四川省涼山州西昌市2024-2025學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.sinllcosl9°+cosll°si?il9°的值為（）

A號(hào)B.1-^C.|D.-|

2.復(fù)數(shù)z=W。為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在AABC中，4。為8c邊上的中線，E為4。的中點(diǎn)，則說=（）

A.^-AB-^-ACB.^-AB-^-ACC.^AB+^-ACD.^AB+^-AC

44444444

4.荏=瓦+2石，~BC=-5e7+6e；,而=7瓦-2瓦,則4,B,C,D中哪三點(diǎn)共線（）

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、D三點(diǎn)共線

C.A、C、D三點(diǎn)共線D.8、C、D三點(diǎn)共線

5.已知sin^-a)=—,那么cos/+2a)=()

人5B-?Dl

6.在△ABC中，內(nèi)角2,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB—bcosA=c,且C="則NB=()

A7r37r

A-Ioc

-ioD片

7.如圖，摩天輪上一點(diǎn)P距離地面的高度y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=

Asin（a）t+cp）+b,<pE\—n,n\,己知摩天輪的半徑為5（hn,其中心點(diǎn)。距

地面60小，摩天輪以每30分鐘轉(zhuǎn)一圈的方式做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而點(diǎn)P的起始位置

在摩天輪的最低點(diǎn)處.在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面超過85m有多長

時(shí)間（）

A.5分鐘B.10分鐘C.15分鐘D.20分鐘

8.在△ABC中，點(diǎn)。在線段8c上，且滿足BD=TDC，過點(diǎn)。的直線分別交直線

AB,4C于不同的兩點(diǎn)M,N,若俞=爪荏，AN=nAC，貝！1（）

A.TH+九是定值，定值為2

B.2租+幾是定值，定值為3

C$+；是定值，定值為2

H+；是定值，定值為3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列關(guān)于向量說法正確的是()

A.向量說的長度和向量瓦?的長度相等

B.若向量荏與向量而滿足|話|>|而且屈與方同向，則通〉而

C.已知平面上四點(diǎn)。，A,B,C,且加=,市+：元，則4,B,C三點(diǎn)共線

D.向量荏與向量而是共線向量，則點(diǎn)2,B,C,。必在同一條直線上

10.函數(shù)/'(X)=，丞in(3x+9)(0<co<2,-^<(p<今的部分圖象如圖所示,

則下列說法中正確的是()

A./(%)的表達(dá)式可以寫成/(X)=y[2sm(2x-J)

B./(%)的圖象向右平移等個(gè)單位長度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)

C.g(x)=/(%+[)+1的對稱中心(一?+■?,1)>kEZ

4oZ

D.若方程/Q)=1在(0,爪)上有且只有6個(gè)根，則爪e片，殍)

11.在△力8c中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,貝U()

A.若力>B,貝!Jsina>sinB

B.若s譏24=sin2B,則448c是等腰二角形

C.若a=2Y36=4,4=3，則滿足條件的三角形有兩個(gè)

D?若喘+溫?就=。，且需?番/，則UBC為等邊三角形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)meR,Hi?+爪一2+(62—1]是實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則zn=.

13.已知向量2=(1,2),石=(3,-4),則向量S在向量方方向上的投影向量坐標(biāo)為.

14.在AABC中，已知AB=2,AC=4,M,N分別為BC,4C邊上的中點(diǎn)，且AM,BN交于點(diǎn)P,若乙MPN

的余弦值為富，則NBAC=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知向量2,5滿足m=2,區(qū)|=4,a,3的夾角。=60。.

⑴求@+3)?位+25的值；

(2)求|2a一山.

16.(本小題15分)

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且cosA=(

(1)求siM+cos2A的值；

(2)若6=2,AABC的面積S為3,求a.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(x)=sin(2x+號(hào))+sin(2x—卞+V-3cos2x+1.

