專題02對(duì)稱圖形-圓

.考點(diǎn)歸納

【考點(diǎn)11圓的有關(guān)概念

【考點(diǎn)2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【考點(diǎn)3］垂徑定理有關(guān)計(jì)算

【考點(diǎn)4］垂徑定理的應(yīng)用

【考點(diǎn)5】圓心角、弧、弦的關(guān)系

【考點(diǎn)6】確定圓的條件

【考點(diǎn)7］三角形的外接圓與外心

【考點(diǎn)8】利用圓周角定理求角度

【考點(diǎn)9】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【考點(diǎn)10］直線與圓的位置關(guān)系

【考點(diǎn)11］利用切線的性質(zhì)求線段/角度

【考點(diǎn)12］切線的判定與性質(zhì)

【考點(diǎn)13］切線長(zhǎng)定理

【考點(diǎn)14］三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【考點(diǎn)15］正多邊形和圓的綜合應(yīng)用

【考點(diǎn)16］弧長(zhǎng)的有關(guān)運(yùn)算

【考點(diǎn)17］圓錐的有關(guān)運(yùn)算

由知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1：圓的定義及性質(zhì)

圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形

成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段OA叫做半徑。

圓的表示方法：以0點(diǎn)為圓心的圓記作。0,讀作圓0。

圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。

備注：圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)度確定圓的大小。

【補(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓;

2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓。

圓的對(duì)稱性：1）圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸;

2）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

知識(shí)點(diǎn)2:圓的有關(guān)概念

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（例如：右圖中的AB）。

直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。

備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作如，讀作圓

弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

知識(shí)點(diǎn)3垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;

2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造口△,用勾股，求長(zhǎng)度;

2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分

知識(shí)點(diǎn)4垂徑定理的應(yīng)用

經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答

知識(shí)點(diǎn)5：確定圓的條件

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

知識(shí)點(diǎn)6：三角形的外接圓與外心

1.三角形的外接圓

經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。

2.三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。

知識(shí)點(diǎn)7圓心角的概念

圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等,

所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量

相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。

知識(shí)點(diǎn)8圓角角的概念

圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角二微圓心角）

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直

徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

C

BA

O

知識(shí)點(diǎn)9圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

即：在。。中，?..四邊ABCD是內(nèi)接四邊形

AZC+Z￡L4D=180°ZB+Z￡>=180°

ZDAE=ZC

知識(shí)點(diǎn)10直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=></>「=>無(wú)交點(diǎn)；

2、直線與圓相切=d=r=有一個(gè)交點(diǎn)；

3、直線與圓相交=d,<r=有兩個(gè)交點(diǎn)；

知識(shí)點(diǎn)11切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：：腦V_LQ4且跖V過(guò)半徑。4外端

是。。的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。

推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

知識(shí)點(diǎn)12切線長(zhǎng)定理

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩

條切線的夾角。

即：???以、依是的兩條切線一'、

O

P

A

PA=PB-,PO平分

知識(shí)點(diǎn)13三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。

(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

(2)ZkABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑r="+'。

2

(3)SAABC--r(a+6+c),其中a,b,c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。

(4)弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。

如圖，BC切。0于點(diǎn)B,AB為弦，/ABC叫弦切角，ZABC=ZDo

知識(shí)點(diǎn)14圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形,有關(guān)計(jì)算在RtABOD中進(jìn)行:OD:BD:OB=1:后2,

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在及AQ4石中進(jìn)行，OE:AE:OA=l:l:>/2：

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在R/AOAB中進(jìn)行，AB:OB-.OA=l；y/3:2

知識(shí)點(diǎn)15與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角。

知識(shí)點(diǎn)16正多邊形的對(duì)稱性

1、正多邊形的軸對(duì)稱性

正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的

中心。

2、正多邊形的中心對(duì)稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

知識(shí)點(diǎn)17：扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算

扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：/=空四；(2)扇形面積公式：S=^-=-lR

1803602

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑I：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

注意：

⑴對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的——，即

360

1cn刀太

---><2%7?=---；

360180

(2)公式中的n表示1。圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就

可以求出第三個(gè)量.

