第2課時回歸分析及非線性回歸模型

1.了解殘差、殘差圖的概念.(數(shù)學抽象)

學習2.會通過分析殘差和利用"判斷1可歸模型的擬合效果.(數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分圻)

任務3.r解非線性回歸模型，掌握對數(shù)函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和基函數(shù)模型的求

解過程.(數(shù)學運算、數(shù)學建模)

必備知識-情境導學探新知

情境與問題

設某幼苗從觀察之日起，第X天的高度為ycm,測得的一些數(shù)據(jù)如表所示:

你能求出這個函數(shù)模型嗎？

知識點1殘差及殘差圖

(D對于響應變量匕通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值.通過經(jīng)驗回歸方程得到的?稱為預測

值，觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結(jié)果.通過對殘差的分析可以判斷

模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等.

(2)作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或解釋變量的觀測值等，這樣作出的

圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型

比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越空，說明模型擬合精度越高.

(3)殘差分析：殘差是隨機誤差的估計結(jié)果,通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效

果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

知識點2對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析

(1)殘差圖法:在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi),

則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系.

(2)殘差平方和法：殘差平方和2(%-》)2越小，模型的擬合效果越好.

1=1

軸4)2

(3)決定系數(shù)〃法：可以用〃=1――----------來比較兩個模型的擬合效果，〃越小,

斗兀-萬

模型擬合效果越差，下越大，模型擬合效果越好.

:思考上決定系數(shù)"的取值范圍是什么？

〔提小〕OW〃W1.

知識點3非線性回歸方程

(1)非線性回歸分析的思想

研究兩個變量的關系時，依據(jù)樣本點畫出散點圖，從整體上看，如果樣本點沒有分布在某個

帶狀區(qū)域內(nèi)，就稱這兩個變量之間不具有線性相關關系，此時不能直接利用經(jīng)驗回歸方程來

建立兩個變量之間的關系.

(2)非線性經(jīng)驗回歸方程

當回歸方程不是形如夕=放+式(心5wR)時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程.當兩個變量不呈

線性相關關系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來擬合數(shù)據(jù)，可通過變量代換，利

用線性回歸模型建立兩個變量間的非線性經(jīng)驗回歸方程.

?課審自主他驗。

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯誤的畫“X”)

(1)殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好.()

(2)在畫兩個變量的散點圖時，響應變量在x軸上，解釋變量在y軸上.()

(3)川越小,線性回歸模型的擬合效果越好.()

(4)在殘差圖中，縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號.()

[答案](1)J(2)X(3)X(4)V

2.在兩個變量y與A■的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的決定系數(shù)〃如下，

其中擬合效果最好的模型是()

A,模型1的決定系數(shù)〃為0.98

B.模型2的決定系數(shù)々為0.80

C.模型3的決定系數(shù)"'為0.50

D.模型4的決定系數(shù)〃為0.25

A[〃越大擬合效果越好.]

3.從某省“雙一流”大學中隨機選出8名女大學生，得到其身高x(單位：cm)與體重y(單

位：kg)的數(shù)據(jù)如下表:

X165165157170175165155170

y4857505464614359

若已知y與x的經(jīng)驗回歸方程為9=0.85%—85.71,則選取的女大學生身高為175cm時，相

應的殘差為_______kg.

0.96［當x=175cm時，y=0.85X175-85.71=63.04(kg),

???相應的殘差。=64—63.04=0.96(kg).］

關鍵能力.合作探究釋疑難F疑睢問題解。?學科—

□類型1殘差與殘差分析

【例1】(1)對變量X.y進行回歸分析時.依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖.

則下列模型擬合精度最高的是()

殘差I殘差

0.80.8

Q.6

1■【閩間胤猊血間生如機颯儂幺閩向M。；刑荔號

AB

CD

(2)已知一系列樣本點(X,//)(2=1,2,3,-?力的經(jīng)驗回歸方程為9=2x+6,若樣本點

(八1)與(1,s)的殘差相司，則有()

A.r=sB.s=2r

C.s=-2r+3I).s=2r+l

(DA(2)CKl)用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,

說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高.

