有因此,nn)-xnf/(xn))mef,(xn)=+∞.278得分評閱人條件是什么?解答.為方便引用,標(biāo)記2和A均為實(shí)數(shù).回答以下問題:1.limsin(nQ+β)=A成立的充要條件是什么?n→∞2.nQ1+β1)+sin(nQ2+β2))=0成立的充要nQ1+β1)+sin(nQ2+β2))=0.(2)法I.我們給出如下答案.1.滿足的條件為:sinQ=0;sinβ=A;sin(Q+β)=A.2.滿足的條件為:2)=0.解答過程.1.條件(1)等價(jià)于sin((n+2)Q+β)→A;n→∞.(3)(3)—(1)并整理得到同理可得上式和(4)表明,必有sinQ=0,否則姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):,密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線,,而矛盾.再由(1)等價(jià)于sin(2nα1+β1)→A;sin(2nα1+α+β1)→A;得到sinα1=0;sinβ1=sin(α1+β1)=A.再來證明結(jié)論2.條件(2)等價(jià)于sin((n+2)α1+β1)+sin((n+2)α2+β2)→0.(5)(5)-(2)并整理?得到sinα1cos(nα1+β1)+sinα2cos(nα2+β2)→0.(6)同理?可得sin2α1sin(nα1+β1)+sin2α2sin(nα2+β2)→0.(7) (2)乘以sin2α2,減去(7)?得到(sin2α2-sin2α1)sin(nα1+β1)→0.故必有sin2α2=sin2α1,于是有或者sin2α2=sin2α1=0;或者sin2α2=sin2α10.若sin2α2=sin2α1=0,即sinα2=sinα1=0,代入(2)即得sinα1=sinα2=0;sinβ1+sinβ2=sin(α1+β1)+sin(α2+β2)=0.若sin2α2=sin2α10,則?sinα2=±sinα10,由(6)和(7)得到sin(nα1+β1)+sin(nα2+β2)→0;cos(nα1+β1)±cos(nα2+β2)→0.9上兩式等價(jià)于右邊平方和趨于0,即艸由題(1),sinα2=±sinα10sin(α1干α2)=0,)α1干α2=2pπ12)=0,從而(2)成立的條件是法II.問題1和2都可以視為如下問題的特例:.,λm均為實(shí)數(shù),C1,C2,...,Cm均為非零復(fù)數(shù).則Cjeniλj=0成立的充要條件是什么.若Cjeniλj=0,則對任何λ∈R,均有Cjeni進(jìn)一步,由Stolz公式,我們斷言,λ2,...,λm之中必有一個(gè),設(shè)為λl,使得ei(λl-λ1)=1,即為整數(shù).否則,在(8)中取λ=-λ1,得到一般地,可得eiλ1,eiλ2, ,eiλm中任何一個(gè)必然等于余下m-1個(gè)中的另一個(gè).(9) 姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):,密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線,,情形1.1.A=0.此時(shí)m=2,λ1=α,λ2=-α,C1=eiβ,C2=-e-iβ.由(9),eiα=e-iα,進(jìn)而eiβ=e-iβ.即,為整數(shù).情形1.2.A0.此時(shí)m=3,λ1=α,λ2=-α,λ3=0,C1=eiβ,C2=-e-iβ,C3=-2iA.由(9),此時(shí),必有eiα=e-iα=1,進(jìn)而eiβ-e-iβ-2iA=0.即為偶數(shù),且A=sinβ.易見上述條件也是充分的.總之,本小題條件成立的充要條件是:存在整數(shù)k,j使得2.條件(2)化為iβ1einα1-e-iβ1e-inα1+eiβ2einα2-e-iβ2e-inα2)=0.此時(shí)m=4,λ1=α1,λ2=-α1,λ3=α2,λ4=-α3,C1=eiβ1,C2=-e-iβ1,C3=eiβ2,C4=-e-iβ2.于是由(9),它們必然可以分為兩對,每一對有相同的值(不排除四個(gè)值均相同).情形2.1.eiλ1=eiλ2=eiλ3=eiλ4.這等價(jià)于,均為整數(shù),且有相同的奇偶性.進(jìn)一步,C1+C2+C3+C4=0,而這等價(jià)于sinβ1+sinβ2=0,等價(jià)于是奇數(shù).情形2.eiλ1=eiλ2eiλ3=eiλ4.這等價(jià)于,均為整數(shù),但有不同的奇偶性.進(jìn)一步,C1+C2=C3+C4=0,而這等價(jià)于,是奇數(shù).情形3.eiλ1=eiλ3eiλ2=eiλ4.這等價(jià)于為偶數(shù),但不是整數(shù).進(jìn)一步,C1+C3=C2+C4=0,而這等價(jià)于是奇數(shù).情形4.eiλ1=eiλ4eiλ2=eiλ3.這等價(jià)于為偶數(shù),但不是整數(shù).進(jìn)一步,C1+C4=C2+C3=0,而這等價(jià)于是奇數(shù).易見上述條件也是充分的.總之,本小題條件成立的充要條件是:存在整數(shù)k,j,p,q,使得以下四者之一成立以上條件可以歸并為:存在整數(shù)k,j,p,q,以及ε±1使得以下二者之一成立姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):得分評閱人,六、(本題15分)設(shè)g為R上恒正的連續(xù)函數(shù),對于正整數(shù)n以及x姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考場號:座位號:專業(yè):得分評閱人,證明:1.方程(1)有定義在整個(gè)R上的解(稱為全局解);2.若