2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)考點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練

熱點(diǎn)六教材衍生問(wèn)題

熱點(diǎn)趨勢(shì)解讀

教材衍生問(wèn)題是以教材習(xí)題為基礎(chǔ)拓展延伸出來(lái)的問(wèn)題，這些問(wèn)題一般是從已知條件的變

化，到圖形的變化，再到結(jié)論的變化，解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角觀察問(wèn)題、

提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維解決問(wèn)題.

《教育部關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見(jiàn)》中明確指出：“試題命制既要注重

考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要注重考查思維過(guò)程、創(chuàng)新意識(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

在近幾年的中考中，教材衍生問(wèn)題出現(xiàn)次數(shù)較多，既考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又考查

學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用和舉一反三的能力.

強(qiáng)化練習(xí)

1.愛(ài)思考的小郭同學(xué)發(fā)現(xiàn)教科書(shū)中介紹了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的方法，并沒(méi)有介紹多項(xiàng)式除以多

項(xiàng)式的方法，通過(guò)查閱資料小郭同學(xué)發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的一種方法叫“綜合除法”，綜合

除法主要用于一元多項(xiàng)式+出%"-2+…+4.1X+4，除以一次多項(xiàng)式X-機(jī)的演算，以

便獲得商式和余式，具體方法如下：

①寫(xiě)出分離系數(shù)豎式：

m[劭...a”-]a”

②進(jìn)行相關(guān)計(jì)算：

將落下得到%,計(jì)算加瓦并置于%下方，計(jì)算+叫得到4；計(jì)算機(jī)4并置于的下方，計(jì)算

a2+mbx得到％...計(jì)算mbn_x并置于a“下方,計(jì)算?！?岫得到bn.

1TId\***Q〃—]Qfj

mb0mb\???mbn_2mbn_x

bodb2bn_xbn

2

③寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：aox"+qx"T+a2x'^+???+an_{x+an除以x-m得到商式

+b[X"-2+.??+bn_2x+bn_x和余式b“.

解決問(wèn)題：利用綜合除法求3d+13%2-9x+7除以x+5的商式和余式.

313-97

3

由此可知，3d+13%2—9x+7除以x+5的商式是,余式是.

2.代數(shù)推理

小軍對(duì)于教材36頁(yè)“試一試”部分產(chǎn)生了濃厚的興趣，請(qǐng)和他探究并完成下列問(wèn)題.

發(fā)現(xiàn)速算從11到19這九個(gè)兩位數(shù)中任何兩個(gè)的乘積的方法:

13x12

如:(第一個(gè)因數(shù))(第二個(gè)因數(shù))

第一步：把第一個(gè)因數(shù)(13)與第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)(2)相加：13+2=15；

第二步：把第一步的結(jié)果乘以10(也就是說(shuō)后面加個(gè)0)：15x10=150；

第三步：把第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)⑶乘以第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)⑵：3x2=6；

第四步：把第二、三兩步的結(jié)果相加：150+6=156.

這就是要求的計(jì)算結(jié)果，即得13x12=156.

嘗試⑴用上述方法,直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：16x17=；19x13=.

驗(yàn)證(2)設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)分別為10+a,10+Z?,

①根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”，直接寫(xiě)出這兩個(gè)兩位數(shù)的積：(用含。力的式子表示，不需要化簡(jiǎn))；

②說(shuō)明①的正確性.

