2024北京重點(diǎn)校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

導(dǎo)數(shù)（人教B版）

一、單選題

1.（2024北京海淀高二下期末）已知函數(shù)=4，則/'（0）的值為（）

cos%

A.0B.1C.-1D.兀

2.（2024北京海淀高二下期末）下列函數(shù)中，在區(qū)間卜1,0］上的平均變化率最大的時(shí)（）

A.y=x2B.y-x3

函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，貝U（）

A.f'(D>f'(3)

B.八1)=八3)

C.廣⑴寸⑶

D./,(l)+/,(3)>0

4.(2024北京通州高二下期末)設(shè)函數(shù)“X）為定義在R上的奇函數(shù)，若曲線y=〃x）在點(diǎn)（2,4）處的切

線的斜率為10,則八—2）+〃—2）=（）

A.-16B.-6C.6D.16

5.（2024北京豐臺高二下期末）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.（2d—3工2+5）=6/-6尤B.（cos2x）'=-sin2x

D.(xe')'=(x+l)e，

6.（2024北京懷柔高二下期末）已知函數(shù)y=/（元）的圖象如圖所示，則下列各式中正確的是（）

A.r(l)>/(3)-/(2)>r(3)B./,(3)>/,(1)>/(3)-/(2)

C.八3）＞/（3）-/（2）＞八1）D.，'（1）＞八3）＞/（3）-/（2）

7.（2024北京順義高二下期末）下列函數(shù)中，圖象不存在與x軸平行的切線的是（）

A.y=-x3-1B.y=4xC.y=sinxD.y=cosx

8.（2024北京懷柔高二下期末）設(shè)函數(shù)/（x）='+x2e"T,曲線y=/（尤）在點(diǎn)（1"⑴）處的切線方程為

X

y=2e,貝！力值分別為（）

A.a=e,b=1B.a=2,b=eC.a=l,b=1D.a=l,b=e

9.（2024北京懷柔高二下期末）已知函數(shù)f（x）=sinx+l,則廣中的值為（）

A.--B.—C.-D.B

2222

10.（2024北京延慶高二下期末）函數(shù)y=2*在x=l處的導(dǎo)數(shù)值為（）

A.2In2B.—

In2

C.1D.2

11.（2024北京延慶高二下期末）曲線y=cos九在％=。處的切線方程為（）

A.y=0B.y=-l

C.>=%D.y=i

12.（2024北京延慶高二下期末）函數(shù)y=d+2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為（）

A.3B.5

C.7D.9

13.（2024北京西城高二下期末）設(shè)函數(shù)"x）=sinx的導(dǎo)函數(shù)為g（x）,則g（x）為（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

14.（2024北京西城高二下期末）設(shè)函數(shù)〃x）=lnx的導(dǎo)函數(shù)為/⑺，則（）

A./（3）＜/（2）＜/（3）-/（2）B.尸⑶＜〃3）—〃2）＜廣⑵

c.r（2）＜/（3）＜/（3）-/（2）D._f⑵＜/（3）-”2）＜1（3）

二、填空題

15.（2024北京海淀高二下期末）平面曲線的曲率就是針對曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表

明曲線偏離直線的程度.曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度.如：圓越小，曲率越

|/|

大，圓越大，曲率越小.定義函數(shù)y=/（x）的曲率函數(shù)小"-------2（其中y'是“X）的導(dǎo)數(shù)，y〃是y'

[1+（/）2]2

的導(dǎo)數(shù)），函數(shù)y=/（x）在X=r處的曲率半徑為此處曲率左（。的倒數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)y=cosx在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處的曲率為1；

②函數(shù)y=＞/4-X2（-2＜X＜2）的曲率恒為1；

③函數(shù)y=e，的曲率半徑隨著x變大而變大;

④若函數(shù)y=lnx在x=%與x=L(，戶與)處的曲率半徑相同，則桃＜；?

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

16.(2024北京房山高二下期末)若/(尤)=五，則/'(4)=—.

17.(2024北京石景山高二下期末)已知函數(shù)/(x)=o?的導(dǎo)函數(shù)為尸(x)=3/,則。+匕=,過點(diǎn)

(1,1)且與曲線V=f(x)相切的直線方程為.

18.(2024北京延慶高二下期末)已知函數(shù)Kx)=log"(。＞0且存1),了⑴為/W的導(dǎo)函數(shù)，且滿足

r⑴=i,貝s.

三、解答題

19.(2024北京延慶高二下期末)求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(l)/(x)=x2-ex；

(2)/W=^,

sin%

⑶〃x)=

1+cosx

(4)/(x)=ln(l-2x).

