特殊三角形單元培優(yōu)卷

一'選擇題（每題3分，共30分）

1.若等腰三角形的兩邊長分別為2和5,則它的周長為（）

A.9B.7C.12D.9或12

2.如圖，等邊A/BC的邊長為4,點E是邊AB的中點，且BE=CF,貝UC。的長為（）

A.4B.3C.2D.1

3.在△ABC中，乙ABC=30°,AB邊長為4,AC邊的長度可以，1、2、3、4、5中取值，

滿足這些條件的互不全等的三角形的個數(shù)是（）.

A.3個B.4個C.5個D.6個

4.如圖，AABC的面積為6,AB=5,4。平分NB4C.若E,F分別是4C,40上的動

點，貝UFE+FC的最小值（）

A?甘18.忙C.|D.3

5.如圖，等邊AABC中,D為AC中點，點P、Q分別為AB、AD上的點，BP=AQ=4,

QD=3,在BD上有一動點E,則PE+QE的最小值為（）

A.7B.8C.10D.12

6.如圖：點C在AB上，ADAC、AEBC均是等邊三角形，AE、BD分另U與CD、CE交于點M,

N,則下列結(jié)論①AE=DB,②CM=CN,③ACMN為等邊三角形，④MN〃BC.正確

的有個.（）

3個D.4個

7.如圖，RthABC^,ZC=90°,分另U以4B、AC、BC為邊在48的同側(cè)作正方形4BEF、

ACPQ.BCMN,四塊陰影部分的面積分別為Si、52、S3、.若已知ACXBC=12,則

51+$2+$3+54的值為（）

A.18B.24C.25D.36

8.如圖，點E是BC的中點，AB1BC,DCIBC,4E平分/-BAD,下列結(jié)論:

①ZAED=9O。；②4ADE=4CDE；③DE=BE；@AD=AB+CD,

四個結(jié)論中成立的是（）

A.①②④B.①②③C.③④D.①③

9.如圖，已知乙4OB=120。，點。是乙4OB的平分線上的一上定點，點E,F分別在射線

。4和射線OB上，且ZEDF=60。.下歹U結(jié)論：①△DEF是等邊三角形；②四邊形DEOF的

面積是一個定值；①當。E104時，AOEF的周長最??；④當DEII0B時，OF也平行

于。4其中正確的個數(shù)是（）

第9題圖第10題圖

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，任意畫一個乙4=60。的小ABC,再分別作^ABC的兩條角平分線8E和CD,

BE和CD相交于點P,連接AP,以下結(jié)論：

①乙BPC=120°；②AP平分N3AC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤S4PB肌

SapCA=AB：AC,正確的有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

二'填空題（每題4分，共24分）

11.如圖，陰影部分是兩個正方形，其他三個圖形是一個正方形和兩個直角三角形，則

陰影部分的面積之和為.

第11題圖第13題圖第14題圖

12.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為52。，則該三角形的底角的度數(shù)

為.

13.如圖，在△ACD中，^ACD=90°,ZX=30°,AC=b,CD=a,以C為圓心，CD

為半徑畫弧，交斜邊AD于點B,AB=c,則下列說法正確的是.（填序號）

①ABC。是等邊三角形，（2）a+c<b,③a=c,④b=2a

14.如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,ZC=55。，M,N分別是邊BC,CD±

的動點，當AAMN的周長最小時，AMAN=°.

15.如圖，在△ABC中，AH^,AE//BC,AB=AE,在AB邊上取點。，連接DE,DE=AC,

若SMBC=5SA4DE，BH=1,貝.

16.如圖，有一直角三角形紙片ABC,乙4cB=90。，NB=30。，AC=1,CD1AB^

點O.F,G分別是線段40,8。上的點，H,I分別是線段AC,BC上的點，沿HF,G/折

疊，使點4B恰好都落在線段CD上的點E處.當FG=EG時，4F的長是

三、綜合題(17-19每題6分，20-21題每題8分，22題12分，共46分)

17.如圖，在AABC中，AD±BC,AD=12,BD=16,CD=5,求：

(1)△ABC的周長；

(2)△ABC是否是直角三角形？為什么？

18.在AZBC中=CB&BC=90。1為AB延長線上一點，點E在BC上，且ZE=CF.

(1)求證：BE=BF-,

(2)若NCAE=30°,求乙4CF度數(shù).

19.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O,AB=AC,點E是BD上一點,

且NABD=NACD,ZEAD=ZBAC.

(1)求證：AE=AD；

(2)若NACB=65。，求NBDC的度數(shù).

B

20.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,CDLAB于點D,AC=8,BC=6,E,F分別

是直線AC,AB上的動點，連結(jié)EF.

(1)求CD的長.

(2)若點E在邊AC上，且3AE=2CE,EFXAC,求證：CF平分/ACD.

(3)是否存在點E,F,使得以C,E,F為頂點的三角形與△CDF全等?若不存在,

請說明理由；若存在，求出所有符合條件的DF的長.