3.在北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)第三章的學(xué)習(xí)過(guò)程中,經(jīng)歷過(guò)很多次“歸納”的過(guò)程,即從幾種特殊

情形出發(fā)，進(jìn)而找到一般規(guī)律的過(guò)程，歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要策略，請(qǐng)用

歸納策略解答下列問(wèn)題

⑴探究一：如圖1,將一根繩子折成3段,然后按如圖所示方式剪開(kāi)；如圖1-1,剪1刀，繩子變?yōu)?/p>

4段；如圖1-2,剪2刀，繩子變?yōu)?段；……

①剪12刀，繩子變?yōu)槎危?/p>

②有可能正好剪得98段嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由

⑵探究二：將一根繩子折成4段，然后按⑴中方式剪開(kāi)；如圖2,剪1刀，繩子變?yōu)?段；剪2刀,

繩子變?yōu)槎?；剪〃刀，繩子變?yōu)槎?/p>

(3)歸納：將一根繩子折成鞏機(jī)23)段，然后按⑴中方式剪n刀，繩子變?yōu)槎?用含m,n的代數(shù)式

表示)

(4)問(wèn)題解決：將一根繩子折成見(jiàn)山之3)段,然后按(1)中方式方式剪n刀繩子變?yōu)?00

段，則竺的值為

n

4.【綜合與實(shí)踐】

閱讀材料：課本第53頁(yè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中介紹一種新的幾何圖形——“箏形”.定義：兩組鄰邊分別相

等的四邊形叫做“箏形

我們研究一種新幾何圖形的一般過(guò)程：先學(xué)習(xí)定義，再研究性質(zhì)和判定.而性質(zhì)的研究，其實(shí)就是

對(duì)圖形邊，角，對(duì)角線(xiàn)等基本要素的研究.八年級(jí)某班按照這樣的思路對(duì)“箏形”的性質(zhì)開(kāi)展研究:

第一步：根據(jù)定義剪出一個(gè)“箏形”；

第二步：用測(cè)量、折紙等方法猜想“箏形”邊，角，對(duì)角形的結(jié)論；

第三步：通過(guò)證明得到性質(zhì).

解答問(wèn)題：

⑴猜想“箏形”的對(duì)角線(xiàn)有怎樣的結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出來(lái).

⑵請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知，求證并證明得到對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì).

(3)從性質(zhì)進(jìn)一步探究可得到“箏形”的面積公式，請(qǐng)直接寫(xiě)出“箏形”的面積公式.

5.學(xué)習(xí)正方形時(shí),王老師帶領(lǐng)同學(xué)們探索了課本上的一道幾何題.

【課本原型】(1)人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本Pa拓廣探索》第15題.請(qǐng)你寫(xiě)出證明過(guò)程.

【問(wèn)題解決】(2)如圖⑴,正方形ABCD中，點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn),。交G4延長(zhǎng)

線(xiàn)于點(diǎn)交AG于點(diǎn)E試探索AR、BF、石廠(chǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明

【問(wèn)題研究】(3)如圖(2),四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G為上的一點(diǎn),。ELAG于點(diǎn)E,連接3E,

若AE=4,請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABE的面積.

￡

6.追本溯源

題(1)來(lái)自于課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，提煉方法并完成題(2).

⑴如圖1,在)0中,AB=AC,NC=75°，求ZA的度數(shù).

(2)如圖2,在；)？中,A5=AC4是AC上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，連接BE并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,連接AE

并延長(zhǎng)至點(diǎn)E連接CE.

①求證：ZGEF=ZCEF.

②若BC=6,△ABC的面積為27,求。的半徑.

7.在我們蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七下第42頁(yè)曾經(jīng)研究過(guò)雙內(nèi)角平分線(xiàn)的夾角和內(nèi)外角平

分線(xiàn)夾角問(wèn)題.聰聰在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如

下：

⑴【問(wèn)題再現(xiàn)】如圖1,在△ABC中,ZABC,NACfi的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,若NA=50。.則"=

⑵【問(wèn)題推廣】如圖2,在△ABC中,ZBAC的角平分線(xiàn)與△ABC的外角NCBM的角平分線(xiàn)交

于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)3作AP于點(diǎn)H,若ZACB=80°，求ZPBH的度數(shù).

