課時3數(shù)陣問題（一）

一.數(shù)陣

填“幻方”是同學們比較熟識的一種數(shù)學嬉戲，由幻方演化出來的數(shù)

陣問題，也是一類比較常見的填數(shù)問題。這里，主要探討一些數(shù)陣的填法。

解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗法。

待定數(shù)法就是先用字母（或符號）表示滿意條件的數(shù)，通過分析、計

算來確定這些字母（或符號）應具備的條件，為解答數(shù)陣問題供應方向。

試驗法就是依據(jù)題中所給條件選準突破口，確定填數(shù)的可能范圍，把

分析推理和試驗法結(jié)合起來，再由填數(shù)的可能狀況，確定應填的數(shù)。

二.例題精析

例1把5、6、7、8、9五個數(shù)分別填入下圖的五個方格里，如圖a使橫行

三個數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21。

先把五格方格中的數(shù)用字母A、B、C、D、E來表示，依據(jù)題意可知：

A+B+C+D+E=35,A+E+B+C+E+D=21X2=42o

把兩式相比較可知，E=42-35=7,即中間填7。然后再依據(jù)5+9=6+

8便可把五個數(shù)填進方格，如圖b。

小試牛刀

把1一一10各數(shù)填入“六一”的10個空格里，使在同始終線上的各數(shù)的

和都是12。

2、把1——9各數(shù)填入“七一”的9個空格里，使在同始終線上的各數(shù)的

和都是13o

3、將1——7七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和

相等。

例2將1——10這十個數(shù)填入下圖小圓中，使每個大圓上六個數(shù)的和是

30o

分析設(shè)中間兩個圓中的數(shù)為a、b,則兩個大圓的總和是1+2+3

+……+10+a+b=30X2>即55+a+b=60,a+b=5o在1——10這十個

數(shù)中1+4=5,2+3=5。

當a和b是1和4時，每個大圓上另外四個數(shù)分別是(2、6,8,9)

和(3、5,7,10)；當a和b是2和3時，每個大圓上另外四個數(shù)分別為

(1、5,9,10)和(4,6,7,8)o

小試牛刀

1、把1——8八個數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每個大圓上五個O內(nèi)數(shù)的

和相等。

2、把1一一10這十個數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每個四邊形頂點的

。內(nèi)四個數(shù)的和都相等，且和最大。

3、將1一一8八個數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四

格、右四格、中間四格以與對角線四格內(nèi)四個數(shù)的和都是18。

例3將1——6這六個數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個圓內(nèi)數(shù)

的和相等、且最大。

分析設(shè)中間三個圓內(nèi)的數(shù)是a、b、co因為計算三條線上的和時，a、

b、c都被計算了兩次，依據(jù)題意可知：1+2+3+4+5+6+(a+b+c)

除以3沒有余數(shù)。1+2+3+4+5+6=21、21—3二7沒有余數(shù)，則a+b+c

的和除以3也應當沒有余數(shù)。在1一一6六個數(shù)中，只有4+5+6的和最

大，且除以3沒有余數(shù)，因此a、b、c分別為4、5、6o(1+2+3+4+5

+6+4+5+6)+3=12、所以有下面的填法：

小試牛刀

1、將1——6六個數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每邊上的三個。內(nèi)數(shù)的和相

等。

2、將1一一9九個數(shù)分別填入下圖。內(nèi)，使每邊上四個。內(nèi)數(shù)的和都是17。

3、將1一一8八個數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使每條安上三個數(shù)的和相等。

例4將1——7分別填入下圖的7個。內(nèi)，使每條線段上三個。內(nèi)數(shù)的和

相等。

分析首先要確定中心圓內(nèi)的數(shù)，設(shè)中心O內(nèi)的數(shù)是a,則，三條線

段上的總和是l+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a,由于三條線段上的和相

等，所以(28+2a)除以3應當沒有余數(shù)。由于28+3=9……1、則2a除

以3應當余2、因此，a可以為1、4或7。當a=l時，(28+2X1)4-3-

1二9,即每條線段上其他兩數(shù)的和是9,因此，有這樣的填法。

小試牛刀

1、將1一一9填入下圖的。中，使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。

2、將1——11這十一個數(shù)分別填進下圖的。里，使每條線上3個。內(nèi)的

數(shù)的和相等。

3、將1——8這八個數(shù)分別填入下圖O內(nèi)，使外圓四個數(shù)的和，內(nèi)圓四個

數(shù)的和以與橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18。

例5如下圖⑸四個小三角形的頂點處有六個圓圈。假如在這些圓圈中分

別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20,而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)

的和相等。問這六個質(zhì)數(shù)的積是多少？

分析設(shè)每個小三角形三個頂點處O內(nèi)數(shù)的和為X。因為中間的小三

角形頂點處的數(shù)在求和時都用了三次，所以，四個小三角形頂點處數(shù)的總

和是4X=20+2X,解方程得X=10。由此可知，每個小三角形頂點處的三個

質(zhì)數(shù)的和是10,這三個質(zhì)數(shù)只能是2、3、5o因此這6個質(zhì)數(shù)的積是

2X2X3X3X5X5=900。如圖（b）。

小試牛刀

1、將九個不同的自然數(shù)填入下面方格中，使每行、每列、每條對角線上

三個數(shù)的積都相等。

2、將1—