(4)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的」一，

360

1°7TR2

——x”爐=

即360而;

(5)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的

兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

知識(shí)點(diǎn)18：扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系

1、圓柱：

（1）圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

S表=S側(cè)+2S底=2萬(wàn)仍+2萬(wàn)廠

底面圓周長(zhǎng)

（2）圓柱的體積：V=7vr-h

2、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

⑴S表=S側(cè)+S底=]Q+"

注意：圓錐的底周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)（2口「=礙四）

180

.叫真題訓(xùn)練........................

【考點(diǎn)11圓的有關(guān)概念

1.（24-25九年級(jí)上?廣東陽(yáng)江?期中）下列說(shuō)法中，正確的是（

A.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B.優(yōu)弧一定大于劣弧

C.不同的圓中不可能有相等的弦D.直徑是一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦

【答案】D

【分析】本題考查了等弧、等弦的概念，優(yōu)弧、劣弧大小的比較，弦與直徑的關(guān)系，熟

練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等弧的定義，弦的定義即可解答.

【詳解】解：A、能夠互相重合的弧是等弧，長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定是等弧，故A選

項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、兩弧若不在同圓或等圓中，則結(jié)論不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、在等圓中，存在長(zhǎng)度相等的弦，例如等圓中的直徑都相等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、直徑是一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦，正確，故D選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.（24-25九年級(jí)上?河北石家莊?期中）如圖，MN為O。的弦，/.MON=120°,則NM等于

()

o

M\~~/N

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】A

【分析】本題重點(diǎn)考查了圓的基本性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，并且利用三角形的內(nèi)角和

定理求解角的度數(shù)，難度不大.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：0OM=ON,

■■■4M=￡N,

回NMON=120°,

0ZM=（180°-AMON）+2=30°,

故選：A.

3.（2025?江西?模擬預(yù)測(cè)）己知4B是O。的弦，若。。的半徑為6cm,則弦4B的長(zhǎng)不可能

為（）

A.13cmB.12cmC.10cmD.6cm

【答案】A

【分析】本題考查了圓中弦長(zhǎng)的定義，解題的關(guān)鍵是理解弦的定義.根據(jù)弦的定義：圓

上任意兩點(diǎn)之間的距離為弦長(zhǎng)，最大的弦為直徑，即可求解.

【詳解】解：?；。。的半徑為6cm,

O。的直徑為12cm,

是O。的弦，

0<AB<12,

二弦ZB的長(zhǎng)不可能為13cm,

故選：A.

4.（24-25九年級(jí)上?廣東云浮?期末）如果點(diǎn)尸在圓。內(nèi)，OP=6,那么圓。的直徑可能

為（）

A.5B.7C.10D.13

【答案】D

【分析】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)d<r即可判斷求解，掌握點(diǎn)和圓

的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)P在。。內(nèi)，且。P=6,

回。。的半徑大于6,直徑大于12,

回。。的直徑可能為13,

故選：D.

5.（24-25九年級(jí)上?廣東江門?期中）如圖，力B是。。的弦，連接。4,。從若48=0/1=2,

貝亞A0B=度.

【答案】60760S

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)，由已知可知△48。是等邊三角形,

由此可知N20B=60°.

【詳解】解：0XB=0/1=2,0A=0B,

0A4B。是等邊三角形，

0ZXOS=60°.

故答案為60。.

【考點(diǎn)2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.（24-25九年級(jí)上,河南信陽(yáng)?期末）已知。。的半徑是一元二次方程一一2x-3=0的一

個(gè)根，點(diǎn)P到圓心的距離d=2,則點(diǎn)P與O。的位置關(guān)系是（）

A.在。。內(nèi)B.在。。上C.在。。外D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（判斷點(diǎn)與圓

的位置關(guān)系）等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r判斷點(diǎn)和圓的位置

關(guān)系是解題的關(guān)鍵：d>r=點(diǎn)在圓外；d=r=點(diǎn)在圓上；d<r=點(diǎn)在圓內(nèi).

先求出方程的根，確定圓的半徑r,再根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r判斷點(diǎn)和圓的

位置關(guān)系即可.