（3）如圖3,在△ABC^,ZABC,ZACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)

P重合，若Zl+Z2=80。,則ZBPC=；

（4）【拓展提升】在四邊形5CDE中,EB〃CD,點(diǎn)R在直線(xiàn)￡￡）上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)R不與兩點(diǎn)重合）,

連接BF,CF,ZEBF,ZDCF的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)。，若/EBF=a,ZDCF=p，直接寫(xiě)出NQ和

a,p之間的數(shù)量關(guān)系.

8.【鏈接教材】

（1）如圖1,E、R是直線(xiàn)/上方兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線(xiàn)/上，滿(mǎn)足PE=PF，則點(diǎn)P是線(xiàn)段所

的（填特殊直線(xiàn)）與直線(xiàn)/的交點(diǎn)；

【問(wèn)題延伸】

（2）①如圖2,點(diǎn)。是矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，0石=0廠(chǎng).要分別在A3、CD邊上確定點(diǎn)

尸、Q,滿(mǎn)足PF=EQ,且點(diǎn)。在線(xiàn)段PQ上.經(jīng)過(guò)思考，小文發(fā)現(xiàn)可以利用矩形的中心對(duì)稱(chēng)性，

將點(diǎn)E或R關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，再作該對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和另一點(diǎn)所組成的線(xiàn)段的中垂線(xiàn).請(qǐng)你根據(jù)她的思路

在圖2中尺規(guī)作圖確定P、Q的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）.

②如圖3,點(diǎn)。是矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，OEwO外經(jīng)過(guò)深入探究，聰明的小文發(fā)現(xiàn)進(jìn)一

步利用矩形的中心對(duì)稱(chēng)性，在問(wèn)題①思路的基礎(chǔ)上再添加一條過(guò)點(diǎn)。的線(xiàn)段，就能找到符合

題意的尸、Q（P、。分別在A3、邊上，滿(mǎn)足PE=EQ，且點(diǎn)。在線(xiàn)段PQ上）.請(qǐng)?jiān)趫D3

中用直尺簡(jiǎn)單構(gòu)圖（不要求圓規(guī)作圖），并證明=

【舉一反三】

（3）如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)0是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，OA=4,OB=2,

E（-2,m），其中m>1，/（3,-2〉若P、Q分別在A3、CD邊上，滿(mǎn)足PF=EQ,且點(diǎn)。在線(xiàn)

段PQ上，直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍

*F

（圖I）

9.【教材呈現(xiàn)】

現(xiàn)行人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材85頁(yè)“拓廣探索”第14題：

14.如圖，在銳角△ABC中,探究旦，上,'之間的關(guān)系.（提示：分別作A3

sinAsinBsinC

和5C邊上的高.）

【得出結(jié)論】

a_b_c

sinAsinBsinC

【基礎(chǔ)應(yīng)用】

在△ABC中,N3=75。,NC=45°,BC=2，利用以上結(jié)論求AB的長(zhǎng);

【推廣證明】

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，，一=―”=」一不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立,并且還

sinAsinBsinC

滿(mǎn)足扁=七=總=2R（R為AABC外接圓的半徑）.

請(qǐng)利用圖1證明：，=—也=，二=2R.

sinAsinBsinC

BC

圖1

【拓展應(yīng)用】

如圖2,四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,CD=4,NB=NC=90。.

求過(guò)A,民。三點(diǎn)的圓的半徑.

10.【教材呈現(xiàn)】以下是人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第50頁(yè)的部分內(nèi)容，如圖，直線(xiàn)

與ADBC的面積相等嗎？為什么?

【基礎(chǔ)鞏固】如圖1,正方形ABCD內(nèi)接于3。,直徑跖W/AD,求陰影面積與圓面積的比值;

【嘗試應(yīng)用】如圖2,在半徑為5的。中,BD=CD,ZACO=2ZBDO,AB=4,求S^ABC；

【拓展提高】如圖3,A3是o。的直徑，點(diǎn)P是OB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作弦CD，AB于點(diǎn)P,點(diǎn)F是

O。上的點(diǎn),且滿(mǎn)足CF=CB，連接BF交CD于點(diǎn)E,若BF=SEP,S^CEF=1072，求。。的半徑.

