22.3實際問題與二次函數(shù)第二十二章二次函數(shù)

課時1面積最值問題1.分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.2.會運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值.3.能應用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形中最大面積問題.重點：探究利用二次函數(shù)的最值(或增減性)解決實際問題的方法.難點：如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題.學習目標

將一個物體拋向空中，時間與高度將成二次函數(shù)關(guān)系，那么你想知道該物體最多可以拋多高嗎？情景導入寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并寫出其最值.（1）y=x2-4x-5;(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：（1）開口方向：向上；對稱軸：x=2；頂點坐標：（2，-9）；最小值：-9.（2）開口方向：向下；對稱軸：x=；頂點坐標：（

，

）；最大值：.引例：從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的運動時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2求二次函數(shù)的最大（或最小）值探究新知追問1

這個問題研究的是哪兩個變量之間的關(guān)系？

小球的高度h與小球的運動時間t之間的關(guān)系.引例：

h=

30t-

5t2(0≤t≤6)．追問2

如何判斷小球的運動

時間是多少s時，小球最高呢？

畫出二次函數(shù)圖象.t/sh/mO1234562040h=30t

?5t2(0≤t≤6)

追問3

根據(jù)觀察，小球的最高點對應函數(shù)圖象的哪個點呢？

追問4

小球的運動中最大高度對應函數(shù)中的哪個值？

引例：

h=

30t-

5t2(0≤t≤6)．t/sh/mO1234562040h=30t

?5t2(0≤t≤6)

頂點.頂點的縱坐標.追問5

如何求出小球的最大高度？

故小球運動的時間是

3s時，小球最高.小球運動中的最大高度是

45m．t/sh/mO1234562040h=

30t

?5t2(0≤t≤6)

∵0＜3＜6，問題1

二次函數(shù)

的最值由什么決定？xyOxyO最小值最大值二次函數(shù)

的最值由a及自變量的取值范圍決定.探究新知先判斷是否在限定范圍內(nèi)，若在，則二次函數(shù)在x=時，取得最大（或?。┲?；若不在，則根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定二次函數(shù)的最值.問題2

當自變量x為全體實數(shù)時，二次函數(shù)

的最值是多少？當a＞0時，有

，此時

.

當a＜0時，有

，此時

.問題3

當自變量x有限制時，二次函數(shù)

的最值如何確定？例1

求下列函數(shù)的最大值與最小值：x0y解：-31（1）當

時，y最小值=當

時，典型例題解：Oxy1-3（2）即x在對稱軸的右側(cè).當

時，函數(shù)的值隨著x的增大而減小.當

時，

當自變量的范圍有限制時，二次函數(shù)的最值可以根據(jù)以下步驟來確定：1.配方，求二次函數(shù)的頂點坐標及對稱軸.2.畫出函數(shù)圖象，標明對稱軸，并在橫坐標上標明x的取值范圍.3.判斷，判斷x的取值范圍與對稱軸的位置關(guān)系.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當x取何值時函數(shù)有最大或最小值.然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值.歸納總結(jié)二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值例2

用總長為60米的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S(平方米)隨矩形一邊長l(米)的變化而變化.當l是多少米時，場地的面積S最大？問題1

矩形面積公式是什么？問題2

如何用l表示其鄰邊的長？問題3

面積S的函數(shù)關(guān)系式是什么？矩形面積=長×寬鄰邊長為(30-l)米S=(30-l)l=-l2+30l典型例題解：根據(jù)題意得S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0<l<30).因此，當

時，S有最大值也就是說，當l是15m時，場地的面積S最大.51015202530100200lsO問題4

當l是多少米時，場地的面積S最大？變式

如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園.60-2xxx(1)當墻長32m時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？分析：設(shè)垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為________m.矩形菜園的面積S=_________________________.想一想

如何求解自變量x的取值范圍？墻長32m對此題有什么作用？0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.(60-2x)x(60－2x)＝－2x2＋60x∴當x=15m時，S取最大值，此時S=450m2.解：設(shè)垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為(60-2x)m.∴矩形菜園的面積S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.∵S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450，設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量由題意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.根據(jù)題意，求出自變量的取值范圍寫出二次函數(shù)解析式，化為頂點式結(jié)合自變量的取值范圍可知，該二次函數(shù)在其頂點處取得最大值(2)當墻長18m時，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)垂直于墻的邊長為xm，由（1）知S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450.問題1

與(1)有什么區(qū)別？試一試

在(2)中，求自變量的取值范圍.21≤

x

＜30.是否依然在x=15時，S取得最大值？問題2

當21≤

x

＜30時，S的值隨x的增大，是如何變化的？當x取何值時，S取得最大值？當21≤

x

＜30時，S隨x的增大而減小，當x=21時，S取得最大值，此時S=－2×(21－15)2+450=378m2.注意:實際問題中求解二次函數(shù)最值問題時，需要結(jié)合自變量的取值范圍，不一定都是在頂點處取得最值.二次函數(shù)解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi).

歸納總結(jié)1.已知直角三角形的兩直角邊之和為8，則該三角形的面積的最大值是________.82.如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，動點P從點A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動(不與點B重合)，動點Q從點B開始BC以4cm/s的速度移動(不與點C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么經(jīng)過

秒，四邊形APQC的面積最小.3ABCPQ當堂檢測3.如圖，嘉嘉欲借助院子里的一面長

15

m

的墻，想用長為

40

m

的網(wǎng)繩圍成一個矩形

ABCD

給奶奶養(yǎng)雞，怎樣使矩形

ABCD

的面積最大呢?

同學淇淇幫她解決了這個問題，淇淇的思路是：設(shè)

BC

的邊長為

xm.

矩形

ABCD

的面積為

S

m2不考慮其他因素，請幫他們回答下列問題：(1)

求

S

與

x

的函數(shù)關(guān)系式.

直接寫出

x

的取值范圍；(2)

x

為何值時，矩形

ABCD

的面積最大?ABCD15m∴當x＜20時，S隨

x的增大而增