【詳解】解：x2-2x-3=0,

解得：乂=3或—1（不符合題意，故舍去），

?1?O。的半徑r=3,

■.,點(diǎn)P到圓心的距離d=2<r=3,

???點(diǎn)P在。。內(nèi)，

故選：A.

2.（24-25九年級(jí)上?廣東汕頭?階段練習(xí)）圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8,最小距離是2,則

這個(gè)圓的半徑為（）

A.6B.3C.8D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之

差為直徑為解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之差為直徑即可得出

答案.

【詳解】解：?.?圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8,最小距離是2,

???圓的直徑是8-2=6,

圓的半徑是3.

故選：B.

3.（24-25九年級(jí)上?陜西延安?期末）點(diǎn)P到圓心。的距離為7,若點(diǎn)P在圓。內(nèi)，則圓。

的半徑廠滿足（）

A.0<r<7B.0<r<7C.r>7D.r>7

【答案】c

【分析】本題考查對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷.解題的關(guān)鍵：要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，

主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系,若點(diǎn)到圓心的距離為d,圓的半徑r,則d〉r

時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，反過(guò)來(lái)與成立.據(jù)此解

答即可.

【詳解】解：回點(diǎn)P到圓心。的距離為7,點(diǎn)P在圓。內(nèi)，

HOP<r,即r>7.

故選：C.

【考點(diǎn)3】垂徑定理有關(guān)計(jì)算

1.（2025?安徽?三模）如圖，CD是O。的直徑，弦481CD于點(diǎn)E,如果48=4,半徑為3,

則。E的長(zhǎng)為（）

A

A.1B.V5C.2D.V13

【答案】B

【分析】本題應(yīng)用垂徑定理，連接。4,由4B=4得4E=2,在RtA。&4中，設(shè)半徑為R,

應(yīng)用勾股定理得：32=22+。非，繼而求得0E的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。4

EICD是。。的直徑，AB1CD,

SAE=BE=-AB=2,

根據(jù)勾股定理：32=22+0￡2

解得。E=V5,

故選：B.

2.（24-25九年級(jí)下?廣東廣州?期中）如圖，有一個(gè)底部呈球形的燒瓶，球的半徑為6cm,

瓶?jī)?nèi)液體已經(jīng)過(guò)半，最大深度CD=8cm,則截面圓中弦48的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理

是解題的關(guān)鍵.由垂徑定理得4C=BC=34B,再由勾股定理得2C,進(jìn)而完成解答.

【詳解】解：連接。4

由題意得：0cl48,

1

^\AC=BC=-AB,^OCA=90°,

2

團(tuán)。Z=OD=6cm,CD=8cm,

回。。=CD-OD=8-6=2(cm),

在RtACMC中，由勾股定理得：AC=V62-22=4V2(cm),

SAB=2AC=8應(yīng)(cm),

故選：C.

3.(23-24九年級(jí)上?內(nèi)蒙古通遼?期中)回。的半徑是10,弦4BIICD,AB=16,CD=12,

則弦48與CD的距離是()

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用.作OE12B于E,。尸1CD于「由垂徑定理得

AE^^AB=8,CF=：CD=6,由于AB||CD,易得E、0、/三點(diǎn)共線，在RtAAOE和

RtAOCF中，利用勾股定理分別計(jì)算出。E與。F,然后討論：當(dāng)圓心。在弦4B與CD之

間時(shí)，4B與CD的距離=。尸+0E；當(dāng)圓心。在弦4B與CD的外部時(shí)，48與CD的距離=

OF-0E.

【詳解】解：如圖，作。于E,。尸1CD于尸，連。4OC,0A=0C=10,

則4E=-AB=8,CF=〃D=6,

SABWCD,

BE、。、/三點(diǎn)共線，

在Rt△20E中，OE=VOX2-AE2=V102-82=6,

在Rt△OCF中，OF=y/OC2-CF2=V102-62=8,

當(dāng)圓心。在弦AB與CD之間時(shí)，力B與CD的距離OF+OF=8+6=14：

當(dāng)圓心。在弦AB與CD的外部時(shí)，AB與CD的距離OF-OE=8-6=2.