H.【教材呈現(xiàn)】

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第68頁(yè)第8題如下：如圖1,ABC。是一個(gè)正方形花園無(wú)方是它的

兩個(gè)門(mén)，且DE=CF,要修建兩條路3E和AR,這兩條路等長(zhǎng)嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？

（此問(wèn)題不需要作答）

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)探究圖形中互相垂直的線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題,于是對(duì)

上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探索，內(nèi)容如下：

【類(lèi)比分析】

⑴如圖2,在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AZ）上一點(diǎn)，連接3E,過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線(xiàn)交于點(diǎn)￡垂足

為點(diǎn)G,若4AB=3AD,BE=6,求AF的長(zhǎng).

【遷移探究】

(2)如圖3,在RtAABC中,ZBAC=90。,AB=AC,點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接3。,作AELBD交BC

ABBE

于點(diǎn)瓦求證:

AD~CE

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖4,在RtAABC中,ABAC=90。,AB=2,AC=4,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D點(diǎn)E為AB

上一點(diǎn)，連接CE,過(guò)點(diǎn)D作CE的垂線(xiàn)，交AC于￡垂足為G,若E為A3中點(diǎn)，則DF=.

圖4

答案以及解析

1.答案：3JC—2X+1；2.

解析：由題意得：

-5313-97

一1510—5

3-212

.??商式為#一2x+l,余式為2,

故答案為：①3%2—2%+1,②2.

2.答案：(1)272,247

⑵①10(10+。+"+"；②見(jiàn)解析

解析：嘗試(1)16x17=272；19x13=247.

故答案為：272,247；

驗(yàn)證(2)①第一步：把第一個(gè)因數(shù)(10+a)與第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)(。)相加：10+a+b；

第二步：把第一步的結(jié)果乘以10(也就是說(shuō)后面加個(gè)0)：10(10+?+/?);

第三步：把第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)⑷乘以第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)(為：ab；

第四步：把第二、三兩步的結(jié)果相加：10(10+。+與+".

這就是要求的計(jì)算結(jié)果，即得10(10+。+6)+或；

②(10+。)(10+6)=100+10a+106+血

又10(10+a+Z?)+a。=100+10。+103+aZ?,

(10+tz)(10+Z?)=10(10+Q+Z?)+ub,

說(shuō)明①的結(jié)論正確.

3.答案：(1)937；②沒(méi)有可能正好剪98段，理由見(jiàn)詳解

(2)9；(4?+1)

(3)(mw+l)