(2)樣本點(r,1)的殘差為1一2「一匾

樣本點(1,s)的殘差為s—4—2.

依題意得l-2r-6=s—6—2,

故s=-2_r+3.］

反思領悟⑴殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適?這樣

的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經(jīng)驗問歸方程的預報精度越高.

(2)殘差是隨機誤差的估計值，@,=九一％.

［跟進訓練］

1.兩個線性相關變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:

X99.51010.511

yii10865

其經(jīng)驗回歸方程是？=5X+40,則相對應于點（11,5）的殘差為（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

B[由于9=RY+40過樣本中心點（10,8）,

所以8=10正+40,則片=一3.2,

因此夕=-3.2x+40.

當*=11時,夕=-3.2X11+40=4.8,

所以殘差。=5一夕=5—4.8=0.2.]

2.已知某成對樣本數(shù)據(jù)的賤差圖如圖，則樣本點數(shù)據(jù)中可能不準確的是從左到右第

個.

6[原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對值過大的那個數(shù)據(jù)，即偏離平衡位置過大.]

II類型2殘差平方和與決定系數(shù)川

【例2】已知某種商品的價格雙單位：元）與需求量近單位：件）之間的關系有如下一組

數(shù)據(jù):

X1416182022

y1210753

（D求，關于x的經(jīng)瞼回歸方程：

（2）借助殘差平方和與〃說明回歸模型擬合效果的好壞.

［解］(l)x=1x(14+16+18+20+22)=18,y=1x(12+10+7+5+3)=7.4,

5

所以5=R-620-5x18x7.4,,_

---------------r=-1.15

1660-5X182

￡

i=l

a=7.4I1.15X18=28.1,

所以所求經(jīng)驗回歸方程是夕=-1.15x+28.1.

（2）列出殘差表為

yi-y>00.3-0.4-0.10.2

y>~y4.62.6-0.4-2.4-4.4

所以W(%一%)2=0.3,且W(%~y)2=53.2,

i=li=l

5°

R~=1------------=0.994,

w-萬

所以回歸模型的擬合效果很好.

反思領悟刻畫回歸效果的三種方法

(1)殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適.

(2)殘差平方和法：殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.

1=1

軸4)2

(3)決定系數(shù)4法：*=1------------越接近I，表明模型的擬合效果越好.

I=1

［跟進訓練］

3.為研尢質(zhì)量M單位：g)對彈簧長度y(單位:C而的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進行測

量，數(shù)據(jù)如表所示：

X51015202530

y7.258.128.959.9010.911.8

(1)作出散點圖并求經(jīng)驗回歸方程；

(2)求出川并說明回歸模型擬合的程度;

(3)進行殘差分析.

［解］(1)散點圖如圖所示.

樣本點分布在一條直線附近，y與x具有線性相關關系.

由表中數(shù)據(jù)，得元=*X(5+10+15+20+25+30)=17.5,

6

y=-X(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)=9.487,

6

W療=2275,2勺%=1076.2.

i=li=l

計算得0183,626.285.

故所求經(jīng)驗回歸方程為夕=6.285+0.183%.

(2)列表如下:

yi—yi0.050.005-0.08-0.0450.040.025

y>—y-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313

可得一%)2X001318，一刃2X14.6783.

i=li=l

所以〃=1一鬻言心09991,回歸模型的擬合效果較好.

T4.67B3

(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需耍確認在采集這個數(shù)據(jù)的時

候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看

出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸

模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關系.

D類型3非線性回歸分析

【例3】為了研究某種細菌隨時間x變化，繁殖的個數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如表所示：

天數(shù)V天123456

繁殖個數(shù)W個612254995190

(1)用天數(shù)作解釋變量，繁殖個數(shù)作響應變量，作出這曲數(shù)據(jù)的散點圖，根據(jù)散點圖判斷：y

=4+6%與y=sec”哪一個作為繁殖的個數(shù)y關于時間AT變化的回歸方程類型為最佳？(給

出判斷即可，不必說明理由)

666

W(N_±)2^(內(nèi)一幻，(%一9)W(/i一君，(為一力

XyZ

i=ii=li=l

3.562.833.5317.5596.50512.04

6

其中z..=lny..,2=工,4.

i=l

(2)根據(jù)(1)的判斷最佳結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程.

t(x-x)(y-y)

參考公式小J-----------X.