所以AB與CD的距離是14或2.

故選：C.

4.（2025?浙江紹興■■模）如圖，AB是O。的直徑，弦CD14B于點(diǎn)E,若4E=CD=8,

連結(jié)。C,貝|OC的長(zhǎng)為.

【答案】5

【分析】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形

是解題的關(guān)鍵.先利用垂徑定理得出CE的長(zhǎng)，設(shè)。。的半徑為廣，則。E=8-r,在內(nèi)△

OCE中，利用勾股定理求出r的值，據(jù)此得出結(jié)論.

【詳解】解：???4B是。。的直徑，弦CD1AB于點(diǎn)E,AE=CD=8,

CE=DE=-CD=4,

2

設(shè)O。的半徑為r,則。E=8—r,

在RtAOCE中，。岳2+。產(chǎn)=。。2,即42+（8—「產(chǎn)=產(chǎn)，

解得OC=r=5,

故答案為：5

5.（24-25九年級(jí)上?河南駐馬店?期末）如圖，兩個(gè)圓都是以。為圓心，大圓的弦48交小圓于

C,D兩點(diǎn).

⑴求證：AC=BD；

(2)若48=8,B。=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑R的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵大圓的半徑為4位

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；

(1)作。E14B于E,根據(jù)垂徑定理得到2E=BE,CE=DE,即可得到AC=BD-,

(2)連接。C,OB,在RtAOBE和RtAODE中根據(jù)勾股定理得至Li。。？—DE?=OB2—

BE2,代入求值計(jì)算即可.

【詳解】(1)證明：如圖：作。E148于E,

由垂徑定理，得：

AE=BE,CE=DE,

BE-DE=AE-CE,

即AC=BD；

(2)解：如圖，連接OD,OB,

BE=AE=4,DE=4-1=3

在RtAOBE和RtAODE中，由勾股定理，得:

OE2=OD2-DE2,OE2=OB2-BE2,

OD2-DE2=OB2-BE2,

即52-32=OB2-42,

解得：OB=4V2

二大圓的半徑為4&.

【考點(diǎn)4］垂徑定理的應(yīng)用

1.（2025?陜西漢中?二模）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積，如圖，排污管道的橫

截面是直徑為1m的。。，測(cè)得淤泥（陰影部分）橫截面的最大寬度MN為0.8m,則淤

泥的最大深度CD為（）

D

A.0.2mB.0.3mC0.4mD.0.5m

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用,掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；

連接。M,可得0M=OD=r=|x1=0.5,MN=0.8,OC1MN,在RtAOCM中,

通過(guò)勾股定理求得0C,然后即可求解；

【詳解】

i

解：連接。M,如圖：D

-1

由題可得：0M=。。=r=：x1=0.5,A4N=0.8,OC1MN,

11

^CM^-MN=-X0,8=0.4,

在RtAOCM中，。。2+。加2=。加2,

0OC=70M2-CM2=J（o.5）2一（0.4）2=03（

團(tuán)CD=OD—OC=0.5—0.3=0.2,

故選：A；

2.（2025?廣西玉林?三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾

股》中記載了一個(gè)"圓材埋壁"的問(wèn)題："今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，

深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？"用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，48是。。的直徑，弦CD1

4B于點(diǎn)E,EB=1寸，CD=10寸，則直徑長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建

方程解決問(wèn)題.

【詳解】解：設(shè)。4=。8=7?寸，

■：AB1CD,AB是直徑，

???EC=ED=5寸，

???OC2=CE2+OE2,

r2—+（r—l）2,

r=13,

AB=2x13=26寸.

故選：D.

3.（24-25九年級(jí)上?安徽淮北?期末）如圖1,裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面

是以48為直徑的半圓。，AB=26cm,MN為水面截線，MN=24cm,GH為桌面截線，

MN||GH.

(1)作。C1MN于點(diǎn)C,求OC的長(zhǎng)；

⑵將圖中的水倒出一部分得到圖2,發(fā)現(xiàn)水面高度下降了7cm,求此時(shí)水面截線減少了

多少.

【答案】(1)OC的長(zhǎng)為5cm

⑵水面截線減少了14cm

【分析】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理.

