第一部分核心主干專題突破

專題2.5能量與動量

目錄

【突破高考題型】................................................................................1

題型一動量定理及應(yīng)用.....................................................................1

題型二動量守恒定律及其應(yīng)用...............................................................3

類型1動量守恒的判斷.................................................................3

類型2多個物體多次作用問題...........................................................4

類型3“人船模型”的應(yīng)用................................................................5

題型三碰撞、爆炸與反沖....................................................................6

題型四動量和能量的綜合問題................................................................7

類型1動力學(xué)、動量與能量觀點的綜合應(yīng)用...............................................7

類型2含有彈簧的動量和能量的綜合問題.................................................8

類型3子彈打木塊中的動量和能量的綜合問題............................................9

類型4板塊問題中的動量和能量的綜合問題...............................................9

【專題突破練】.................................................................................10

【突破高考題型】

題型一動量定理及應(yīng)用

1.沖量的三種計算方法

(1)公式法：/=力適用于求恒力的沖量。

(2)動量定理法：多用于求變力的沖量或”、/未知的情況。

(3)圖像法：用F-1圖線與時間軸圍成的面積可求變力的沖量。若尸一，成線性關(guān)系，也可直接用平均力求

變力的沖量。

2.動最定理

⑴公式：F^t=mv'—mvo

⑵應(yīng)用技巧

①研究對象可以是單一物體，也可以是物體系統(tǒng)。

②表達(dá)式是矢量式，需要規(guī)定正方向。

③在勻變速直線運(yùn)動中，如果題目不涉及加速度和位移，用動量定理比用牛頓第二定律求解更簡捷。

④在變加速運(yùn)動中，”為。時間內(nèi)的平均沖力。

[例1]（2022?北京西城二模）一位同學(xué)在水平地面上做立定跳遠(yuǎn)，他從位置②起跳，到位置⑤落地，位置

③是他在空中的最高點，在位置②和⑤時他的重心到地面的距離近似相等。以下說法正確的是（）

卜彳A器

A.在位置③，人的速度為0

B.從位置②到⑤，重力對人的沖量幾乎為0

C.從位置②到⑤，重力做功幾乎為0

D.在位置②起跳至離地的過程中，支持力的沖量與重力的沖量大小相等

【例2].如圖所示為某物業(yè)公司的宣傳提醒牌。從提供的信息知：一枚50g的雞蛋從17樓（離地面人的頭

部高度為45m）落下，能砸破人的頭骨。若雞蛋殼與人頭部的作用時間為4.5x10"s,人的質(zhì)量為50kg,

重力加速度g取10mH,則頭骨受到的平均沖擊力約為（）

一個兩力

A.1700NB.2000N

C.33OOND.4500N

【例3】,（202卜福建高考）福建屬于臺風(fēng)頻發(fā)地區(qū)，各類戶外設(shè)施建設(shè)都要考慮臺風(fēng)影響。已知10級臺風(fēng)的

風(fēng)速范圍為24.5m/s~28.4in/s,16級臺風(fēng)的風(fēng)速范圍為51.0m/s~56.0m/s<,若臺風(fēng)迎面垂直吹向一固定的

交通標(biāo)志牌，則16級臺風(fēng)對該交通標(biāo)志牌的作用力大小約為10級臺風(fēng)的（）

A.2倍B.4倍

C.8倍D.16倍

【方法總結(jié)】用動量定理解決連續(xù)的流體問題

在日常的生活和生產(chǎn)中，常涉及流體的連續(xù)相互作用問題，解決方法構(gòu)建柱體微元模型，然后用動量定理

分析求解。分析步驟如下：

題型二動量守恒定律及其應(yīng)用

類型1動量守恒的判斷

【例1】如圖所示，將質(zhì)量為Mi、半徑為R且內(nèi)壁光滑的半圓槽置于光滑水平面上，左側(cè)靠墻角，右側(cè)靠

一質(zhì)量為知2的物塊。今讓一質(zhì)量為〃，的小球自左側(cè)槽口A的正上方/?高處從靜止開始落下，與圓弧槽相切

自A點進(jìn)入槽內(nèi)，則以下結(jié)論中正確的是()

A.小球在槽內(nèi)運(yùn)動的全過程中，小球與半圓槽在水平方向動量守恒

B.小球在槽內(nèi)運(yùn)動的全過程中，小球,半圓槽和物塊組成的系統(tǒng)動量守恒

C.小球離開C點以后，將做豎直上拋運(yùn)動

D.槽將不會再次與墻接觸

【規(guī)律總結(jié)】判斷系統(tǒng)動量是否守恒的“三注意”

(1)注意所選取的系統(tǒng)——所選的系統(tǒng)組成不同，結(jié)論往往不同。

(2)注意所研究的運(yùn)動過程一系統(tǒng)的運(yùn)動分為多個過程時，有的過程動量守恒，另一過程則可能不守恒。

(3)注意守恒條件——整體不滿足系統(tǒng)動量守恒條件時，在某一方向可能滿足動量守恒條件。

類型2多個物體多次作用問題

【例2］［多選］(2020?全國卷H)水平冰面上有一固定的睡直擋板.一滑冰運(yùn)動員面對擋板靜止在冰面上，他

把一質(zhì)量為4.0kg的靜止物塊以大小為5.0m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板，運(yùn)動員獲得退行速度；

物塊與擋板彈性碰撞，速度反向，追上運(yùn)動員時，運(yùn)動員又把物塊推向擋板，使其再?次以大小為5.0nVs

的速度與擋板彈性碰撞?？偣步?jīng)過8次這樣推物塊后，運(yùn)動員退行速度的大小大于5.0m/s,反彈的物塊不

能再追上運(yùn)動員。不計冰面的摩擦力，該運(yùn)動員的質(zhì)量可能為()