(4)2或工

1111

解析：⑴①-剪1刀，繩子變?yōu)?段,4=3+l+3x0；剪2刀，繩子變?yōu)?段,7=3+l+3xl；由

此可得，剪3刀，繩子變?yōu)?+1+3x2=10段，剪4刀，繩子變?yōu)?+1+3x3=13段,……

可得剪12刀，繩子變?yōu)?+1+3*(12-1)=37段；

故答案為：37；

②沒(méi)有可能正好剪得98段，

理由：由①可得，剪n刀，繩子變?yōu)?+l+3x(〃-1)=(3"+1)段，

97—

/.3n+l=98,n=一，不是正整數(shù)，

3

二.沒(méi)有可能正好剪得98段；

(2)剪1刀，繩子變?yōu)?段,5=4+l+4x0；剪2刀，繩子變?yōu)?+l+4xl=9,9段；剪〃刀,繩子變

為4+l+4x(〃-l)=(4〃+l)段，

故答案為：9；(4〃+1)；

(3)由⑴、(2)可得，將一根繩子折成皿加23)段，然后按⑴中方式剪〃刀，繩子變?yōu)?的+1)段，

故答案為：(的+1)；

(4)由(3)可得，將一根繩子折成加(m23)段,然后按(1)中方式剪n刀，繩子變?yōu)?zm+1)段，

:.mn+l=100,

/.mn=99,

m〈n,

又9x11=99,3x33=99,

二.根=9時(shí)〃=11或m=3時(shí)〃=33,

m9T加31

「.一二—或一=—二—,

n11n3311

故答案為：2或

1111

4.答案：(1)“箏形”的對(duì)角線(xiàn)互相垂直

(2)見(jiàn)解析

(3)“箏形”的面積等于對(duì)角線(xiàn)積的一半

解析：(1)“箏形”的對(duì)角線(xiàn)互相垂直；

(2)已知：四邊形ABCD是“箏形”,皿=47,。5=。。,對(duì)角線(xiàn)4￡＞、BC相交于點(diǎn)。.

求證：ADLBC.

BC

D

AB=AC

證明：r<AD=AD,

DB=DC

.-.△ABD^AACD(SSS),

ABAD=ACAD,

AB=AC

v<ZBAO=ZCAO,

AO=AO

???AABC^AACO(SAS),

ZAOB=ZAOC,

?：ZAOB+ZAOC=\SQ0,

ZAOB=ZAOC=9Q°,

：.ADLBC-,

(3)--AD±BC,

S箏形.8=SaABC+S^?BC=gBC.AO+；BC.DO=gBC?(AO+DO)=g3C.AO,

??.“箏形”的面積等于對(duì)角線(xiàn)積的一半.

5.答案：(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解答

(2)人尸+3尸=所，理由見(jiàn)解析

(3)8

解析：(1)證明：四邊形ABCD是正方形，

:.ZBAD=90°,AB=AD,

ZBAG+ZDAE=90°,

DELAG,

:.ZAED=ZDEF=90°,

.-.ZDAE+ZADE^90°,

:.ZADE=ZBAG,

BF//DE,

:.ZAFB=ZDEF=90。,

:.ZAED=ZAFB,

..△ADE且△JBAF(AAS),

:.BF=AE,

:.AF-BF=AF-AE=EF

(2)AF+9=EF,理由如下：

由(1)得：AB=AD,ZAED=90°,ZBAD=90°,

ZBAF+ZDAE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

:.ZBAF=ZADE,

BF//DE,

ZAFB=180°-ZE=90°,

:.ZE=ZAFB,

..△ADE烏△山/(AAS),

:.AE=BF,

:.AF+BF=AF+AE=EF；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)3作BF//DE交AG于點(diǎn)F,

由(1)得：BF=AE=4,

-BF//DE,DELAG,

：.BFLAG,

??^E=1AE-BF=1X4X4=8.

6.答案：(1)30°

(2)①證明見(jiàn)解析，②半徑為5

解析：(1)；A5=AC,

ZB=ZC=75°,

??.ZA=180°-75°-75°=30°；

(2)①證明：點(diǎn)A,3,C,E均在上,

四邊形ABCE為圓內(nèi)接四邊形，

:.ZABC+ZAEC=1SO0.

又ZCEF+ZAEC=1SO0.

ZABC=ZCEF,

AB^AC,

:.ZABC=ZACB=ZAEB,

又ZAEB=ZGEF,

:.NGEF=NCEF；

②如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH，于點(diǎn)H.

AB^AC,AH±BC,

二點(diǎn)。在AH上,

:.BH=HC=-BC=3.

2

-S^BC=27,^^AH-BC=27,

.-.-AHx6=27，解得AH=9.

設(shè)OB—OA=x，貝(JOH=AH—OA—9—x.

在RtABOT/中,由勾股定理得OB'=BH2+OH2,

即可=32+(9—4,解得％=5,

。的半徑為5.