(1)連接0M,利用垂徑定理得出MC=2MN=12cm,由勾股定理計(jì)算即可得出答案；

(2)過(guò)。作。D1EF,連接。E,由題意得。。=12cm,利用勾股定理求出ED=5cm,

再利用垂徑定理得出EF與MN相減即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，連接?！保?/p>

???。為圓心，0C1MN,MN=24cm,

1

MC=-MN=12cm,

2

AB=26cm,

OM=-AB=13cm,

2

在Rt^OMC中，OC='OM2-=.a一芽=5cm,

???OC的長(zhǎng)為為m；

(2)如圖，過(guò)。作OD_LEF,連接。E,

由題意得：。。=5+7=12cm,

在RtAOED中，ED=y/OE2—0D2=V132—122=5cm,

EF=2ED=10cm,

MN-EF=24-10=14cm,

二水面截線減少了14cm.

【考點(diǎn)5】圓心角、弧、弦的關(guān)系

1.（2024?廣東茂名?一模）如圖，已知為。。的直徑，點(diǎn)C為圓上的一點(diǎn)，且AC所對(duì)的

圓心角度數(shù)是阮所對(duì)的圓心角度數(shù)的3則庶所對(duì)的圓心角度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查的是圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓心角、

弧、弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

由為。。的直徑，得至IU40C+NBOC=180。，再上艮據(jù)N40C=[NBOC,即可得至結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)4B為。。的直徑，

回乙4。。+乙BOC=180°,

加定所對(duì)的圓心角度數(shù)是比所對(duì)的圓心角度數(shù)的3

回N40C=-ABOC,

3

^BOC=-x180°=135°.

4

回區(qū)所對(duì)的圓心角度數(shù)為135。.

故選：C.

2.（24-25九年級(jí)上?黑龍江大慶?期中）如圖，4B是。。的直徑，既=CD=ETE,若NCOD=

36。，貝吐40E的度數(shù)是（）

75°C.72°D.73°

【答案】C

【分析】本題考查圓心角與弧的關(guān)系，在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到

Z.BOC=MOD=乙DOE=36°,根據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】解：=CD=ETE,

BZ.BOC=乙COD=乙DOE=36°,

EL4B是直徑,

0ZAOF=180°-Z.BOC-乙COD=4DOE=180°-36°-36°-36°=72°.

故選：C

3.（24-25九年級(jí)上?山西臨汾?期末）如圖，4B是。。的直徑，&。為。。上的點(diǎn)，且Af=

=⑶,連接CD.若弦CD=3,則直徑的長(zhǎng)為（）

C.6V2D.6A/3

【答案】B

【分析】本題考查圓周角定理的推論，等邊三角形的判定及性質(zhì).

連接4C,BD,OC,0D,由此=能=CD,得至IJ/AOC=乙COD=乙BOD=60°,從而△COD

是等邊三角形，進(jìn)而即可解答.

【詳解】解：連接4C,BD,OC,0D,

0XC=CD=BD,Z.AOC=乙COD=/-BOD,

回乙4。。+乙BOD+乙COD=180°,

回N40C=LCOD=LBOD=60°,

團(tuán)。C=OD,

0ACOD是等邊三角形，

HOC=CD-3,

團(tuán)直徑28=2OC=6.

故選：B

4.（24-25九年級(jí)上,安徽合肥?期末）如圖，已知4B是。。的直徑，弦4c與弦BD交于點(diǎn)E,

且。D14C,垂足為點(diǎn)尸，^AC=BD.

（1）求乙4。0的度數(shù)；

⑵若4B=8,求DF的值；

⑶在（2）的基礎(chǔ)上求CE的值.

【答案】（1）60。

⑵2

⑶警

【分析】（1）連接。C,由垂徑定理得到AS=8,再利用圓心角、弧、弦、弦心距之間的

關(guān)系定理得到勸=舐1,進(jìn)而得到的=⑶=配■即可求解；

（2）由（1）易得44=30。，利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到。F的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解；

（3）由（2）可得到CF的長(zhǎng)度，4。=30°,利用含30。角直角三角形的性質(zhì)得到2EF=DE,

再結(jié)合OF=2,利用勾股定理求出，EF的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CE的值.

