課下鞏固精練卷(二十七)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)1．設(shè)函數(shù)f(x)＝x22－klnx，k(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間1，e解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．由f(x)＝x22－klnx(得f′(x)＝x－kx由f′(x)＝0，解得x＝k(負(fù)值舍去)．f′(x)與f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上隨x的變化情況如下表．x0，kkf′(x)－0＋f(x)↘k↗所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0，k，單調(diào)遞增區(qū)間是kf(x)在x＝k處取得極小值fk＝k1?(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為fk＝k1?因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以k1?lnk2≤當(dāng)k＝e時(shí)，f(x)在區(qū)間1，e上單調(diào)遞減且fe＝所以x＝e是f(x)在區(qū)間1，e當(dāng)k>e時(shí)，f(x)在區(qū)間1，e上單調(diào)遞減且f(1)＝12>0，fe＝所以f(x)在區(qū)間1，e綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間1，e2．(2024·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx－2x(1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在(0，16]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2lnx－2x，該函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x又f(1)＝－2，f′(1)＝1，因此，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.(2)①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝ax則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)＝alnx－2x＝0可得2a令g(x)＝lnxx，其中x>0，則直線y＝2a與曲線y＝gg′(x)＝xx令g′(x)＝0，可得x＝e2<16，列表如下，x(0，e2)e2(e2，16]g′(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，16]上的極大值為g(e2)＝2e，且g(16)＝ln2，作出g(x由圖可知，當(dāng)ln2≤2a<2e，即e<a≤2ln2時(shí)，直線y＝2a與曲線y＝g(x)的圖象在(0，16]內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x3．(2024·渭南模擬)已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋sinx+(1)求f(x)在(0，π)上的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝x2＋4－4f(x)，試判斷g(x)在[0，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解：(1)∵f(x)＝xsinx＋sinx+π2＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcos∵0<x<π，∴由f′(x)>0，得0<x<π2；由f′(x)<0，得π2<∴f(x)在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為0，π2，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)g(x)＝x2＋4－4f(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，x≥0，則g(0)＝0，g′(x)＝2x(1－2cosx)，當(dāng)x∈0，π3時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，g(x)<g(0)當(dāng)x∈π3，5π3時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，g5π∴g(x)在0，5當(dāng)x≥5π3時(shí)，g(x)>x2＋4－4x－4＝x2－4x≥5π32?4×又g(0)＝0，∴g(x)在[0，＋∞)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．4．(2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝ax－1x－(a＋1)lnx(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－1x－lnx，x則f′(x)＝1x2－1x當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；所以f(x)max＝f(1)＝－1.(2)f(x)＝ax－1x－(a+1)lnx，x則f′(x)＝a＋1x2－a+1x當(dāng)a≤0時(shí)，ax－1<0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0<a<1時(shí)，1a>1，在(0，1)，1a,+∞上，f′(x)>0，f在1,1a上，f′(x)<0，f(x又f(1)＝a－1<0，當(dāng)x趨近正無窮大時(shí)，f(x)趨近于正無窮大，所以f(x)僅在1a當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝(x?1)2x所以f(x)單調(diào)遞增，又f(1)＝a－1＝0，所以f(x)有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，1a<1，在0,1a，1,+∞上，f′(x)>0，f在1a,1上，f′