A.48kgB.53kg

C.58kgD.63kg

【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用動量守恒定律解題的兩點提醒

(1)應(yīng)用動量守恒時應(yīng)注意系統(tǒng)的組成和過程的選取。

(2)兩物體沿同一直線運(yùn)動，避免相撞的臨界條件是二者同向同速。

類型3“人船模型”的應(yīng)用

【例3】（多選）如圖所示，水平面上一半圓弧槽N的質(zhì)量為2〃?，槽的半徑為九槽兩側(cè)的最高點等高。將

一質(zhì)量為用且可視為質(zhì)點的小球M由槽右側(cè)的最高點無初速釋放，所有接觸面的摩擦均可忽略。第一種情

況圓弧槽固定不動，第二種情況圓弧槽可自由滑動。下列說法正確的是（）

M

7〃〃〃〃〃〃/〃/〃//////////〃/〃

A.兩種情況下，小球均可運(yùn)動到圓弧槽左側(cè)最高點

B.兩種情況下，小球滑到圓弧槽最低點時的速度大小之比為1:1

c.第二種情況下，小球滑到圓弧槽最低點時圓弧槽的速度大小為、屋

D.第二種情況下，圓弧槽距離出發(fā)點的最遠(yuǎn)距離為上

【方法總結(jié)】

1.應(yīng)用“人船模型''解題的兩個關(guān)鍵點

（1廣人船模型''的應(yīng)用條件：相互作用的物體原來都靜止，且滿足動量守恒條件。

（2）人、船位移大小關(guān)系：m人x人=m船x船，x人+x帆=L（L為船的長度）。

2.此題是把“人船模型”由直線運(yùn)動變?yōu)榍€運(yùn)動，此外還可以把“人船模型”變?yōu)椤叭塑嚹Ｐ汀?，如圖甲所示：

或把“人船模型由水平方向變?yōu)樨Q直方向，如圖乙所示。解法相似，一是由動量守恒定律列式，二是由幾何

關(guān)系列式，再聯(lián)立求解。

甲乙

題型三碰撞、爆炸與反沖

【例1】（2022?淮北模擬）兩球4、8在光滑水平面上沿同一直線、同一方向運(yùn)動，〃以=2kg,川8=3kg,%

=6m/s,PB=2!n/so當(dāng)A追上4并發(fā)生碰撞后，A、4速度的可能值是（）

A.w=4.5m/s,v?=3m/s

B.巾=3m/s,VB=4m/s

C.%=-1.5m/s,v?=7m/s

D.w=7.5m/s,VB=1m/s

【規(guī)律總結(jié)】碰撞遵循的三個原則

碰撞時間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，動量可看作守恒，

動量守恒

有如也+加2V2=〃？也'+62n2'

碰撞后系統(tǒng)的總動能不大于碰撞前系統(tǒng)的總動能。系

統(tǒng)動能滿足關(guān)系式：

動能不增加

y?l山2+%蜂2劣?”產(chǎn)+品藝'2

物理情境可按碰撞情境可分為追趕碰撞和相向碰撞，兩物體碰撞

行性前后的物理情境應(yīng)與實際相一致

【例2】如圖所示，哈九中航天科普節(jié)活動中，某同學(xué)將靜置在地面上的質(zhì)量為M（含水）的自制"水火箭''釋

放升空，在極短的時間內(nèi)，質(zhì)量為〃?的水以相對地面為小的速度與豎直方向成。角斜向下噴出。已知重力

加速度為g，空氣阻力不計，下列說法正確的是（）

A.火箭的推力來源于火箭外的空氣對它的反作用力

B.水噴出的過程中，火箭和水機(jī)械能守恒

〃「vn

C.火箭的水平射程為sin20

("砒

D.火箭上升的最大高度為不叫

【例3】（2021?浙江1月選考，12）在爆炸實驗基地有一發(fā)射塔，發(fā)射塔正下方的水平地面上安裝有聲音記錄

儀。爆炸物自發(fā)射塔豎直向上發(fā)射，上升到空中最高點時炸裂成質(zhì)量之比為2：1、初速度均沿水平方向的

兩個碎塊。遙控器引爆瞬間開始計時，在5s末和6s末先后記錄到從空氣中傳來的碎塊撞擊地面的響聲。

已知聲音在空氣中的傳播速度為340m/s,忽略空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.西碎塊的位移大小之比為1:2

B.爆炸物的爆炸點離地面高度為80m

C.爆炸后質(zhì)量大的碎塊的初速度為68m/s

D.爆炸后兩碎塊落地點之間的水平距離為340m

【方法總結(jié)】

爆炸與反沖的三個特點

（1）時間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量守恒或某個方向的動量守恒。

（2）因有內(nèi)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，系統(tǒng)機(jī)械能會增加，要利用能量守恒定律解題。

（3）若系統(tǒng)初始狀態(tài)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則爆炸或反沖后系統(tǒng)內(nèi)物體速度往往方向相反。

題型四動量和能量的綜合問題

類型1動力學(xué)、動量與能量觀點的綜合應(yīng)用

【例1】（2022?強(qiáng)基聯(lián)盟統(tǒng)測）如圖所示，半徑分別為R和/=號的兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩

軌道之間由一條光滑水平軌道6相連，在水平軌道C。上”、力兩小球之間有一被壓縮的彈簧（小球與彈簧

不連接），同時釋放。、〃兩小球，兩球恰好能通過各自圓軌道的最高點，已知〃球的質(zhì)量為則（）

A.力球的質(zhì)量為當(dāng)〃

B.兩小球與彈簧分離時動能相等

C.彈簧釋放前至少應(yīng)具有的彈性勢能為Ep=5〃?gR

D.b球運(yùn)動到與圓心等高點時對軌道的壓力為3正

【方法技巧】動量與能量觀點的應(yīng)用技巧

(1)兩種觀點

這兩個觀點研究的是物體或系統(tǒng)所經(jīng)歷的過程中運(yùn)動狀態(tài)的改變，即只要知道過程的始末狀態(tài)動量、動能

和力在過程中的沖量和所做的功，即可對問題進(jìn)行求解。

(2)應(yīng)用技巧

①在解決涉及時間的問題時可采用動量定理，在解決涉及位移的問題時，可考慮選用能量觀點的表達(dá)式。

②動量觀點的表達(dá)式都是矢量表達(dá)式，也可以寫出分量表達(dá)式，但能量觀點的表達(dá)式是標(biāo)量表達(dá)式，沒有

分量表達(dá)式。

類型2含有彈簧的動量和能量的綜合問題

【例2】如圖所示，在光滑的水平面上靜止放一質(zhì)量為〃?的木板B,木板表面光滑，左端固定一輕質(zhì)彈簧。

質(zhì)量為2m的木塊A以速度i，o從板的右端水平向左滑上木板瓦在木塊A與彈簧相互作用的過程中，下列

判斷正確的是()