【詳解】（1）解：如圖，連接。C,

腦=mZ.AFO=90°.

又AC=BD,

??.Af=肋，

即他+8=8+阮,

??.AD=阮，

AD=CD=品，

???/,AOD=乙DOC=乙BOC=60°.

(2)解：???乙400=60°,

???乙4=30°.

vAB=8,

.??OA=OB=0C=4.

又???OD=0B,

:.乙D=^B=-^AOD=30。，

2

1

???OF=-0A=2,

2

DF=OD-OF=4-2=2.

(3)解：由(2)得。/=4,OF=2,

...AF=CF=VOX12-OF2=V42-22=2V3.

???乙AOD=60°,OD=OB,

???ZD=30°,

???2EF=DE.

???OF=2,

22+EF2=DE2=(2EF)2,

口L2V3

EF=—,

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，含30。角直角三

角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6】確定圓的條件

L（2025?陜西西安?二模）如圖，有一圓弧形拱橋，請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定圓弧所在圓的半徑04.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作垂線，垂直平分線的性質(zhì)，圓心的確定方法，掌握?qǐng)A心

的確定方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓心到圓上的各點(diǎn)的距離相等，垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作垂線即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

M；F

XC.

連接28,分別以點(diǎn)4、B為圓心，以大于為半徑畫弧，得到兩個(gè)交點(diǎn)，連接兩交點(diǎn)

得到線段AB的垂直平分線MN,交圓弧于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)。,

同理，連接BC,作線段8c的垂直平分線交MN于點(diǎn)0,連接。4,

回。4即為所求.

2.（24-25九年級(jí)上?河北承德?期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,QD

的一條圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)4B,C，現(xiàn)在以格點(diǎn)。為原點(diǎn)、豎直和水平方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立平面

直角坐標(biāo)系.

⑴圓心。的坐標(biāo)為;

(2)求OD的半徑；

⑶若點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-1,3),試判斷點(diǎn)E與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴(2,0)

(2)275

⑶點(diǎn)E在。。內(nèi)，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了圓心位置的確定，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識(shí).

(1)連接BC,則圓心。是線段BC、4B垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)即可確定圓

心D的位置及坐標(biāo);

(2)根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，利用勾股定理即可求解;

(3)利用勾股定理求出DE,與(2)求得的半徑比較，即可判定位置關(guān)系.

【詳解】(1)解：圓心。如圖所示;

圓心。坐標(biāo)為(2,0),

故答案為：為0).

(2)解：由勾股定理得，的半徑為，42+22=2幅.

(3)解：點(diǎn)E在內(nèi).理由如下：

???DE=V32+32=3V2,

而＜2V5,

.?.點(diǎn)E在。D內(nèi).

3.(24-25九年級(jí)上?河南許昌?期中)如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦48的垂直平分線交

弧4B于點(diǎn)C,交弦4B于點(diǎn)D.

⑴求作此殘片所在的圓(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)已知：AB=16,CD=4.求(1)中所作圓的半徑.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)此殘片所在圓的半徑為10.

【分析】本題考查圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握通過(guò)垂徑定理找圓心，通過(guò)勾股

定理構(gòu)造方程求邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

(1)由于CQ是弦AB的垂直平分線，則圓心在直線CD上，因此連接4C,圓心在AC的垂

直平分線上，故作4C的垂直平分線，交CD于點(diǎn)O,則點(diǎn)。就是所求的圓心；

(2)連接4。，設(shè)半徑為x,即4。=。。=無(wú)，則D。=。。一。￡>=u一4,根據(jù)CD是4B

的垂直平分線，得到乙4D。=90°,AD=^AB=8,因此在Rt△力。。中，根據(jù)勾股定理

構(gòu)造方程，即可求出尤的值，即為此殘片所在圓的半徑.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)。為所求的圓心.

(2)解：連接40,

設(shè)半徑為x,即4。=C0-x,

0DO=C0-CD=x-4,

EICD是AB的垂直平分線,

HZXD0=90°,

AD=-AB=一X16=8,

El在RtAAD。中，AD2+DO2=A02,

即82+（X-4）2=/,

解得：x=10,

回此殘片所在圓的半徑為10.