S(X-X)2

i=i*

［解］(D作出散點圖，如圖1所示.

1繁殖個數(shù)/個

200.

150

100?

50??

1??1?

0246'8天M天

圖1

由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)j，=oec。的周圍，于是選擇/=°疊".

(2)令z=lny,則

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

相應的散點圖如圖2.

繁殖個數(shù)的對數(shù)

6

5

4

3

2

1

02~^一’62天曲天

圖2

從圖2可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗回歸方程來擬合.

6

y（x.-x）（z.-z）

由b二三一------:——-0.69,

Z（x.-%）2

1=1

a=z—bx=1.115,得2=0.69x+1.115,

則有尸e0—.

［母題探究］

（變設問）在本例條件不變的情況下，試估計第7天細菌繁殖個數(shù).

015

［解］Vy=e^",

???當x=7時，夕比382（個）,

即第7天細菌繁殖個數(shù)約為382個.

反思領悟解決非線性回歸問題的方法及步驟

（1）確定變量：確定解釋變量為x,響應變量為匕

（2）畫散點圖：通過觀察散點圖并與學過的函數(shù)（幕、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)）作比較,

選取擬合效果好的函數(shù)模型.

（3）變量置換：通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題.

（4）分析擬合效果：通過計算決定系數(shù)等來判斷擬合效果.

（5）寫出非線性回歸方程.

提醒：當數(shù)據(jù)量較大時，可采用計算器或者數(shù)學軟件來求回歸方程.

［跟進訓練］

4.（源自湘教版教材）實驗中獲得了某化學品的化學反應時間和轉(zhuǎn)化率的數(shù)據(jù)如表，試建立

轉(zhuǎn)化率y關于反應時間x的回歸方程（結(jié)果保留三位小數(shù)）.

時間6080100120140150160170

020406080100120140160180時間/min

圖1

觀察散點圖可知，樣本點并沒有分布在某條直線附近，因而變量y與x之間沒有明顯的線性

相關關系，所以不能直接利用線性回歸模型來刻畫這兩人變量之間的關系.根據(jù)已有的數(shù)學

知識，可以認為樣本點分布在指數(shù)曲線7=。/。的附近，其中。和Q是待定參數(shù).

為估計參數(shù)和Q,在尸cIeE的兩端取對數(shù)，得到Iny=InC\+oix.

再令z=lny,a=ln°,b=c2,則得到直線方程z="+a.

050100150200x

圖2

從圖2中可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線的附近，說明z和x之間具有線性相關

關系，因此可以用線性PI歸方程來擬合.對上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可得線性回歸方程

為2=0.019x+0.686.

再利用y=ez可得到轉(zhuǎn)化率y關于反應時間x的非線性回歸方程為夕=

e—?卻熾=1.986并叫

學習效果,課堂評估夯基礎F課堂如識檢測?小結(jié)問題點評

I.下面四個殘差圖中，可以滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是（）

A［由殘差圖顯示的分布情況即可看出，圖A顯示的殘差分布比較集中，且成帶狀分布，滿

足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定.］

2.下列說法錯誤的是（）

A.殘差點分布的帶狀區(qū)域越窄，回歸方程的擬合效果越好

B.殘差平方和越小，決定系數(shù)#‘越大

C.決定系數(shù)"可以大于1

D.通過經(jīng)驗回歸方程得到的預報值是響應變量的可能取值的平均值，不一定是響應變量的

精確值

C［由川的計算公式，知B正確，C錯誤；A,D均正確.］

3.甲、乙、丙、丁四位同學各自對48兩變量的線性相關性作試驗，并用回歸分析的方法

分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和/〃如表：

甲乙丙T

r0.X20.7Rfl.690.R5

m106115124103

則同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)了48兩變量更強的線性相關性.

「［由題表可知，丁同學的相關系數(shù)，?最大且殘差平方和m最小，故丁同學的試驗結(jié)果體

現(xiàn)了力，8兩變量更強的線性相關性.］

4.在研究兩個變量的相關關系時:觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條曲線的周

圍，令z=ln八求得經(jīng)驗回歸方程為2=0.25%-2,58,則一亥模型的經(jīng)驗回歸方程為.