四、新添加的題型

20.(2024北京石景山高二下期末)函數(shù)〃x)=x+alnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線＞=-;x垂直，則”

()

A.1B.2C.-1D.-2

參考答案

1.B

【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后將％=0代入導(dǎo)函數(shù)中計(jì)算即可.

【詳解】由/(X)=2,得.(尤)=cos?X\sin2x=,

COSXcosXcosX

所以r(o)=」T=i.

cos0

故選：B

2.B

【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算即可比較大小求解.

0-1

【詳解】對于A,>=尤2在［-1,0］上的平均變化率為7^^=-1,

u一(一1)

對于B,y=V在上的平均變化率為肥U=l，

U一(T)

對于C,y=f在［-1,0］上的平均變化率為1-(2)'=T,

⑵0-(-1)

1_2T1

對于D,>=2*在［-1,()］上的平均變化率為^=7，

7(J?-(―1T)2

故y=二在卜1,o］上的平均變化率最大，

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可

【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)的切線斜率，

在1處的切線斜率小于在3處的切線斜率，

所以/'(1)</'(3),A,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又因?yàn)?'。)</'(3)<0,所以_f(l)+r(3)<0,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

4.C

【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)求出產(chǎn)(-2),再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出/'(-2)即可.

【詳解】由函數(shù)〃尤)為定義在R上的奇函數(shù)，得/(f)=-/(x),貝i|f(-2)=-f(2)=-4,

兩邊求導(dǎo)得一/'(T)=-/'(x),即/'(r)=/'(x),而/'(2)=10,則/'(-2)=八2)=10,

所以/(—2)+〃—2)=6.

故選：C

5.B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則判斷.

【詳解】A,^2x3-3x2+5)=6x2—6x,正確;

B,(cos2x)=-2sin2無，錯(cuò)誤；

D,(xe“)=e*+xe'=(x+l)e，，正確.

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象判斷即可.

【詳解】設(shè)B(3,/(3)),C(2,/(2)),

貝|/(1)表示函數(shù)在點(diǎn)A(l"⑴)處的切線4的斜率，

則廣⑶表示函數(shù)在點(diǎn)2(3,”3))處的切線4的斜率，

“3)-"2)="3)一”2)表示網(wǎng)工”3)),C(2,”2))兩點(diǎn)連線的斜率，

3—2

又/(%)在［1,3］上單調(diào)遞增，且增長趨勢越來越快，

則函數(shù)在點(diǎn)A0"⑴)、8(3"(3))的切線與過8、C的直線的草圖如下所示:

由圖可知勺＞\＞儲所以八3)＞/(3)-/(2)＞/'(1).

【分析】圖象不存在與x軸平行的切線，即/'。)=。無解，據(jù)此對選項(xiàng)逐一分析即可.

【詳解】圖象不存在與x軸平行的切線，即/'(彳)=。無解，

對A：y=-x3-1,貝!|9=-3》2=0,得x=0,

故＞=-尤3_i圖象在x=。處的切線與x軸平行，故A錯(cuò)誤；

對B：,=?=￡,則=2=赤=0無解，

故y=4不存在與X軸平行的切線，故B正確；

兀

對C：y=sinxf貝(Jy'=cosx=0,x=—+kn{keZ),

TT

故丫=5缶％圖象在尤=3+配(％€2)處的切線與彳軸平行，故C錯(cuò)誤；

對D：y=cosx,則y'=_sinx=0,x=kn(keZ),

故＞=3》圖象在x=E(AeZ)處的切線與x軸平行，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

8.B

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可得(⑴=0,得到關(guān)于。涉的方程，再由/⑴=2e得到關(guān)于a,b的方程,

解方程組可得結(jié)果.

【詳解】由〃x)=2+Ye"T,得:。)=一W+2xe--x2e"T,

xx

因?yàn)榍€y=〃x)在點(diǎn)(1"(1))處的切線方程為y=2e,

所以/-(I)=-b+2e"T-ea-'=-b+e^1=0,f(l)=b+e^1=2e,

解得a=2,b=e.

故選：B

9.B

TT

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，將尤=2代入導(dǎo)函數(shù)中計(jì)算即可.

【詳解】由/(x)=sinx+l,得/(x)=cosx,

所以喑卜喏！

故選：B

10.A

【分析】對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，再將x=l代入導(dǎo)函數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ?=2，，

所以/(x)=2'ln2,

所以廣⑴=21n2.

故選：A.

11.D

【分析】求導(dǎo)，進(jìn)而可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，即可得方程.

【詳解】因?yàn)閥=COSX,則y'=-sinx,

若X=O,則y=l,y=o,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),切線斜率左=0,所以切線方程為y=L

故選：D.