【考點(diǎn)7］三角形的外接圓與外心

1.（24-25九年級(jí)上?天津薊州?階段練習(xí)）直角三角形兩條直角邊分別為6和8,則直角三

角形外接圓的半徑為（）

A.4.8B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓、勾股定理，先由勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，即可得出

答案.

【詳解】解：回直角三角形兩條直角邊分別為6和8,

團(tuán)斜邊為，62+82=10,

回直角三角形外接圓的半徑為之x10=5,

故選：B.

2.（24-25九年級(jí)上?山東聊城?期中）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)4B,

C,D,E,F,G在小正方形的頂點(diǎn)上，貝IU2BC的外心是（）

A.點(diǎn)DB.點(diǎn)EC.點(diǎn)、FD.點(diǎn)G

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形的外心的定義,根據(jù)三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn),

這一點(diǎn)叫做它的外心，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：連接2F,BF,CF,由圖可知，

V22+I2=V5,

0FX=FB=FC,

SF點(diǎn)在2B,AC,BC三邊的垂直平分線上，

團(tuán)點(diǎn)F是AABC外心，

故選：C.

3.（24-25九年級(jí)上?福建泉州?階段練習(xí)）（1）尺規(guī)作圖，作出AABC的外接圓（不寫作圖

過(guò)程，但保留作圖痕跡）；

（2）若乙4=30。,8c=2cm,則△ABC外接圓的面積為一.（結(jié)果保留兀）

C

【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）47rcm2

【分析】本題考查尺規(guī)作圖一作垂線，作圓，三角形的外接圓，圓周角定理：

（1）根據(jù)三角形的外接圓的圓心為三邊中垂線的交點(diǎn)，作4B,4C的中垂線，交點(diǎn)即為

圓心。，再以。4為半徑畫圓即可；

（2）連接。B,OC,圓周角定理得到NBOC=60。，進(jìn)而得到AOBC為等邊三角形，得到

OB=BC,再利用圓的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1）如圖，。。即為所求；

(2)連接。B,OC,則：OB=0C,

團(tuán)乙4=30°,

團(tuán)BOC=60°,

08C為等邊三角形，

團(tuán)。B=BC=2cm,

團(tuán)O。的面積為：227T=47rcm2.

故答案為：47Tcm2

【考點(diǎn)8】利用圓周角定理求角度

1.（2025?吉林延邊?模擬預(yù)測(cè)）如圖，是。。的直徑，C、O是。。上兩點(diǎn)，若乙4OC=140°,

則乙引兀的度數(shù)是（）

A.20°B.25°D.70°

【答案】A

【分析】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，連接AD,求解乙4DC=|24。。=70。,

AADB=90°,進(jìn)一步可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接4D,

^AOC=140°,

^ADC=-^AOC=70°,

2

MB為。。的直徑，

^\Z-ADB=90°,

區(qū)LBDC=90°-70°=20°,

故選：A

2.（2025?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是O。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，連接

AC,AD,BD,CD.若NBA。=40。，則NC的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓周角定理，先根據(jù)圓周角定理可得乙4DB=90。，再根據(jù)直

角三角形兩個(gè)銳角互余得出乙48。=50°,再根據(jù)圓周角定理即可得出答案NC=

AABD=50°.

【詳解】解：回4B是。。的直徑，

.-.乙ADB=90。，

0ZBXD=40°,

4ABD=90°-40°=50°,

■■■AD=AD,

ZC=乙ABD=50°,

故選：C.

3.（2025?遼寧本溪?二模）如圖，在。。中，點(diǎn)4是阮的中點(diǎn)，點(diǎn)。在岫7上，若乙BDC=24°,

則NAOB的大小為（）

【答案】B

【分析】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，先證明NBOC=

2NBDC=48。，再結(jié)合點(diǎn)4是品?的中點(diǎn)，進(jìn)一步可得答案.