叫A

BHiW^|~|2/n

/////////////////////*///

A.彈簧壓縮量最大時，木板8運(yùn)動速率最大

B.木板B的加速度一直增大

C.彈簧給木塊A的沖量大小為智

D.彈簧的最大彈性勢能為噌

【規(guī)律總結(jié)】求解含彈簧的動量和能量的綜合問題的2點提醒

（I）由于彈簧的彈力是變力，所以彈簧的彈性勢能通常利用機(jī)械能守恒或能量守恒求解。

（2）要特別注意彈簧的三個狀態(tài)：原長（此時彈簧的彈性勢能為零）、壓縮到最短或伸長到最長的狀態(tài)（此時彈

簧連接的兩個物體具有相同的速度，彈簧具有最大的彈性勢能），這往往是解決此類問題的突破點。

類型3子彈打木塊中的動量和能量的綜合問題

【例3］［多選］如圖所示，兩個質(zhì)量和速度均相同的子彈分別水平射入靜止在光滑水平地面上質(zhì)量相同、材

料不同的兩長方體滑塊A、5中，射入A中的深度是射入3中深度的兩倍。兩種射入過程相比較（）

司）|管|」

A.射入滑塊A的子彈速度變化大

B.整個射入過程中兩滑塊受到的沖量一樣大

C.射入滑塊A中時阻力對子彈做功是射入滑塊B中時的兩倍

D.兩個過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量相同

【方法總結(jié)】（1）分析子彈打擊木塊的過程，弄清楚子彈是停留在木塊中和木塊一起運(yùn)動還是穿透木塊和木

塊各自運(yùn)動。

（2）子彈在打擊木塊的過程中，由干時間較短，內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，故在打擊的過程中動量守恒。

（3）子彈在打擊木塊過程中損失的機(jī)械能，一般有兩種求解方法：一是通過計算打擊前系統(tǒng)的機(jī)械能與打擊

后系統(tǒng)的機(jī)械能的差值得出機(jī)械能的損失：二是通過計算在子彈打擊木塊的過程中，子彈克服阻力做的功

與阻力對木塊做的功的差值進(jìn)行求解。

類型4板塊問題中的動量和能量的綜合問題

【例4】（2022?北京模擬）水平地面上固定一光滑圓弧軌道，軌道下端的水平面與小車C的上表面平滑連接（如

圖所示），圓弧軌道上有一個小滑塊人，質(zhì)量為皿i=4kg,在距圓弧軌道的水平面高0=1.8m處由靜止下滑，

在小車C的最左端有一個質(zhì)量ml{=2kg的滑塊B,滑塊A與8均可看作質(zhì)點，滑塊A與B碰撞后粘在一起，

已知滑塊A、8與車。的上表面間的動摩擦因數(shù)均為“=0.5,車C與水平地面的摩擦忽略不計。取g=10mH。

求：

c

（1）滑塊A與3碰撞后瞬間的共同速度的大小;

⑵若小車長0.64m,且滑塊A、B恰好沒有從小車上滑下，求小車的質(zhì)量〃小

【規(guī)律總結(jié)】板塊問題常涉及多個物體、多個運(yùn)動過程，板塊間存在相對運(yùn)動。解決板塊問題要分析不同

階段的受力情況和運(yùn)動情況，然后逐個建立動量守恒和能最守恒的方程。同時注意一些關(guān)鍵字眼，如木板

足夠長，說明物塊最終與木板同速，其相對滑動距離對應(yīng)木板至少長度。

【專題突破練】

I.（2022?杭州重點中學(xué)期中）2021年8月I日，在東京奧運(yùn)會羽毛球女子單打決賽中，桐廬姑娘陳雨菲以總

比分2：1戰(zhàn)勝對手獲得金牌。如圖所示，在陳雨菲某次擊球時，用球拍將球以原速率反向擊出，則下列說

法正確的是（）

A.擊球過程中，球的動量未發(fā)生變化

B.研究球離開球拍后的運(yùn)動軌跡時，不能將球視為質(zhì)點

C.球離開球拍后在空中受到重力和空氣作用力這兩個力

D.擊球時，球拍對球的彈力是由于羽毛球的形變而產(chǎn)生的

2.（2022?四川成都質(zhì)檢）甲同學(xué)在辦公室外奔跑過程中突然與從辦公室出來的乙同學(xué)發(fā)生碰撞，碰撞前乙己處

于靜止?fàn)顟B(tài)，甲本能的伸直雙手對乙施加推力的同時手向胸II收，手收至胸口時甲乙恰好共速。碰撞過程

若能忽略兩者與地面間在水平方向上的相互作用，則（）

XL「工匚廠1

A.甲的本能反應(yīng)減少了甲對乙的沖量

B.甲對乙的沖量與乙對甲的沖量相同

C.甲的動能減少量等于乙的動能增加量

D.甲對乙做的功小于乙對甲做的功

3.（2。22?浦江、長興、余杭三校聯(lián)考）北京冬奧會2000米短道速滑混合接力賽上中國隊奪得首金。如圖所

示，當(dāng)運(yùn)動員在光滑冰面上交接時，后方運(yùn)動員曲春雨用力推前方運(yùn)動員任子威。下列說法正確的是（）

A.曲春雨推出任子威后，曲春雨一定向后運(yùn)動

B.曲春雨、任子威的動量變化相同

C.曲春雨對任子威的沖量大于任子威對曲春雨的沖量

D.曲春雨、任子威所受推力的沖量人小相等

4.如圖所示，碰碰車是?種機(jī)動游戲設(shè)施,車四周有橡膠做成的緩沖裝置。若兩碰碰車發(fā)生了正碰后立即

停下，已知兩車相撞前速度大小約為1m/s,碰撞過程作用時間約為0』s,車和人總質(zhì)量約100kg。則兩車

碰撞過程中的平均作用力大小約為（）

A.100NB.20()N

C.1000ND.2000N

5.（2022?南京六校聯(lián)合體調(diào)研）兩個完全相同的小球A、8,在某一高度處以相同大小的初速度w分別沿水

平方向和豎直方向拋出，不計空氣阻力。如圖所示，則下列說法正確的是（）

,〃〃〃〃〃〃〃〃，

A.兩小球落地時，動量相同

B.兩小球落地時，重力的瞬時功率不相同

C.從開始運(yùn)動至落地，重力對兩小球做的功相同，重力對兩小球做功的平均功率也相同

D.從開始運(yùn)動至落地，重力對兩小球的沖量相同，兩小球的動量變化量也相同

6.（多選）（2022?全國乙卷）質(zhì)量為1kg的物塊在水平力戶的作用下由靜止開始在水平地面上做直線運(yùn)動，F(xiàn)與

時間/的關(guān)系如圖所示。已知物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為0.2,重力加速度大小取g=10m/s\貝lj（）