(1)求函數(shù)/(久)的最小正周期；

(2)當(dāng)工€[0,芻時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;

(3)求使/(久)>2成立的x的取值集合.

18.(本小題17分)

邊長為1的正方形力BCD,P,Q分別為邊AB,D4上的點(diǎn)，若NPCQ=45。，乙PCB=<9<45°.

(1)求出4P,AQ的長度(用tern。表示)；

(2)A4PQ的周長是否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由；

(3)求四邊形4PCQ面積的最大值.

19.(本小題17分)

已知方=(-1,27"^)，b=(sin2x—cos2x,sinxcosx),f(x)=a-b,xER.

(1)求函數(shù)/(?的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若/附+1)=馬/，求cosa+cos(a-5)的值;

(3)在銳角AABC中，內(nèi)角2,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=1,f(4)=1,求2a2+be的取值范圍.

答案解析

1.【答案】C

1

【解析】解:由題意得sinllcosl9°+cosll°sinl9°=sin(ll°+19°)=sin30°=

故選：C.

根據(jù)題意，利用兩角和的正弦公式化簡求值，可得答案.

本題主要考查兩角和的正弦公式、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由z=?(l+i)(2T)

(2+i)(2T)5

得復(fù)數(shù)z為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為《，》，在第一象限?

故選：力.

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查平面向量的運(yùn)算，以及平面向量基本定理，屬于較易題.

根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則運(yùn)算即可得解.

【解答】

解：如圖，

一1_1_1_1一1一1一一

BE=/A+/D=^BA+-BC=^BA+4(84+/C)

=IBA+-BA+^AC=yBA+yAC,

24444

所以麗=弓話一:前.

44

故選A.

4.【答案】B

【解析】解：BC=-5瓦＞+6孩，CD=7e7—2e^,

則前=就+而=2瓦+4石=2荏，

故A,B,。三點(diǎn)共線.

故選:B.

結(jié)合向量共線的定義，即可求解.

本題主要考查共線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：己知sin?—a)=苧，

則：知sin6-a)=苧=cosg—0一a)]=cos管+a),

所以：cosg+2a)=2cos2弓+a)-1=^-1=-

故選：A.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換和誘導(dǎo)公式求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能

力，屬于基礎(chǔ)題型.

6.【答案】C

【解析】解：由acosB-bcosA=c得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

得sin(Z_B)=sinC=sin(/+B),

sinAcosB—sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA,

即2s譏BcosA=0,得sinBcos/=0,

在△ZBC中，sinB0,

cosA=0,即A=，，

則B=n—A—C=7T——^=|^.

故選：C.

利用正弦定理以及兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理，兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是

中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：中心點(diǎn)。距地面60m,則b=60,摩天輪的半徑為50爪,

即/=50,T=30,3=爺=餐

最低點(diǎn)到地面距離為10m,

所以50s譏0+60=10,sincp=-1,又wG[—71,n\,則g=—

所以表達(dá)式為y—5Osin(―t——)+60,

"1

nZt>

那么可得y=50s譏誥t-5+60>85,siVI-2-

15

取一個(gè)周期內(nèi)，有”2"文空10<t<20,20-10=10,

oibZo

所以在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)P有10分鐘的時(shí)間距離地面超過857n.

故選：B.

由中心點(diǎn)到地面距離得6值，由摩天輪半徑得4值，由周期求得3,再由初始值求得s得表達(dá)式，再解不等

式y(tǒng)>85后可得.

本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：連接ZM,由萬W=m適得：

DM—DX=mDB—mDX;

~DB=-~DM+(1-DA；

mvTTV

同理，由i4N=ri/C：DN—D^4=n^C—

.-.DC=-DN+(1--)DA；

nvny

vBD=1DC；

DC=2BD；

DC=-2DB;

?--DN+(1--^DA=—DM-2(1--)P1；

nvmvmy

麗和麗共線，二存在實(shí)數(shù)2,使兩=2而；

.---UN+(I--)DA=W+(-2+-)D1；

nwmv

1一工=-2+2

nvrt

=3；

nm

.??馬+工是定值，定值為3.

mn

故選：D.