【詳解】解：如圖，連接。C,

^BDC=24°,

^BOC=2乙BDC=48°,

團(tuán)點(diǎn)4是阮的中點(diǎn)，

回歷1

回匕AOB=-^BOC=24°；

2

故選：B

4.（24-25九年級(jí)上?云南昆明?期中）如圖，是。。的直徑，4C是。。的弦，“CB的平

分線交00于點(diǎn)。，若48=10,求8。的長(zhǎng).

【答案】5V2

【分析】本題考查了直徑對(duì)的圓周角是直角，弧、弦、圓周角間的關(guān)系，勾股定理等知

識(shí)；連接2D,由直徑對(duì)的圓周角是直角，得N4CB=N4DB=90。；由角平分線的定義

及弧、弦、圓周角間的關(guān)系，得AD=BD,從而在RtAABD中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，連接4D,

D???48是。。的直徑,

/-ACB=4ADB=90°,

???NACB的平分線交O。于點(diǎn)D,

/.DCA=乙BCD,

■■■AD=St),

AD=BD,

.?.在RtAABD中，AD2+BD2AB2,AB=10,

2BD2=100,

BD=5>/2.

【考點(diǎn)9】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

1.（2025?江蘇徐州?三模）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接與。。，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，乙BOD=

100°,貝IUDCE等于（）

A.50°B.130°D.40°

【答案】A

【分析】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)圓周角定理求得NBA。=

：乙BOD=50°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到NDCE=乙BAD=50°.

【詳解】解：回=ED,乙BOD=100°,

^BAD=-^BOD=50°,

2

團(tuán)四邊形力BCD內(nèi)接與O。，

SABAD+乙BCD=180°,又乙BCD+乙DCE=180°,

SzDCf=乙BAD=50°,

故選：A.

2.（重慶育才中學(xué)教育集團(tuán)初2025年九年級(jí)第三次自主作業(yè)數(shù)學(xué)試卷）如圖，點(diǎn)A,B,

C均在圓。上，若N0B4=42°,則NC=（）

c

B

A.123°B.122°C.132°D.133°

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角

和定理，由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出4AOB的度數(shù)，再由圓周角定理求出

乙的度數(shù)，則可由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出NC的度數(shù).

【詳解】解；如圖所示，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)。，連接4。，BD,

回。/=0B,

團(tuán)乙。48=Z.OBA=42°,

回乙/。8=180°-4OAB一^OBA=96°,

^Z.ADB=-^AOB=48°,

2

0ZC=180°-4ADB=132°,

故選：C.

D

3.（2025■江蘇鹽城?二模）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。。，/.BCD=120°,貝！U8。。的度

數(shù)為（）

A

A.60°B.80°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】本題考查的是圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互

補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出44根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.

【詳解】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于。。，ABCD=120°

???N4=180°-ZSCD=60°,

0ZBOO=2ZX=120°.

故選：C.

4.（2025?吉林四平?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在。。中，AB||CD,^BCD=100°,E1為次1上的任

意一點(diǎn)，A、B、C、。是。。上的四個(gè)點(diǎn)，貝！INHEC的度數(shù)為（）

A.110°B.70°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形，掌握?qǐng)A內(nèi)角四邊形對(duì)角互

補(bǔ)是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)平行線的性質(zhì)求出乙4BC的度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】解：BAB||CDjBCD=100°,

E1ZXBC=180°-4BCD=80°,

回四邊形力ECB是圓內(nèi)接四邊形，

HZXFC+/.ABC=180°,

0Z4FC=100°,

故選：D.

5.（2025?廣東河源?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB,AC,BC為。。的弦，連接。4OB,OC,若N80C=

沁OB=25°,則下面結(jié)論不正確的是（）

A./.AOC=100°

C./.ACB=3^BACD.Z.OCB=3Z.OB4

【答案】D

【分析】本題主要考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),

靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵.

由角的和差可判定A選項(xiàng);如圖:在圓上取一點(diǎn)D,連接4D,DC,則乙4DC=}N40C=50°,

由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得4WC+NABC=180°,進(jìn)而求得乙4BC=130。即可判斷

B選項(xiàng)；由同弧所對(duì)的圓周角相等可得乙4c8=［乙4。8,AB