FN

4

254：6//s

-4.........1-------1

A.4s時物塊的動能為零

B.6s時物塊回到初始位置

C.3s時物塊的動量為12kg-m/s

D.0?6s時間內(nèi)尸對物塊所做的功為40J

7.一個質(zhì)量為機(jī)的小型炸彈自水平地面朝右上方射出，在最盲點以水平向右的速度u飛行時，突然爆炸為

質(zhì)量相等的甲、乙、丙三塊彈片，如圖所示。爆炸之后乙自靜止自由下落，丙沿原路徑回到原射出點。若

忽略空氣阻力，則下列說法正確的是（）

A.爆炸后乙落地的時間最長

B.爆炸后甲落地的時間最長

C.甲、丙落地點到乙落地點。的距離比為3：I

D.爆炸過程釋放的化學(xué)能為誓

8.（2022?浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考）如圖所示，光滑水平面上有一小車，小車左端固定一彈簧槍，有一質(zhì)量為，〃的

子彈被一細(xì)線固定且使彈簧處于壓縮狀態(tài)。小車右側(cè)有一固定擋板，包含子彈整套裝置質(zhì)量為M?，F(xiàn)把細(xì)

線燒斷，子彈向右以對地大小為黑的速度彈出，最后嵌入擋板中。不考慮子彈在槍內(nèi)的摩擦等阻力，下列

說法正確的是（）

mi?a>[

77777//777777777///7777777.

A.小車最后以大小為片鬻的速度向左運(yùn)動

B.子彈嵌入擋板中后，小車將做往好運(yùn)動

C.子彈剛彈出時小車的速度大小為尸總等-

M十〃？

D.整套裝置損失的機(jī)械能為涓+2（%m）

9.（2022?江西新余高三期末）如圖所示，水平地面上緊挨著的兩個滑塊尸、Q之間有少量炸藥（質(zhì)量不計），爆

炸后尸、。沿水平地面向左、右滑行的最大距離分別為0』m、0.4m。己知尸、Q與水平地面間的動摩擦因

數(shù)相同，則P、Q的質(zhì)量之比加1："】2為（）

叫in2

A.4：1B.1：4

C.2：1D.1：2

1（）.,2022?湖北高考，7）一質(zhì)點做曲線運(yùn)動，在前一段時間內(nèi)速度大小由v增大到2v,在隨后的一段時間內(nèi)速

度大小由2,增大到前后兩段時間內(nèi)，合外力對質(zhì)點做功分別為陰和肌，合外力的沖量大小分別為八

和公下列關(guān)系式一定成立的是（）

A.卬2=31%,；2<3/I

B.W2=3WI，/2>/I

C.W2=7WI，/2<3/I

D.財=7W”/2>Zi

11.（2022?廣東黃金卷）如圖所示，建筑工地上的打機(jī)過程可簡化為：重錘從空中某一固定高度口靜止釋放,

與鋼筋混凝土預(yù)制樁在極短時間內(nèi)發(fā)生碰撞，并以共同速度下降一段距離后停下來。則（）

A.重錘質(zhì)量越大，撞預(yù)制樁前瞬間的速度越大

B.重錘質(zhì)量越大，預(yù)制樁被撞后瞬間的速度越大

C.碰撞過程中，重錘和預(yù)制樁的總機(jī)械能保持不變

D.整個過程中，重錘和預(yù)制樁的總動量保持不變

12.（2022?河南名校大聯(lián)考）在如圖所示的實驗裝置中，小球4、區(qū)完全相同。用小錘輕擊彈性金屬片，A球

做平拋運(yùn)動，同時8球做自由落體運(yùn)動，不計空氣阻力。在空中同一段下落的時間內(nèi)，下列說法正確的是

A.A球動能的變化大于B球動能的變化

B.八球動量的變化大于8球動量的變化

C.A球速度的變化小于B球速度的變化

D.A球速率的變化小干8球速率的變化

13.（2020?全國卷?。┘住⒁覂蓚€物塊在光滑水平桌面上沿同一直線運(yùn)動，甲追上乙，并與乙發(fā)生碰撞，碰撞

前后甲、乙的速度隨時間的變化婦圖中實線所示。已知甲的質(zhì)量?為1kg,則碰撞過程兩物塊損失的機(jī)械能

為（）

A.3JB.4J

C.5JD.6J

14.［多選］（2022?長春質(zhì)檢）如圖所示，內(nèi)壁光滑的圓筒豎直固定在地面上，筒內(nèi)有質(zhì)量分別為3陽、的剛性

小球從兩球直徑略小于圓筒內(nèi)徑，銷子離地面的高度為拔掉銷子，兩球自由下落。若。球與地面

問及。、人兩球之間均為彈性碰撞，碰撞時間極短，卜列說法正確的是（）

A.兩球下落過程中，力對。有豎直向下的壓力

B.。與〃碰后，〃的速度為0

C.落地彈起后，4能上升的最大高度為力

D.落地彈起后，人能上升的最大高度為4萬

15」多選］（2022?江淮十校聯(lián)考）如圖所示，質(zhì)量為M的足夠長的木板置于水平地面上，質(zhì)量為m的小滑塊以

初速度即滑上木板，已知小滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為〃，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.若木板與地面間光滑，則長木板的最終速度大小為器；

B.若木板與地面間光滑，則小滑塊與木板組成的系統(tǒng)最終能產(chǎn)生的內(nèi)能為Jim?