根據(jù)條件祠=小同便得到麗-萬？=7H(礪-瓦?)，從而得到麗=工兩+(1-工)瓦5,同理可由條件

、)mKTTV

前=幾前得到瓦?=工麗+(1-1)51，這樣由虎=一2礪，及兩〃而即可得到1一二=一2(1-工)，

nvny''nvmy

從而得到區(qū)+工=3,從而選項(xiàng)。正確.

mn

考查向量減法的幾何意義，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4向量四和向量瓦?的長度均為點(diǎn)力到點(diǎn)B的距離，故A正確；

對于8,向量的?？梢员容^大小，向量不能比較大小，故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)樽C=力市+|南所以荏=礪―。1=|云一|瓦？=|宿

故A,B,C三點(diǎn)共線，C正確；

對于。，由共線向量的定義知，若向量而與向量而是共線向量，

則點(diǎn)4B,C,。在同一條直線上或者直線4B與直線CD平行，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)平面向量的模和平行向量的定義，對各選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.

本題主要考查平面向量的模和平行向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：對力，由/'(0)=—1,得Csintp=—1,即s譏9=-苧，

又—與<0<9所以w=_(又/?(%)的圖象過點(diǎn)(20),

ZZ4o

則解)=0,即Sin(詈_9=(),

所以二—￡=kjiJ即得3=8/c+2,kEZ,又0所以3=2,

o4

所以/(%)=V~^sin(2%-J),故A正確；

對B,/(%)向右平移:個(gè)單位后得y=f(x一條=V_2sin[2(x一等一g=V_2sin(2x-")=-V-2sin2x,

為奇函數(shù)，故3正確；

對于C,g(%)=V_2sin[2(x+力一自+1=V_2sin(2x+^)+1,

令2%+3=kn(keZ)得％=-"+與(kGZ),

所以對稱中心(—A+等,1)kEZ,故以正確;

對于D,由/(%)=1，得sin(2%_[)=，，

4Z

因?yàn)椋(0,zn),所以2%—ge(—%2TH—2),

444

ATi7T37r97r11〃177r197r冷刀夕日兀兀57r37r97r57r

?2Q爪_^=工，彳，彳，丁，丁，丁，斛侍小="5,彳，彳，彳，子

又在(0,m)上有6個(gè)根,則根從小到大為工律考學(xué)，尊

4Z4Z4Z

再令2m-:學(xué)，解得機(jī)=苧則第7個(gè)根為苧me(y,^],故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

利用特殊點(diǎn)求得函數(shù)f(x)的解析式即可判斷4根據(jù)相位變換求得新函數(shù)解析式即可判斷奇偶性，即可判

斷B；先求出g(x)的解析式，然后代入正弦函數(shù)對稱中心結(jié)論求解判斷C；把問題轉(zhuǎn)化為sin(2K-J)=，

根的問題，找到第7個(gè)根，即可求解范圍判斷D.

本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于4因?yàn)榱?gt;8,可得a>b,

由正弦定理，得2Rsi??a>2RsinB,

所以sinA>sinB,故A正確；

對于B,A4BB中,sin2A=sin2B,

又AG(0,7T),Be(0,7T),

所以24=2B或24+28=兀，即4=B或4+B=1=C,

可得△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形，故8錯(cuò)誤；

對于C,若a=2，^,6=4,2=￡,

4

由正弦定理有sinB='看=￥，

sinAsinB2V33

又b>a,

所以B可以是銳角也可以是鈍角，

所以滿足條件的三角形有兩個(gè)，故C正確;

對于D,緇+備表示NBAC角平分線的單位向量，

\AB\\AC\

因?yàn)?膽+竺)?就=0,

V\AB\\AC\J

所以AB"的角平分線與直線BC垂直，

所以AABC為等腰三角形，

而兩.同=lxlxc°s4，，

-1

所以cos4=

又ae(o,兀)，

所以4=(

所以△ABC為等邊三角形，故D正確.