9=e。-58］由￡=O.25%—2.58得In夕=0.25%—2.58,所以夕嗎」

小

回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：

1.對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析有哪些常見方法？

［提示］殘差圖法，殘差平方和法和〃法.

2.決定系數(shù)1與相關系數(shù)r一樣嗎？

［提示］在含有一個解釋變量的線性回歸模型中，決定系數(shù)川恰好等于相關系數(shù)，?的平

方.在線性回歸模型中有0W/W1,因此川和兩個變量的相關系數(shù)r都能刻畫用線性回歸

模型擬合數(shù)據(jù)的效果.r越大，〃就越大，線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好.

I________________________________________.

課時分層作業(yè)（二十一）I可歸分析及非線性回歸模型

[A組基礎合格練]

一、選擇題

i.下列四個殘差圖中回歸模型的擬合效果最好的是（）

CD

B[B選項顯示的殘差分布比較集中，且成窄帶狀分布，滿足一元線性回歸模型中對隨機誤

差的假定.]

2.甲、乙、丙、丁四位同學各自對48兩變量做回歸分析，分別得到散點圖與

n

殘差平方和2（%一%）2如表:

i=i

甲乙丙T

H?Bli

散點圖■?

■?

?*■??___,??

a

0101AAaA

殘差平方

115106124103

和

試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合力，5兩變量關系的模型擬合精度高的同學是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

D[殘差平方和越小，擬合效果越好.]

3.若對于變量筋y的1C組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的回歸模型中，計算得『=0.95,又知殘

10

差平方和為120.55,那么2（%-刃2的值為（）

i=i

A.241.1R.245.1

C.2411D.2451

C［由題意知殘差平方和

10

W(%-￡)2=120.55,

i=l

io，

斗…)

又|=1-七----------=0.95,

斗兀

I=1'

10

所以乏3一/2=2411.］

i=l

4.若一函數(shù)模型為夕=$皿2a+2sin。+1,為將y轉(zhuǎn)化為1的線性經(jīng)驗回歸方程，則需作

變換［等于()

A.sin2aB.(sinc7+1)2

C.sii?a+lD.以上都不對

B［因為y是關于￡的線性經(jīng)驗回歸方程，實際上即尸是關于t的一次函數(shù)，又因為"一(sin

。+1)2,若令￡=(sin。+1)2,則可得y與［的函數(shù)關系式為y=3此時變量y與變量七

是線性相關關系.］

5.某同學將收集到的六組數(shù)據(jù)(必，/>)(；=1,2,3,4：5,6)制成如圖所示的散點圖，并

通過計算得到其經(jīng)驗回歸直線人的方程為尸0.68x+6,其樣本相關系數(shù)為打，決定系數(shù)為

/??.經(jīng)過殘差分析確定點尸為“離群點”(對應殘差過大的點)，把它去掉后，再利用剩下

的五組數(shù)據(jù)計算得到其經(jīng)驗回歸直線人的方程為9=6'-0.68,其樣本相關系數(shù)為a決定

系數(shù)為段.則以下結(jié)論中不正確的是()

y

?尸(6,5)

°(4,2.5),皿5,2.8)

?C(3,2.1)

.'BQ.1.5)

4(1,1.1)

~Ox

A.>0?r2>0B.R1>Rj

C.8=0.12D.0不<0.68

B［由題圖可知兩變量正線性相關，故人>0,n>0,且水人故儲〈布，故A中結(jié)論正確，

B中結(jié)論不正確.經(jīng)計算可得，在去除點前，x=3.5,y=2.5,去除點產(chǎn)后,x=3,y

=2.又經(jīng)驗回歸直線，1：9=0.68%+6必經(jīng)過點(3.5,2.5),所以6=2.5—0.68X3.5=

0.12,故C中結(jié)論正確.經(jīng)驗回歸直線%夕=版+0.68必經(jīng)過點(3,2),所以2=6X3+

0.68,所以5=0.44,故D中結(jié)論正確.故選B.］

二、填空題

6.已知經(jīng)驗回歸方程夕=2>+1,而試驗得到一組數(shù)據(jù)是(2,4.9),(3,7.1),(4,9.1),

則殘差平方和是.