C.若木板與地面間的動摩擦因數(shù)也為"，則小滑塊與木板組成的系統(tǒng)最終能產(chǎn)生的內(nèi)能為

D.若木板與地面間的動摩擦因數(shù)也為〃，則在整個運(yùn)動過程中地面對木板的摩擦力的沖量大小為Mvo

16.（2022?山東省實驗中學(xué)模擬）如圖甲所示，固定光滑斜面上有質(zhì)量為機(jī)=6kg的物體，在大小為12N、

方向平行于斜面的拉力〃的作用下做勻速直線運(yùn)動，從內(nèi)=2.5m位置處拉力廠逐漸減小，力/隨位移x

的變化規(guī)律如圖乙所示，當(dāng)12=7m時拉力減為零，物體速度剛好為零，取火=10m/s2,下列說法正確的是

F/N

T-r-r

++卜VT

IIIaI

4.U-UU.4

12345

乙

A.斜面傾角。為30。

B.整個上滑的過程中,物體的機(jī)械能增加27J

C.物體勻速運(yùn)動時的速度大小為3m/s

D.物體在減速階段所受合外力的沖量為-12N-s

17」多選1（2022?貴陽聯(lián)考）如圖所示，質(zhì)量為M的長木板靜止在光滑水平面上，上表面OA段光滑，A8段粗

糙且長為/,左端。處固定輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用不可伸長的輕繩連接于豎直墻上，輕繩所能承受的最大拉力為

凡質(zhì)量為機(jī)的小滑塊以速度丫從八點向左滑動壓縮彈簧，彈簧的壓縮量達(dá)最大時細(xì)繩恰好被拉斷，再過一

段時間后長木板停止運(yùn)動，小滑塊恰未掉落。則（）

她苜尸

A.細(xì)繩被拉斷瞬間木板的加速度大小為專

B.細(xì)繩被拉斷瞬間彈簧的彈性勢能為

c.彈簧恢復(fù)原長時滑塊的動能為;加，

D.滑塊與木板A8間的動摩擦因數(shù)為加

18.有兩個用一根輕質(zhì)彈簧相連的木塊A、8靜止在光滑水平面上，其質(zhì)量〃?八=1kg、〃m=2.95kg,一顆質(zhì)

量為〃?=50g的子彈沿水平方向以由=400m/s的速度，在極短時間內(nèi)射穿A并留在B內(nèi),射穿A木塊后子

彈的速度變?yōu)樵瓉淼?0%。求：

4B

7777777/77x777777777/77^

（1）子彈剛穿過木塊八時，木塊人的速度%;

(2)系統(tǒng)運(yùn)動過程中彈簧的最大彈性勢能Ep；

(3)彈簧再次恢復(fù)原長時木塊A、〃的速度大小。

19.(2022?浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖所示，彈射器固定在高度為小的固定光滑桌面上，桌面左端無縫挨著一個

上表面為:光滑圓弧的小車，圓弧的半徑為R，在空中距地面高〃2處(高度未知)固定一個圓環(huán)，已知小車、

小球的質(zhì)量均為辦假設(shè)彈射器的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為小球的動能。某次測試時，彈射器的彈性勢能為心，

彈出的小球恰能水平經(jīng)過圓環(huán)圓心，然后恰能落回小車的圓弧，最后飛出小車。忽略小車的滾動摩擦和空

氣阻力的影響，小球可視為質(zhì)點，求：

(1)小球離開彈射器時的速度大小;

(2)圓環(huán)的高度〃2；

(3)小球先后兩次對小車做的功之比。

第三部分核心主干專題突破

專題2.5能量與動量

目錄

【突破高考題型】................................................................................1

題型一動量定理及應(yīng)用......................................................................1

題型二動量守恒定律及其應(yīng)用...............................................................3

類型1動量守恒的判斷..................................................................3

類型2多個物體多次作用問題...........................................................4

類型3“人船模型”的應(yīng)用................................................................5

題型三碰撞、爆炸與反沖.....................................................................6

題型四動量和能量的綜合問題................................................................7

類型1動力學(xué)、動量與能量觀點的綜合應(yīng)用...............................................7

類型2含有彈簧的動量和能量的綜合問題.................................................8

類型3子彈打木塊中的動量和能量的綜合問題............................................9

類型4板塊問題中的動量和能量的綜合問題..............................................9

【專題突破練】.................................................................................10

【突破高考題型】

題型一動量定理及應(yīng)用

1.沖量的三種計算方法

(1)公式法：/=a適用于求恒力的沖量。

(2)動量定理法：多用于求變力的沖量或產(chǎn)、/未知的情況。

(3)圖像法：用尸一，圖線與時間軸圍成的面積可求變力的沖量。若尸一，成線性關(guān)系，也可直

接用平均力求變力的沖量。

2.動量定理

⑴公式：F^t=inv'—mv（,

（2）應(yīng)用技巧

①研究對象可以是單一物體，也可以是物體系統(tǒng)。

②表達(dá)式是矢量式，需要規(guī)定正方向。

③在勻變速直線運(yùn)動中，如果題目不涉及加速度和位移，用動量定理比用牛頓第二定律求解

更簡捷。

④在變加速運(yùn)動中，產(chǎn)為加時間內(nèi)的平均沖力。

[例1]（2022?北京西城二模）一位同學(xué)在水平地面上做立定跳遠(yuǎn)，他從位置②起跳，到位

置⑤落地，位置③是他在空中的最高點，在位置②和⑤時他的重心到地面的距離近似相等。

以下說法正確的是（）

A.在位置③，人的速度為0

B.從位置②到⑤，重力對人的沖量幾乎為0

C.從位置②到⑤，重力做功幾乎為0

D.在位置②起跳至離地的過程中，支持力的沖顯與重力的沖量大小相等

【答案】C

【解析】人做斜拋運(yùn)動，則在位置③時，人有水平速度，即人的速度不為0,A錯誤；從

位置②到⑤，重力對人的作用時間不為零，根據(jù)/G=，〃即可知重力的沖量不為0,B錯誤；

從位置②到⑤，人的重心高度幾乎不變，則根據(jù)?1k=方必?可知，重力做功幾乎為0,C正

確；在位置②起跳至離地的過程中，人有了向上的速度，平均加速度向上，支持力大于重力，

則支持力的沖量大小大于重力的沖量大小，D錯誤。

[例2].如圖所示為某物業(yè)公司的宣傳提醒牌。從提供的信息知：一枚50g的雞蛋從17

樓（離地面人的頭部高度為45m）落下，能砸破人的頭骨。若雞蛋殼與人頭部的作用時間為

4.5x104s,人的質(zhì)量為50kg,重力加速度g取10m/s2,則頭骨受到的平均沖擊力約為()