7.答案：(1)115°

(2)50°

(3)115°

(4*在E左側(cè)NQ=2干；R在ED中間NQ=g2；歹在。右側(cè)NQ=@J

解析：(l)vZA=50°,

???ZABC+ZACB=180°-ZA=130°,

???BP平分NABC,CP平分NAC5,

ZABC=2ZPBC,ZACB=2ZPCB,

???2ZPBC+2ZPCB=130°,即ZPBC+ZPCB=65°,

.-.ZP=180°-ZPBC-ZPCB=115°,

故答案為：115。；

(2)???AP平分NBAC,BP平分ZCBM,

ZBAC=2ZBAP,ZCBM=2ZCBP,

??ZCBM=ZBAC+ZACB,

???2ZCBP=2ZBAP+ZACB,

；.NCBP=/BAP+40。,

???ZABC=180°-ZACB-ZBAC,

ZABC=1000-2ZBAP,

.-?ZABP=ZABC+ZCBP=1400-ZBAP,

???ZP=180O-ZBAP-ZABP=40。，

???BH±AP,BPZBHP=90°,

ZPBH=180°-ZP-ZBHP=50°；

⑶由折疊的性質(zhì)可得/4ED=NPED,44。石=NPDE,

???Z1+ZAEP=180°,Z2+ZADP=18O°,Z1+Z2=100°,

：.ZAEP+ZADP^260°,

2ZAED+2ZADE=260°,

.-.ZAED+ZADE=130°,

???ZA=180O-ZAED-ZADE=50°,

???同(1)原理可得NP=115。，

故答案為：115。；

(4)當(dāng)點(diǎn)R在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖4-1所示，

-BE//CD,

：.ZCBE+ZBCD^1SO0,

???3Q平分ZEBF,CQ平分/DCF,

NEBQ=|ZEBF=三,/QCF=|zDCF=4,

???NEBC+ZFCB=1800-ZDCF=180°—/7,

.-.ZQ=1800-ZQBC-ZQCB=1800-ZQBE-ZEBC-ZFCB-ZQCF=；

當(dāng)R在。、E之間時(shí)，如圖4-2所示：

同理可得ZFBQ'NEBF=-,ZQCF=-ZDCF=m,

2222

NFBC+ZFCB=180°—ZDCF-ZEBF=180°—e—〃，

ZQ=1800-ZQBC-ZQCB=1800-ZQBF-ZFBC-ZFCB-ZQCF=(X-^-；

當(dāng)點(diǎn)R在。點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖4-3所示：

同理可得NQ=180°—NQ3C—NQC3=180°—NQBb—NE3C—NDC3—NQCD=^^；

綜上所述尸在E左側(cè)NQ=2干；R在ED中間NQ=%2；R在。右側(cè)NQ=4j.

8.答案：（1）垂直平分線(xiàn)；

（2）①見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析;

（3）非<m<7"

解析：（1）點(diǎn)P在直線(xiàn)/上，滿(mǎn)足PE=PF，

二點(diǎn)P是線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)，

故答案為：垂直平分線(xiàn)；

(2)①如圖，作E關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)笈，連接EF，

作ER垂直平分線(xiàn)PQ，交AB、CD于點(diǎn)尸、Q，連接PE、EQ,

點(diǎn)。是矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

OP=OQ,

OE=OH，NEOQ=NHOP,

△EO陛△HOP(SAS)，

EQHP,

PM垂直平分

HP=FP，

PF=EQ

(3)如圖，作E關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸，連接尸Q,

F(-3,2),

同②理△OFgAOFP,

PF=QF',

PF=EQ,

QF'=EQ,

四邊形ABCD是菱形，

0D=0B=2,

：.0(-2⑼,

DF'=ED，

222

[-3-(-2)]+(O-2)=[-2-(-2)]+(0-根7,

??m—

當(dāng)。與c重合時(shí)，機(jī)有最大值，如圖,

OA=OC=4>

C(4,0),

CF'=CE，

22

(-3-0)2+(2-盯=(_2_o)+(m_4)-

二m=7或m=1（舍去）；

:.m的取值范圍為石<根<7，

故答案為：75<m<7'

9.答案：教材呈現(xiàn)：見(jiàn)解析

基礎(chǔ)應(yīng)用:

推廣證明:見(jiàn)解析

7

拓展應(yīng)用:

解析：教材呈現(xiàn)：如圖,分別作的），5。,6￡，他,垂足分別為。,瓦

A

Jb

BC

Da

AnAn

在區(qū)348。中，$皿5=——二——,

ABc

/.AD=csinB,

Ar)Ar)

在RtAADC中,sinNACO=——二——,

ACb

.\AD=bsinZACD,

c-sinB=b-sinZACD,

c_b

sinZACDsinB

在RtAAEC中,sinABAC=—,

b

.\EC=smZBACb,

EC

在RtABEC中,sinB=——，

a

EC=sinBa,

/.sinABAC-b=sinB-a,

a_b

sinABACsinB'

a_b_c

sinABACsinBsinZACD

基礎(chǔ)應(yīng)用：???△ABC中,N5=75°,NC=45。,

???ZA=180°-75°-45°=60°,

,日衿立/曰ABBC

由題意得一^;=一二，

sinCsinA

AB_2

變一遭

~TT

解得正手

推廣證明：作直徑CQ,連接AQ,

???直徑CQ,

??.NQAC=90。，

???AC=AC,

???N3=NQ,

...sinze=^=A

CQ2R

b

sinB

bb

同理2H=——,2R=-------,

sinAsinC

"=上=-=2R；

sinAsinBsinC

拓展應(yīng)用：連接血,作AE_1CD于點(diǎn)瓦

"ZABC=ZC=90°,

???四邊形ABCE是矩形，

?.AB=2,BC=3,CD=4,

22

.?，AE=BC=3,Z)E=CD-CE=4-2=2,JBD=V3+4=5,

???AD=ylAE2+DE2=A/32+22=V13,

???ZABC=ZC=90°,

■■.AB//CD,

：.ZABD=/BDC,

sinZABD=sinZBDC

BD5

AD=2R,即半=2R,

sinZABD

5

d平

10.答案：【教材呈現(xiàn)】△ABC與△OBC的面積相等，理由見(jiàn)解析

【基礎(chǔ)鞏固】-

4

【嘗試應(yīng)用】2庖

【拓展提高】6

解析：教材呈現(xiàn)：

△ABC與ADBC的面積相等，理由：

.??點(diǎn)A,D到BC的距離相等，

???AABC與中BC邊上的高相等，

即：△ABC與是同底等高的三角形，

根據(jù)三角形的面積公式為：底x高，

2

；.ZXABC與ADBC的面積相等；

基礎(chǔ)鞏固：

連接OD,OC,如圖，

???四邊形ABC。為正方形,

.-.AD//BC,ZCOD=90°,

???MN//AD,

AD//MN//BC,

由教材呈現(xiàn)可知：SAA0N=SADON，S^BON~^CON，

???S陰影部分-S扇形oc。，

9071X^2]

???陰影面積="八二:

3604

???圓的面積為兀產(chǎn)，

???陰影面積與圓面積的比值為9；

4

嘗試應(yīng)用：

連接OA，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,則AE=BE=^AB^2.

OD=OD

在△05。和△OCD中,<03=0C,

BD=CD

.??△OBD^AOCD(SSS),

.-.ZBDO=ZCDO,

：?/BDC=2NBDO.

,:ZACO=2ZBDO,

ZACOZBDC.

ZBDC=ABAC,

ZBAC=ZACO,

：.AB//OC,

???由教材呈現(xiàn)可知：5AABC=S&ABO，

在Rt￡ZM七中，

OE^yloAi-AE2=752-22=721,

???S.BC=S*=；AB.0E=gx4x后=2亞；

拓展提高：

連接0C,交5月于點(diǎn)G,

B

設(shè)"=a,則5E=8a,

???AB是O。的直徑,CD，AB于點(diǎn)P,

.-.CP=PD=-CD,

2

：CF=CB,

:.CF=CB,

.-.OC±BF,GF=BG=~BF=4a,

2

ZBOG=ZCOP

在叢OBG和△OCP中,JZOGB=ZOPC=90°,