微突破比賽背景下的概率分布問題一、常見的比賽規(guī)則1.2n－1局n勝制：這種規(guī)則的特點為一旦某方獲得n次勝利即終止比賽，所以若比賽提前結(jié)束，則一定在最后一次比賽中某方達到n勝.2.連勝制：規(guī)定某方連勝m場即終止比賽，所以若提前結(jié)束比賽，則最后m場連勝且之前沒有達到m場連勝.3.比分差距制：規(guī)定某方比對方多m分即終止比賽，此時首先根據(jù)比賽局數(shù)確定比分，在得分過程中要注意使兩方的分差小于m.二、解答此類題目的技巧1.善于引入變量表示事件：可用“字母＋變量角標”的形式表示事件“第幾局勝利”.例如Ai：表示“第i局比賽勝利”，則Ai表示“第i局比賽失敗2.善于使用對立事件求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用P（A）＝1－P（A）解出所求事件的概率.在處理離散型隨機變量分布列時，也可利用概率和為1的特點，先求出包含情況較少的事件的概率，再間接求出包含情況較多的事件的概率.2n－1局n勝制為了豐富在校學生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運動會活動，學校設(shè)置項目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項目，進行班級對抗賽.每一個比賽項目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項目A中甲班每一局獲勝的概率為23，在項目B中甲班每一局獲勝的概率為12，且每一局之間沒有影響（1）求甲班在項目A中獲勝的概率；（2）設(shè)甲班獲勝的項目個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.解：（1）記事件A＝“甲班在項目A中獲勝”，則P（A）＝23×23×23＋C32×（23）2×13×23＋C42×（23）2×（13（2）記事件B＝“甲班在項目B中獲勝”，則P（B）＝（12）3＋C32×（12）4＋C42×（X的可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝1781×12P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝6481×12＝P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝12所以X的分布列為X012P17132故E（X）＝0×17162＋1×12＋2×3281＝209162連勝制甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨立（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和期望.解：（1）設(shè)Ai＝“甲在第i局獲勝”，事件A＝“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，所以P（A）＝P（A1A2）＋P（A1A2A3）＋P（A1A2A3A4）＝23×23＋13×23×23＋23×（2）X的可能取值為2，3，4，5，則P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（A1A2）＝（23）2＋（13）2＝59，P（X＝3）＝P（A1A2A3）＋P（A1A2A3）＝13×（23）2P（X＝4）＝P（A1A2A3A4）＋P（A1A2A3A4）＝23×13×（23）2＋13×P（X＝5）＝P（A1A2A3A4）＋P（A1A2A3A4）＝23×13×23×13＋13所以X的分布列為X2345P52108所以E（X）＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×8比分差距制2023年1月26日，世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟（WTT）支線賽多哈站結(jié)束，中國隊包攬了五個單項冠軍，乒乓球單打規(guī)則是首先由發(fā)球員發(fā)球2次，再由接發(fā)球員發(fā)球2次，兩者交替，勝者得1分.在一局比賽中，先得11分的一方為勝方（勝方至少比對方多2分），10平后，先多得2分的一方為勝方.甲、乙兩位同學進行乒乓球單打比賽，甲在一次發(fā)球中，得1分的概率為35，乙在一次發(fā)球中，得1分的概率為12.如果在一局比賽中，由乙隊員先發(fā)球（1）甲、乙的比分暫時為8∶8，求最終甲以11∶9贏得比賽的概率；（2）求發(fā)球3次后，甲的累計得分的分布列及數(shù)學期望.解：（1）甲以11∶9贏得比賽，共計20次發(fā)球，在后4次發(fā)球中，需甲在最后一次獲勝，最終甲以11∶9贏得比賽的概率為P＝C21×（12）2×（35）2＋（12）2×2（2）設(shè)甲累計得分為隨機變量X，X的可能取值為0，1，2，3.P（X＝0）＝（12）2×25＝P（X＝1）＝C21×（12）2×25＋（12）2P（X＝2）＝C21×（12）2×35＋（12）2P（X＝3）＝（12）2×35＝所以隨機變量X的分布列為X0123P1723所以E（X）＝0×110＋1×720＋2×25＋3×31.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是0.18.解析：甲隊以4∶1獲勝包含的情況有：①前5場比賽中，第一場負，另外4場全勝，其概率為p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5場比賽中，第二場負，另外4場全勝，其概率為p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5場比賽中，第三場負，另外4場全勝，其概率為p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5場比賽中，第四場負，另外4場全勝，其概率為p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，則甲隊以4∶1獲勝的概率為p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.2.某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過初賽，進入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲、乙兩人進行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進行下一局比賽，直到一人連勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為12，且每局比賽相互獨立.則比賽進行四局結(jié)束的概率為18解析：比賽進行四局結(jié)束有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙連勝；第一局乙獲勝，后三局丙連勝，第一局甲獲勝，后三局丙連勝的概率P1＝12×12×12×12＝116，第一局乙獲勝，后三局丙連勝的概率P2＝12×12×12×12＝116，故比賽進行四局結(jié)束的概率P＝P13.（2023·新高考Ⅰ卷21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，則E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y解：（1）設(shè)“第2次投籃的人是乙”為事件A，則P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.（2）設(shè)“第i次投籃的人是甲”的概率為Pi，則第i－1次投籃的人是甲的概率為Pi－1，第i－1次投籃的人是乙的概率為1－Pi－1，則Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），即Pi＝15＋25Pi－1（i≥則Pi－13＝25（Pi－1－1又P1＝12，∴P1－13＝12－13＝16≠0，∴數(shù)列{Pi－13}是以∴Pi－13＝16（25）i－1，即Pi＝16（25）i∴第i次投籃的人是甲的概率為16（25）i－1＋（3）設(shè)第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當Xi＝1時，表示第i次投籃的人是