一個口量的戚力

A.1700NB.2000N

C.33OOND.4500N

【答案】C

【解析】：雞蛋從45m高處自由落體，由運(yùn)動學(xué)規(guī)律可得速度為式=痂=30向5,對雞

蛋撞擊的過程，取向下為正方向，由動量定理：7j0=0—用內(nèi)解得：7rH33Q0N。

【例3】?(2021?福建高考)福建屬于臺風(fēng)頻發(fā)地區(qū)，各類戶外設(shè)施建設(shè)都要考慮臺風(fēng)影響。

已知1()級臺風(fēng)的風(fēng)速范圍為24.5m/s?28.4m/s,16級臺風(fēng)的風(fēng)速范圍為51.()m/s~56.0m/s。

若臺風(fēng)迎面垂直吹向一固定的交通標(biāo)志牌，則16級臺風(fēng)對該交通標(biāo)志牌的作用力大小約為

10級臺風(fēng)的()

A.2倍B.4倍

C.8倍D.16倍

【答案】B

【解析】設(shè)交通標(biāo)志牌迎風(fēng)面積為S,空氣密度為〃，標(biāo)志牌對臺風(fēng)的作用力為F,在/

時間內(nèi)吹向標(biāo)志牌的空氣體積為WS,空氣質(zhì)量“由動量定理，F(xiàn)t=mv—(—mv),解

得F=2pSv2,由牛頓第三定律，可知臺風(fēng)對該交通標(biāo)志牌的作用力大小為F=F=2pSv2,

10級臺風(fēng)的風(fēng)速我們?nèi)?7m/s,16級臺風(fēng)的風(fēng)速我們?nèi)?4m/s估算，16級臺風(fēng)對該交通標(biāo)

志牌的作用力大小與10級臺風(fēng)對該交通標(biāo)志牌的作用力大小之比為器=品=等=4,即

16級臺風(fēng)對該交通標(biāo)志牌的作用力大小約為10級臺風(fēng)的4倍，選項B正確。

【方法總結(jié)】用動量定理解決連續(xù)的流體問題

在FI常的生活和生產(chǎn)中，常涉及流體的連續(xù)相互作用問題，解決方法構(gòu)建柱體微元模型，然

后用動最定理分析求解。分析步驟如下：

題型二動量守恒定律及其應(yīng)用

類型1動量守恒的判斷

【例1］如圖所示，將質(zhì)量為Mi、半徑為R且內(nèi)壁光滑的半圓槽置于光滑水平面上，左側(cè)

靠墻角，右側(cè)靠?質(zhì)量為歷2的物塊。今讓一質(zhì)量為〃?的小球自左側(cè)槽口A的正上方力高處

從靜止開始落卜，與圓弧槽相切自A力、進(jìn)入槽內(nèi)，則以卜結(jié)論中正確的是（）

A.小球在槽內(nèi)運(yùn)動的全過程中，小球與半圓槽在水平方向動量守恒

B.小球在槽內(nèi)運(yùn)動的全過程中，小球、半圓槽和物塊組成的系統(tǒng)動量守恒

C.小球離開C點以后，將做豎直上拋運(yùn)動

D.槽將不會再次與墻接觸

【答案】D

【解析】小球從A運(yùn)動到B的過程中，半圓槽對球的支持力沿半徑方向指向圓心，而小

球?qū)Π雸A槽的壓力方向與小球受到的支持力方向相反指向左下方，因為有豎宜墻擋住，所以

半圓槽不會向左運(yùn)動，可見，該過程中，小球與半圓槽在水平方向受到外力作用，動量并不

守恒，而由小球、半圓槽和物塊組成的系統(tǒng)動量也不守恒，A、B錯誤；當(dāng)小球運(yùn)動到。點

時，它的兩個分運(yùn)動的合速度方向并不是豎直向上，所以此后小球做斜上拋運(yùn)動，C錯誤;

因為全過程中，整個系統(tǒng)在水平方向上獲得了水平向右的沖量，最終槽將不會再次與墻接觸,

D正確。

【規(guī)律總結(jié)】判斷系統(tǒng)動量是否守恒的“三注意”

(I)注意所選取的系統(tǒng)——所選的系統(tǒng)組成不同，結(jié)論往往不同。

⑵注意所研究的運(yùn)動過程——系統(tǒng)的運(yùn)動分為多個過程時，有的過程動量守恒，另?過程

則可能不守恒。

(3)注意守恒條件——整體不滿足系統(tǒng)動量守恒條件時，在某一方向可能滿足動量守恒條件。

類型2多個物體多次作用問題

【例2］［多選］(2020?全國卷H)水平冰面上有一固定的照直擋板。一滑冰運(yùn)動員面對擋板靜

止在冰面上，他把一質(zhì)量為4.0kg的靜止物塊以大小為5.0m/s的速度沿與擋板垂直的方向

推向擋板，運(yùn)動員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞，速度反向，追上運(yùn)動員時，運(yùn)動員

又把物塊推向擋板，使其再一次以大小為5.()m/s的速度與擋板彈性碰撞?？偣步?jīng)過8次這

樣推物塊后，運(yùn)動員退行速度的大小大于5.0m/s,反彈的物塊不能再追上運(yùn)動員。不計冰

面的摩擦力，該運(yùn)動員的質(zhì)量可能為()