21.在AABC中，=40°,乙4cB=110。，。為邊BC延長線上一點，連接4D.

(1)如圖1,當乙D=ZB時，求證：AB=CD；

(2)如圖2,當乙D=2/B時，求證：AB=AD+CD；.

(3)如圖3,當AB=CD時，求證：Z.D=Z.B.

22.概念學(xué)習

規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三

角形互為”等角三角形

從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，

另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

(1)理解概念

如圖1,在RtAABC中，乙4cB=90。，CDLAB,請寫出圖中兩對“等角三角形”

(2)概念應(yīng)用

如圖2,在△ABC中，CD為角平分線，乙4=40。，Z.B=60°.

求證：CD為AZBC的等角分割線.

(3)在AABC中，”=42。，CD是△ABC的等角分割線，直接寫出乙4cB的度數(shù).

答案解析部分

15【答案】CDCBC

6-10.【答案】DAACB

11.【答案】64

12.【答案】71。或19°

13.【答案】①③

14.【答案】70

15.【答案】|

16.【答案】|

17.【答案】(1)解：VAD±BC,AD=12,BD=16

?'?AB=>JAD2+BD2=7122+162=20

同理：AC=^AD2+CD2=V122+52=13

?.AABC的周長為AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；

(2)解：VBC2=(BD+DC)2=212=441,AB2=202=400,AC2=132=169

/.BC2#AB2+AC2

.?.△ABC不是直角三角形.

18.【答案】(1)證明：:2ABC=90。，

."CBF=AABE=90°,

在RtAABE和Rt△CBF中｛(工二需

：.Rt△ABE=RtACBF(HL),

：.BE=BF.

(2)解：'：AB=BC,^ABC=90°,

/.CAB=乙4cB=45°,

XVZ.BAE=ZCAB-乙CAE=45°-30°=15°,

由(1)知：Rt4ABE二RtXCBF,

"BCF=Z.BAE=15°,

A^ACF=乙BCF+乙ACB=15°+45°=60°.

19.【答案】（1）證明：?；NBAC=NEAD

???ZBAC-NEAC=ZEAD-ZEAC

即：NBAE=NCAD

在^ABE和aACD中

Z.ABD=匕ACD

AB=AC，

Z-BAE=Z-CAD

.*.△ABE^AACD(ASA),

???AE=AD；

(2)解：?.?NACB=65。，AB=AC,

???NABC=NACB=65。，

.,.ZBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-65°-65°=50°,

?.?NABD=NACD,ZAOB=ZCOD,

???NBDC=NBAC=50。.

20.【答案】(1)解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

?-AB=V62+82=10.

VCD±AB于點D,

:?S〉A(chǔ)BC=?BC=^AB-CD,

：.10CD=6x8,即=餐.

(2)解：如圖LV3AE=2CE,AC=8,CD=空

，CE=|x8=g,即CE=CD.

VCDXAB,EF±AC,

JZCDF=ZCEF=90°.

VCF=CF,

，△CEF且△CDF(HL),

ZECF=ZDCF,

，CF平分/ACD.

（3）解：存在點E,F,使得以C,E,F為頂點的三角形與△CDF全等.

由題意，以C,E,F為頂點的三角形與△CDF全等，

CF是公共邊，有四種情形：

①如圖2,若點E,F在線段AC,AD±.

圖2

當CE=CD，ZCDF=ZCEF=90°時,

VCF=CF,.*.△CEF^ACDF,

，CE=CD=券，AE=8-g=9

VEF=FD,EF2+AE2=AF2,

FD)2,

12

???FDT-

②如圖3,若點E,F在射線AC,AB±.

同①可得4CEF^ACDF,

EF=FD,EF2+AE2=AF2,

32,

FD2+2他+不-)2,

48

??

?FD號.

③如圖4,若點E在線段AC上，點F在線段BD上.

當EF=CD,乙CDF=乙CEF=90°時,

???CF=CF,

△CEF=△FDCf

■：EF2+AE2=AF2,

24,32,

(y)29+(8-FD)2=(M+FD)2,

JJ

8

AFD=5,

④如圖5,若點E在射線CA上，點F在射線BA上.

當EF=CD,乙CDF=乙CEF=90"時,

,:CF=CF,

:.&CEF三AFDC,止匕時△AC。

3272

???FD=AF+AD=AC+AD=8+-g-=

綜上，所有符合條件的DF的長是稱，等，萼，等

21.【答案】(1)證明：VZ/1CB=110°,

:?(ACD=180°-乙ACB=70°,

ZD=Z.B=40°,

/-AB=AD,“AD=180°-ZD-^ACD=70°,

工乙ACD=乙CAD,

：.CD=AD,

：.AB=CD；

(2)證明：如圖所示，在43上截取一點E使得4E=力以連接。巴

：.^ACD=180°-^ACB=70°,

ZD=2ZB=80°,

J.^LCAD=180°-"CD-^ADC=30°,

*：Z-BAC=180°-ZB-乙ACB=30°,

J.^CAE=^CAD