故選:ACD.

4利用正弦定理判斷；B由方程s出24=sM2B在三角形內(nèi)有兩個(gè)解判斷；C由正弦定理及大邊對大角即可

判斷；。根據(jù)向量線性關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義易知N82C的平分線垂直于BC且4=會(huì)即可判斷.

本題考查了正弦定理，大邊對大角，向量線性關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬

于中檔題.

12.【答案】±1

【解析】解：由爪2+a—2+(a?—l)i是實(shí)數(shù)，得

m2-1=0,解得ni=±1.

故答案為：±1.

由題意可得爪2-1=0,解出即可.

該題考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題，明確復(fù)數(shù)的有關(guān)概念是解題基礎(chǔ).

13.【答案】(一|總

【解析】解：向量日=(1,2),K=(3,-4),

則五=lx3+2x(-4)=-5,\b\=J32+(—4)2=5,

故向量自在向量石方向上的投影向量：篙x1=一靛=

故答案為：|.

根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解.

本題主要考查投影向量的求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案W

【解析】解:設(shè)點(diǎn)4(0,0),點(diǎn)C(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),

因?yàn)?8=2,所以/+y2=4(0<X<2),因?yàn)椤盀锽C中點(diǎn)，所以M的坐標(biāo)為(竽,方，

因?yàn)镹為4C中點(diǎn)，所以N的坐標(biāo)為(2,0),

因?yàn)橹芯€AM,BN交于點(diǎn)P,所以P為三角形ABC的重心，所以P的坐標(biāo)為(空，*，

所以兩=(祟麗=(容,一給，

6633

所以兩.PN=Q+4)(2r)-y2=-—產(chǎn)2X+8=-2x+4

〃i^.iLi181818

|PM|=*J(%+4/+y2=|J/+丫2+取+16=彳V8%+20,

|PN|=|J(2—支乃+y2=|J/+y2一4%+4=|V—4%+8,

因?yàn)镃OSNMPN=~,

14

所以COSNMPN=cos<PM,PN>=〃一二靠小引=叫,

解得X=1(舍去久=2),代入/+y2=4,得y=-/3,

所以麗=(1,0),前=(4,0),貝iJcosNBAC=與=葭

ZX4Z

因?yàn)镹BACe(0,兀)，所以NB4C=全

故答案為:

設(shè)點(diǎn)力(0,0),點(diǎn)C(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),可得/+川=4,求出”，N,P的坐標(biāo)，由向量兩,麗的夾

角即為NMPN和向量的夾角求解可建立方程求出％,從而求得y,即得8的坐標(biāo)，再求荏，前的夾角即可.

本題考查利用向量的夾角公式解三角形，屬于中檔題.

15.【答案】48；

4.

【解析[解：(1)根據(jù)題意，可得五?3=|初?|3|cos60。=4.

所以位+7)?0+2方)=|初2+33?1+2|]|2=22+3義4+2X42=48；

(2)因?yàn)?21—3)2=4|a2|-4a-b+|K|2=4x22-4x4+42=16,

所以|21一3|=[(2百一I/=4.

(1)由平面向量數(shù)量積的定義求得之不=4,進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)算出0+5?0+2垃的值;

(2)先求出(2N-3)2,然后根據(jù)向量的模的公式求出|2石-山的值，可得答案.

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、向量的模的公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】角軍：(l)sin2+cos2/=1——1_2COS2A—1=1+老"+2cos2/—1

=孚+2啕2-1嚼

(2)△ABC的面積S為3=/bcsizh4,b=2,sinA=

可得：c=5.

由余弦定理：cosA=b

2bc

日口44+25-a2

即X=—20-'

解得：a=AAT3.