A.48kgB.53kg

C.58kgD.63kg

【答案】BC

【解析】選運(yùn)動員退行速度方向為正方向，設(shè)運(yùn)動員的質(zhì)量為“，物塊的質(zhì)最為物塊

被推出時的速度大小為V0,運(yùn)動員第一次推出物塊后的退行速度大小為根據(jù)動量守恒

定律，運(yùn)動員第一次推出物塊時有物塊與擋板發(fā)生彈性碰撞，以等大的速率

反彈；第二次推出物塊時有Mvi+/nvo=—/HVo+^Vfv2?依此類推，〃巾o=—〃?%+"白，…，

M1,7+mvo=—nivo+A7VR,乂運(yùn)動員的退行速度vo,v?<vo,解得\3m<M<\5m,即52kg

VM<60kg,故B、C項正確，A、D項錯誤。

【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用動量守恒定律解題的兩點提醒

(1)應(yīng)用動量守恒時應(yīng)注意系統(tǒng)的組成和過程的選取。

(2)兩物體沿同一直線運(yùn)動，避免相撞的臨界條件是二者同向同速。

類型3“人船模型”的應(yīng)用

【例3】(多選)如圖所示，水平面上一半圓弧槽N的質(zhì)量為2/〃，槽的半徑為「，槽兩側(cè)的

最高點等高。將一質(zhì)量為小且可視為質(zhì)點的小球M由槽右側(cè)的最島點無初速釋放，所有接

觸面的摩擦均可忽略。第一種情況圓弧槽固定不動，第二種情況圓弧槽可自由滑動。下列說

法正確的是()

A.兩種情況下，小球均可運(yùn)動到圓弧槽左側(cè)最高點

氏兩種情況下，小球滑到圓弧槽最低點時的速度大小之比為I:I

c第二種情況下，小球滑到圓弧槽最低點時圓弧槽的速度大小為

D.第二種情況下，圓弧槽距離出發(fā)點的最遠(yuǎn)距離為余■

【答案】ACD

【解析】當(dāng)圓弧槽固定時，由機(jī)械能守恒定律可知，小球M能運(yùn)動到圓弧槽左側(cè)的最高

點；當(dāng)圓弧槽可自由滑動時，對于M、N組成的系統(tǒng)，水平方向動量守恒，小球M從圓弧

槽的右側(cè)最高點由靜止釋放時，系統(tǒng)動量為零，設(shè)小球M到達(dá)左側(cè)最高點的速度為0，則

VI=0,由機(jī)械能守恒定律可知，小球M能運(yùn)動到圓弧槽左側(cè)的最高點，選項A正確；當(dāng)圓

弧槽固定時.，設(shè)小球M滑到最低點時的速度為小，則由機(jī)械能守恒定律得〃?gr=最小而解

得詬.；當(dāng)圓弧槽可自由滑動時。，設(shè)小球M滑到最低點時的速率為「此時圓弧槽的

速率為K，由水平方向動量'守恒得0=/m，一2〃億解得根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgr

=%?/+京2〃d，解得產(chǎn)2\^2、/=、即，兩種情況下，小球滑到圓弧槽最低點時的

速度大小之比為?。荷x項B錯誤，C正確：第二種情況下，小球M和圓弧槽組成的系

統(tǒng)在水平方向上動量守恒，當(dāng)小球運(yùn)動到左側(cè)最高點時，圓弧槽向右運(yùn)動的位移最大，設(shè)圓

弧槽向右的最大位移為x,根據(jù)動量守恒定律得

7>?

m(2r—x)=2m.x,解得x=(,選項D正確。

【方法總結(jié)】

1.應(yīng)用“人船模型”解題的兩個關(guān)鍵點

(D“人船模型”的應(yīng)用條件：相互作用的物體原來都靜止，且滿足動量守恒條件。

（2）人、船位移大小關(guān)系：加人X人=加的X船，X人+工期=乙（乙為船的長度）。

2.此題是把“人船模型”由直線運(yùn)動變?yōu)榍€運(yùn)動，此外還可以把“人船模型”變?yōu)椤叭塑嚹Ｐ汀?

如圖甲所示；或把“人船模型”由水平方向變?yōu)樨Q直方向，如圖乙所示。解法相似，一是由動

量守恒定律列式，二是由幾何關(guān)系列式，再聯(lián)立求解。

題型三碰撞、爆炸與反沖

【例1】（2022?淮北模擬）兩球A、4在光滑水平面上沿同一直線、同一方向運(yùn)動，〃M=2kg,

/沏=3kg,VA=6m/s,VB=2m/so當(dāng)A追上B并發(fā)生碰撮后，A、B速度的可能值是（）

A.w=4.5m/s,VB=3m/s

B.w=3m/s,v?=4in/s

C.VA=-\.5m/s,VB=7m/s

D.w=7.5m/s,VB=\m/s

【答案】B

【解析】：考慮實際情況，碰撞后A的速度不可能大『3的速度，故A、D錯誤，B、C

滿足；A、B碰撞過程，系統(tǒng)不受外力，故碰撞過程系統(tǒng)總動量守恒，計算易知，B、C均

滿足；根據(jù)能量守恒定律，碰撞后的系統(tǒng)總動能應(yīng)該小于或等于碰撞前的系統(tǒng)總動能，碰撞

前總動能為42LB選項對應(yīng)的總動能為33J,C選項對應(yīng)的總動能為75.75J,故C錯誤，

B正確。

【規(guī)律總結(jié)】碰撞遵循的三個原則

碰撞時間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，動量可看作守恒，

動量守恒

有〃?1%+用2也=〃?1也'+，吸也'