12.C

【分析】利用平均變化率的公式即可求解.

…到、Ay23+2-(13+2)”

【詳解】—=------------=7.

Ax2-1

故選：C.

13.B

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)判斷奇偶性.

【詳解】由題意可知，g(x)=/'(x)=cosx,是偶函數(shù).

故選：B

14.B

【分析】根據(jù)函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】因?yàn)?x)=hu"'(x)=J,所以-0⑵，

因?yàn)閘n2Ve>In3oIn2+lnVe=ln2+—>ln3,則—>ln3-ln2,

22

則/⑵>〃3)-"2)

又因?yàn)?7>8e,3>2冊,所以In3>ln2%，

即得ln3>ln2+ln呢=ln2+L

3

所以ln3-ln2>g,

可得了'(3)<〃3)-/(2),

所以/'⑶<〃3)-〃2)</'⑵.

故選：B.

15.①②④

【分析】根據(jù)給定的定義，求出各個(gè)命題中的y,y",由Mx)=i有無數(shù)個(gè)解判斷①；計(jì)算以X)判斷②；利

用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)上單調(diào)性判斷③；由=f有兩個(gè)不等正根，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合極值點(diǎn)偏移推理判斷④.

|cosX|

【詳解】對于①，y=-sinx,/=-cosx,貝I當(dāng)X=冏￡Z時(shí)，k(X)=1,

(1+sin2x)2

因此函數(shù)y=cosx在無數(shù)個(gè)點(diǎn)處的曲率為i,①正確;

22

x8

對于②,則口+(y')2]2=[l+(—k{x}=,②正

(d

確;

3

對于③，y=e\/=e\則函數(shù).v=e*的曲率半徑1=(1+小/=2、3?3c?，1，

k(x)ex

7

令g(x)=e-2x+3+3e2x+e4\求導(dǎo)得gr(x)=—2e0+6e2x+4e4x=彳(2e6x+3e4x-l),

e

由g'(x)=。，得尤=—In2,當(dāng)x<—In2時(shí)，g'(x)<。，

22

則函數(shù)g(x)在(-oo,-1In2)上單調(diào)遞減，函數(shù)不二=71由在(-co,-《In2)上單調(diào)遞減，③錯(cuò)誤;

2k{x}2

II1(1+W

對于④，/=則函數(shù)y=lnx的曲率半徑大=^——L,尤>0,

xk{x}x

11令h{x}=(1+-r)3,x>0,則方程h{x}=t有兩個(gè)不等正根"

依題意,而=而'

x

6尤2(1+尤2)2_(1+無2)3(1+。)2(5尤2_])

即直線y=f與函數(shù)y=h(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，//(尤)=

11

當(dāng)0<x<—j=時(shí)，h\x)<0,當(dāng)x>-j=時(shí)，/(x)>0,

函數(shù)Kx)在(0,上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為［〃(})，+00)，

在［［，+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為火］)，+8)，

1

因此當(dāng)?>時(shí)，方程〃(x)=f有兩個(gè)不等正根"不妨令。<乙<

令函數(shù)夕⑴=g)一￡),0<x<=,求導(dǎo)得微X)=1⑴+止〃(白

121

0+^^)(彳-1)312590+5625^8—1250元6一250%4+45%2+1

(1+X2)2(5X2-1)1

+

57,1625x6

25x2

>0’

625x6

函數(shù)0(x)在(0,忑0上單調(diào)遞增，0(x)<=0,gph(x)</z(—),

5x

令％=則帕2)=/%)</(■),L>［，(">［，又函數(shù)人(%)在(\，+8)上單調(diào)遞增,

因此，2<(，

即/也<w<5，④正確,

所以所有正確結(jié)論的序號是①②④.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的

零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：

①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；

②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；

③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

16.-/0.25

4

【分析】求導(dǎo)代入尤=4計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由y(x)=?可得/(幻=會，

"擊弓

故答案為：\

4

17.43x-y-2=0,3x-4y+l=0

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求解。力，設(shè)切點(diǎn)，求斜率，寫切線方程，即可求解直線方程.

【詳解1/(X)=axb的導(dǎo)數(shù)為r(x)=abx-=f\x)=3x2,

[ab=3[a=l,

,c，解得，。，故a+6=4,即/(無)=尤3；

[b-3

設(shè)過點(diǎn)(1,1)且與曲線y=/(x)相切，切點(diǎn)為(%,%),且/(%)=%3,

故切線斜率為廣(無o)=3x02,即切線方程為y-%=3x°2(x-x。),

切線方程過點(diǎn)(1,1),代入方程可得1