【解析】本題考查了余弦定理和三角形面積的運(yùn)用和計(jì)算能力.屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式解siM竽+cos24的值即可.

(2)根據(jù)AABC的面積S為3=^6cs出力，可得c的值，利用余弦定理求解a即可.

17.【答案】7T;

[—V-3+1,3]；

{x|—~+k,7i<%<,+k.7i,kGZ}.

【解析】解：根據(jù)題意，可得f(%)=(sin2xcos^+cos2xsin^)+(sin2xcos^—cos2xsin^)+V-3cos2x+

1

=sin2x+V_3cos2x+1=2(sizi2%cos]+cos2xsin+1=2sin(2x+[)+l?

(1)函數(shù)/(X)的最小正周期T=y=7T；

(2)當(dāng)％€[0,野時(shí),2%+,嗚陽,

由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=]時(shí)，f(x)取得最小值2s譏與+1=-V3+1,

當(dāng)％時(shí)，f(x)取得最大值2s嗚+1=3,故/⑺的值域?yàn)閇-0+1,3]；

⑶/⑶22時(shí)，2sin(2x+^)>1,

由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知2/CTT+%<2%+§<2/CTT+%■(kEZ),解得一運(yùn)+/CTT<%ZEZ).

所以使/(x)>2成立的％的取值集合為{x|-專+/otWx號(hào)+/ot,keZ}.

(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡可得f(x)=2s譏(2x+今+1,然后根據(jù)三角函數(shù)的周期公式算出

f(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)無€[0,舒時(shí)，求出2支+押取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出/(“)的最值，進(jìn)而可得函數(shù)f(x)

在[0,芻上的值域;

(3)根據(jù)f(x)的解析式解不等式/(久)>2,可得sin(2x+$2；,然后運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解關(guān)于x

的不等式，可得答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與值域、不等式的解法

等知識(shí)，屬于中檔題.

18.【答案】AP=l-tand,AQ=言黑;

△4PQ的周長為定值2；

2-72.

【解析】解：(1)在4BPC中，由題意可得BP=BCtanAPCB=tand,

所以4PAB-BP=1-tan。；

由題意可得NQCD=90°-APCB-乙PCQ=90。一8-45°=45。一仇

tan450—tan0_l—tan6

在小QDC中，QD=DCtanZ-QCD=tan(45°-9)=

14-tan45°tan01+tan。

^匚匚Ar、1Q4c=A4Dn-Q二D八=yl-1—^tan^O=2^tan0

(2)由(1)可得PQ=②P2+4Q2=J(i一tm0)2+嬉嚼/=Jl+j；；：篝血

△力PQ的周長為4P+力Q+PD=1T即。+黑+蕓鬻=2,為定值；

1i

⑶因?yàn)镾四邊形APCQ=S正方形ABCD-SXPBC-SXCDQ=1-aBP?BC-遼CD?DQ

111—tand

221+tan0

11—tanO

R-T+t^0-tane]

12

=2[4-(l+tan0+1+tan0],

又因?yàn)?°<e<45°,所以0<tand<1,

所以l+tcme+高221(1+s皿).森|而=2，！'當(dāng)且僅當(dāng)以1+〃皿=磊,^tane=^2-l

時(shí)取等號(hào)，

所以S四邊形APCQ<1(4-272)=2-/2,

即四邊形4PCQ面積的最大值為2-72.

(1)由題意可得BP,DQ的表達(dá)式，進(jìn)而可得4P,AQ的表達(dá)式；

(2)由(1)和勾股定理可得PQ的表達(dá)式，再求出ATIPQ的周長的表達(dá)式，整理可得為定值；

由S四邊形APCQ=S正方形ABCD—S“BC—ShCDQ，再由ABPC,△CDQ的面積，可得S四邊影4P°Q的表達(dá)式，

再由基本不等式可得該四邊形的