數(shù)二題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的間斷點(diǎn)是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.無(wú)間斷點(diǎn)2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.2D.不存在3.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$2x$B.$x$C.$3x^2$D.$x^3$4.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，則$\intf(2x)dx=$（）A.$F(2x)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x)+C$C.$2F(2x)+C$D.$F(x)+C$5.曲線(xiàn)$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線(xiàn)斜率為（）A.0B.1C.eD.-16.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)是$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.08.已知函數(shù)$y=\cosx$，則$y^\prime=$（）A.$\sinx$B.-$\sinx$C.$\cosx$D.-$\cosx$9.極限$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.$\infty$10.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,0)$B.$(0,+\infty)$C.$(-\infty,+\infty)$D.$[0,+\infty)$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=x^3$D.$y=e^x$2.以下哪些是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（）A.$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$B.$(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime$C.$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}(v\neq0)$D.$(u^n)^\prime=nu^{n-1}$3.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x^3dx$B.$\int_{-1}^{1}x^2dx$C.$\int_{-1}^{1}\sinxdx$D.$\int_{-1}^{1}e^xdx$4.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可微的等價(jià)條件有（）A.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)B.$\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)$C.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)D.函數(shù)在點(diǎn)$x_0$處有極限5.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)6.計(jì)算定積分可能用到的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.湊微分法7.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.$y=e^x$B.$y=\lnx$C.$y=x^3$D.$y=-x$8.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，則存在$\xi\in(a,b)$使得（）A.$f^\prime(\xi)=0$B.$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$C.函數(shù)在$\xi$處有極值D.函數(shù)在$\xi$處切線(xiàn)斜率為09.下列關(guān)于極限的說(shuō)法正確的有（）A.極限存在則左右極限都存在且相等B.無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小量C.兩個(gè)無(wú)窮大量的和一定是無(wú)窮大量D.極限為無(wú)窮大表示極限不存在10.求函數(shù)極值的步驟包括（）A.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)B.令導(dǎo)數(shù)為0求出駐點(diǎn)C.用駐點(diǎn)劃分定義域區(qū)間D.判斷駐點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)的符號(hào)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若$f^\prime(x_0)=0$，則$x_0$一定是函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）4.函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處不可導(dǎo)。（）5.無(wú)窮小量就是0。（）6.兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和。（）7.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$一定存在。（）8.函數(shù)$y=\sinx$的周期是$2\pi$。（）9.導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。（）10.積分$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$收斂。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上最值的步驟。先求$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)的駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)，再計(jì)算這些點(diǎn)以及端點(diǎn)$a,b$處的函數(shù)值，最后比較這些值大小，最大的是最大值，最小的是最小值。2.簡(jiǎn)述不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。聯(lián)系：定積分計(jì)算可借助不定積分的原函數(shù)，用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，定積分是一個(gè)數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)。3.說(shuō)明函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，并舉例?？蓪?dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)，但不可導(dǎo)；$y=x^2$在任意點(diǎn)可導(dǎo)且連續(xù)。4.簡(jiǎn)述用洛必達(dá)法則求極限的條件。函數(shù)$f(x)$與$g(x)$在某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且$g^\prime(x)\neq0$，極限$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型，此時(shí)$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=x^3-3x$的單調(diào)性與極值情況。求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$。令$y^\prime=0$得駐點(diǎn)$x=\pm1$。當(dāng)$x\lt-1$或$x\gt1$時(shí)，$y^\prime\gt0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$-1\ltx\lt1$時(shí)，$y^\prime\lt0$，函數(shù)遞減。極大值為$y(-1)=2$，極小值為$y(1)=-2$。2.討論定積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用。定積分可用于計(jì)算平面圖形面積、立體體積等幾何問(wèn)題；在物理中計(jì)算變力做功、物體運(yùn)動(dòng)路程等；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域可計(jì)算總量、成本等，通過(guò)分割、近似、求和、取極限的思想解決實(shí)際問(wèn)題。3.討論如何判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，并舉例說(shuō)明。若存在非零常數(shù)$T$，使得$f(x+T)=f(x)$對(duì)定義域內(nèi)任意$x$都成立，則$f(x)$是周期函數(shù)。例如$y=\sinx$，$T=2\pi$時(shí)，$\sin(x+2\pi)=\sinx$，所以是周期函數(shù)；而$y=x^2$找不到這樣的$T$，不是周期函數(shù)。4.討論導(dǎo)數(shù)在優(yōu)化問(wèn)題中的作用。在優(yōu)化問(wèn)題中，導(dǎo)數(shù)可幫助找到函數(shù)的極值點(diǎn)。通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，求導(dǎo)找出駐點(diǎn)，再結(jié)合實(shí)際情況判斷駐點(diǎn)是否為最值點(diǎn)，從而確定最優(yōu)方案，比如求最大利潤(rùn)、最小成本等問(wèn)題。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.A4.B5.B