0.03［因為殘差篦=%一%,所以殘差平方和為(4.9—5)'+(7.1—7)*+(9.1—9)'=0.03.］

7.已知具有相關關系的兩個隨機變量的一組觀測數(shù)據(jù)的散點圖分布在函數(shù)尸3小”的圖象

附近，設〃=lny,則可通過轉(zhuǎn)換得到經(jīng)驗回歸方程.

w=l+ln3+2x［由y=3/I得In/=ln(3e2x+1),即iny=ln3+2x+l.

則經(jīng)驗回歸方程為〃=l+ln3+2x.1

8.(2023?河南鄭州期末)2022年9月1日至23日(日期代碼分別為1,2,23),某餐

館在區(qū)域.”內(nèi)投放廣告單數(shù)量以萬張)與日期代碼x的數(shù)據(jù)滿足回歸方程夕=0。38+以，則6=

(精確到小數(shù)點后兩位).

參考數(shù)據(jù)：71/273.....國=€猊1x=12.

0.29［對夕=e038+5x的兩邊取自然對數(shù)，得［門j)=6x-().38,所以Iny與*具有線性相

關關系.

因為In(y必必....現(xiàn)3)=lneS97=89.7,

所以|"1+1"2+g為+~+1”23-3%

所以3.9=3+0.38,所以29.故答案為0.29.］

三、解答題

9.已知x與y之間的數(shù)據(jù)如表:

X23456

y2.23.85.56.57.0

(1)求y關于x的經(jīng)驗回歸方程；

(2)完成下面的殘差表，并判斷(1)中線性回歸模型的擬合效果是否良好.(若/>0.9,則認

為回歸模型擬合效果良好)

X23456

y>-y>

2久北-nxy

1

Zx2-nx

-1I

-孕XT)

a=y—bx,1=1-------------

t/r-y)2

t=1

5

2(為一夕,)2=0.651.

i=l

［解］(1)由題中表格數(shù)據(jù)可得元=4,9=5,

5

xf=90,W芍％=112.3,

Zi=li=l

則8=1寸會？5=].23,a=y-bx=O.08,

90-SX42J

故夕=1.23x+0.08.

(2)設加=%一％,所以加=一0.34,62=0.03,e3=0.5,a=0.27,e5=-0.46,則殘差表

如表所示，

X23456

匕一%-0.340.030.50.27-0.46

因為W(為一?)2

i=l

=(2.2-5)2+(3.8—5尸+(5.5—5y+(6.5—5尸+(7-5)2=15.78,

所以片=1^0.96XL9,

15.78

所以該線性回歸模型的擬合效果良好.

［B組能力過關練］

10.以模型卜=比公去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設z=lny,將其變換后

得到經(jīng)驗回歸方程z=0.2x+3,則c,4的值分別是()

A.e2,0.6B.e2,0.3

C.e*0.2D.el0.6

C［因為尸ce知

所以等式兩邊同時取對數(shù)可得Iny=ln(ce*1)=lnc+lne*=Ax+lnc.

因為z=lny,所以上式可化為z=4x+lnc.

因為z=0.2x+3,則衣=D.2,Inc=3,

所以c=e\A=0.2.］

II.某種產(chǎn)品的廣告支出費用x(單位：萬元)與銷售量y(單位：萬件)之間的對應數(shù)據(jù)如表

所示：

廣告支出費用X2.22.64.05.35.9

銷售量y3.85.47.011.612.2

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程9=2.27x—1.08,^0.96,以下說法正確的是()

A.第三個樣本點對應的殘差—回歸模型的擬合效果一般

B.第三個樣本點對應的殘差曲=1,回歸模型的擬合效果較好

C.銷售量y的多少有96%是由廣告支出費用引起的

D.銷售量y的多少有4%是由廣告支出費用引起的

C［由題意得缶=7—（2.27X4—1.08）=-1,

由于#0.96,所以該回歸模型擬合的效果比較好，故A,B錯誤：

在線性回歸模型中，尸表示解釋變顯對于響應變量的貢獻率，^0.96,

則銷售量y的多少有96%是由廣告支出費用引起的，C正確，D錯誤.］

12.已知變量y關于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為?=/“。-5,其一組數(shù)據(jù)如表所示:

X1234

3t6

ypAeP

若x=5,則預測y的值可能為（）

A.e’B.e~2C.e'D.eT

D［將式子兩邊取對數(shù)，得到Iny=6x—0.5,

令￡=ln%得到E=5AT—0.到

列出筋。的取值對應的表格如下:

X1234

乞1346

1+2+3+40e—1+3+4+6C<-

則無=------=2.5z=------=3.5

V(%,力滿足￡=5尸0.5,

A3.5=bX2.5-0.5,解得5=1.6,

Az=1.6x-0.5,，尸產(chǎn)吃

當＞=5時，?=產(chǎn)川=潑.］

13.某機構(gòu)統(tǒng)計了某市5個地區(qū)的外來務工人員數(shù)與他們選擇留在當?shù)剡^年的人數(shù)占比，得

到如下的表格：

地區(qū)A區(qū)6區(qū)。區(qū)〃區(qū)￡區(qū)

外來務工人員數(shù)5()0040003500300()2500

留在當?shù)剡^年的人數(shù)占比80%90%80%80%84%

根據(jù)這5個地區(qū)的數(shù)據(jù)求得留在當?shù)剡^年人員數(shù)y與外來務工人員數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程為夕

=0.8135x+6.該市對外來務工人員中選擇留在當?shù)剡^年的人員每人補貼1000元，該市

尸區(qū)有10000名外來務工人員，根據(jù)經(jīng)驗回歸方程估計尸區(qū)需要給外來務工人員中選擇留

在當?shù)剡^年的人員的補貼總額為萬元.（參考數(shù)據(jù)：0.8135X36^29.29）

818,6［由題意得，￡=5°°°+4000+35。。+3。。。+25。。=360°,

5

一5000x0.8+4000x0.9+3500x0.8+3000x0.8+2500x0.84八八。八

y=------------------------------------------=298（）,

因為經(jīng)驗回歸直線一定過樣本的中心點（后切，

所以2980=0.8135X3600+6,解得6k51,即夕=C.8135x+51.

當>=1（）000時，夕=0.8135X10000+51=8186,

所以估計補貼總額為8186X0.1=818.6（萬元）.]

14.耐鹽堿水稻俗稱“海水稻”，是一種可以長在灘涂和鹽堿地的水稻.海水稻的灌溉是將

海水稀釋后進行灌溉.某試驗基地為了研究海水濃度近％。）對畝產(chǎn)量y（噸）的影響，通過在

試驗田的種植實驗，測得了某種海水稻的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如表.繪制散點圖發(fā)現(xiàn)，

可用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量y與海水濃度x之間的相關關系，用最小二乘法計算得y與x

之間的經(jīng)驗回歸方程為y=5x+0.88.

海水濃度xj%。34567

畝產(chǎn)量%/噸0.620.580.490.40.31

殘差擊

（1）求5,并估計當澆灌海水濃度為8%。時該品種的畝產(chǎn)量；

（2）①完成上述殘差表；

②統(tǒng)計學中常用決定系數(shù)戶來刻畫回歸效果，"越大，模型擬合效果越好，如假設^=0.8,

就說明預報變量y的差異有80爺是由解程變量x引起的.請計算決定系數(shù)"（精確到0.01）,

并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由海水濃度引起的？

附：殘差公式篦=六一%,

￡(兀可)2

決定系數(shù)/r=1--------------------

t/y-y)2

1=1

［解］(D經(jīng)計算,x=5,y=0.48,

由0.48=55+0.88可得,6=-0.08,

當x=8時，y=-0.08X8+0.88=0.24,所以當澆灌海水濃度為8%。時，該品種的畝產(chǎn)量

約為Q24噸.

⑵①由⑴知夕=一。08升088,從而有

海水濃度尤（％。）34567

畝產(chǎn)量力（噸）0.620.580.490.40.31

殘差自一0.02