最短路徑問題情境導(dǎo)入

同學(xué)們，每天放學(xué)從咱們這棟教學(xué)樓去餐廳吃飯的時候，你會走樓下圓形草坪兩邊的哪條路去得餐廳呢？為什么這么選呢？兩點之間，線段最短現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.

如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl問題1

現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直線l相交于一點C.方法揭曉作法：（1）作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．

CABlB′問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BA造橋選址問題BA●●

?NMNMNM折移

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAＭＮBAＭＮA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長度改變了BAＭＮ3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長度有沒有改變呢？問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN.A·BMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.方法歸納解決最短路徑問題的方法

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點，A、A′關(guān)于直線m對稱，A、B關(guān)于直線n對稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）A．P是m上到A、B距離之和最短的點，Q是m上到A、B距離相等的點B．Q是m上到A、B距離之和最短的點，P是m上到A、B距離相等的點C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點A2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）