碰撞后系統(tǒng)的總動能不大于碰撞前系統(tǒng)的總動能。系

統(tǒng)動能滿足關(guān)系式：

動能不增加

2

品1也2+產(chǎn)2V2]登“2[y['2+-W2也,

物理情境可按碰撞情境可分為追趕碰撞和相向碰撞，兩物體碰撞

行性前后的物理情境應(yīng)與實際相一致

【例2】如圖所示，哈九中航天科普節(jié)活動中，某同學(xué)將靜置在地面上的質(zhì)量為M（含水）的

自制“水火箭”釋放升空，在極短的時間內(nèi)，質(zhì)量為，〃的水以相對地面為vo的速度與豎直方

向成8角斜向下噴出。已知重力加速度為g,空氣阻力不計，下列說法正確的是（）

A.火箭的推力來源于火箭外的空氣對它的反作用力

B.水噴出的過程中，火箭和水機(jī)械能守恒

C.火箭的水平射程為77盧弋丁sin2〃

D?火箭上升的最大高度為城土

【答案】C

【解析】火箭的推力來源于向下噴出的水對它的反作用力，A錯誤；水噴出的過程中，瓶

內(nèi)氣體做功，火箭及水的機(jī)械能不守恒，B錯誤；在水噴出后的瞬間，火箭獲得的速度最大,

由動量守恒定律有（M-Mu—〃?vo=O,解得，=譚），火箭上升的時間為/=上詈

〃八，osin02〃w()cos0

弋，火箭的水平射程為x=vsin〃.2r=■sin20,C正

2M—〃i(M-m)g(M—m)~g

確；水噴出后，火箭做斜上拋運(yùn)動有（VCOS6）2=2城，解得仁2g（2二〃）？cos2。,D錯誤。

【例3】（2021?浙江1月選考，12）在爆炸實驗基地有一發(fā)射塔，發(fā)射塔正下方的水平地面上

安裝有聲音記錄儀。爆炸物自發(fā)射塔豎直向上發(fā)射，上升到空中最高點時炸裂成質(zhì)量之比為

2：1、初速度均沿水平方向的兩個碎塊。遙控器引爆瞬間開始計時，在5s末和6s末先后

記錄到從空氣中傳來的碎塊撞擊地面的響聲。已知聲音在空氣中的傳播速度為340m/s,忽

略空氣阻力。下列說法正確的是（）

A.兩碎塊的位移大小之比為1:2

B.爆炸物的爆炸點離地面高度為80m

C.爆炸后質(zhì)量大的碎塊的初速度為68m/s

D.爆炸后兩碎塊落地點之間的水平距離為340m

【答案】B

【解析】設(shè)碎塊落地的時間為,，質(zhì)量大的碎塊水平初速度為v,則由動量守恒定律知質(zhì)

量小的碎塊水平初速度為2〃爆炸后的碎塊做平拋運(yùn)動，下落的高度相同，則在空中運(yùn)動

的時間相同，由水平方向;v=v（"知落地水平位移之比為I：2,碎塊位移5=I>2,可見

兩碎塊的位移大小之比不是1:2,故A項錯誤;據(jù)題意知,W=（5—f）x340,又2可=（6—，）x340,

聯(lián)立解得1=4s,v=85m/s,故爆炸點離地面高度為g;gP=80m,所以B項正確，C項

錯誤；兩碎塊落地點的水平距離為Ar=3w=l020m,故D項錯誤。

【方法總結(jié)】

爆炸與反沖的三個特點

（1）時間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)動量守恒或某個方向的動量守恒。

（2）因有內(nèi)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，系統(tǒng)機(jī)械能會增加，要利用能量守恒定律解題。

（3）若系統(tǒng)初始狀態(tài)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則爆炸或反沖后系統(tǒng)內(nèi)物體速度往往方向相反。

題型四動量和能量的綜合問題

類型1動力學(xué)、動量與能量觀點的綜合應(yīng)用

【例1】（2022?強(qiáng)基聯(lián)盟統(tǒng)測）如圖所示，半徑分別為R和/*=￥的兩光滑網(wǎng)軌道安置在同一

豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CO相連，在水平軌道CO上〃、人兩小球之

間有一被壓縮的彈簧（小球與彈簧不連接），同時釋放。、方兩小球，兩球恰好能通過各自圓

軌道的最高點，已知〃球的質(zhì)量為加。則（）

R

CD

A八轉(zhuǎn)的產(chǎn)口/應(yīng)

A.力球的質(zhì)量為

B.兩小球與彈簧分離時動能相等

C.彈簧釋放前至少應(yīng)具有的彈性勢能為Ep=5〃?gR

D.”球運(yùn)動到與圓心等高點時對軌道的壓力為3巾mg

【答案】D

【解析】。、〃球恰好能通過各自圓軌道的最高點，在最高點，根據(jù)重力提供向心力有〃吆

=簧，解得兩球在最高點速度分別為陪=痂，環(huán)=折，由最低點到最高點過程，根據(jù)

動能定理有一2"?gR=%n/2—%’,故在最低點時的速度分別為玲=小誦，的=，礪，由動

量守恒定律有〃小%如解得〃小=蛆/〃“=也"1,A錯誤；兩小球與彈簧分離時動曷大小

相等、方向相反，兩球質(zhì)量不同，根據(jù)以=%”=噓，則動能大小并不相等，B錯誤；彈

簧推開人力球的過程中，由機(jī)械能守恒定律可得彈簧釋放前應(yīng)具有的彈性勢能為Ep=J〃?"W

+5碗=4聲x5〃?gR,C錯誤;b球運(yùn)動到與圓心等高處時，根據(jù)動能定理得一〃

一解得根據(jù)FN=叫骨得FN=3〃?bg=3巾mg,根據(jù)牛頓第三定律可知，b

球?qū)A軌道的壓力為3小mg>D正確。

【方法技巧】動量與能量觀點的應(yīng)用技巧

⑴兩種觀點

這兩個觀點研究的是物體或系統(tǒng)所經(jīng)歷的過程中運(yùn)動狀態(tài)的改變，即只要知道過程的始末狀

態(tài)動量、動能和力在過程中的沖量和所做的功，即可對問題進(jìn)行求解。

(2)應(yīng)用技巧

①在解決涉及時間的問題時可采用動量定理，在解決涉及位移的問題時，可考慮選用能量觀

點的表達(dá)式。

②動量觀點的表達(dá)式都是矢量表達(dá)式，也可以寫出分量表達(dá)式，但能量觀點的表達(dá)式是標(biāo)

量表達(dá)式，沒有分量表達(dá)式。

類型2含有彈簧的動量和能量的綜合問題

【例2】如圖所示，在光滑的水平面上靜止放一質(zhì)量為，〃的木板B,木板表面光滑，左端固

定一輕質(zhì)彈簧。質(zhì)量為2m的木塊4以速度w從板的右端水平向左滑上木板8。在木塊4

與彈簧相互作用的過程中，下列判斷正確的是（）

叩一

B一[~|2m

A.彈簧壓縮量最大時，木板8運(yùn)動速率最大

B.木板8的加速度一直增大

C.彈簧給木塊A的沖量大小為竽

D.彈簧的最大彈性勢能為等

【答案】D

【解析】木塊與木板發(fā)生彈性碰撞，動量守恒；當(dāng)木塊與長木板速度相等時，彈簧的壓縮量

最大.此后彈