北師大版高中數學（選修2-3）教聽評課記錄：第三章1回歸分析一.基本信息

2023年10月26日，上午第二節(jié)課，授課教師張明，學科/課程名稱為高中數學（選修2-3），班級/年級為高二（12）班，教學主題或章節(jié)為第三章“回歸分析”。聽課人李華，職務為教研組長，聽課目的為教學研究，重點關注回歸分析概念的理解和實際應用能力的培養(yǎng)。本節(jié)課旨在通過實例引入回歸分析的基本思想，掌握線性回歸方程的求法，并初步體會其應用價值。

二.課堂觀察記錄

1.教學準備

教師的教學計劃清晰，圍繞回歸分析的核心概念展開，分為概念引入、公式推導、實例應用三個層次。教學資源準備充分，教材中相關案例完整呈現，教具包括直尺、坐標紙等，多媒體課件展示了數據圖表和動態(tài)演示過程。特別注意到教師提前收集了氣溫與果樹產量、學習時間與考試成績等真實數據，為后續(xù)討論提供素材。

2.教學過程

（1）開始階段：教師通過“身高與體重關系”的實例導入，引導學生觀察散點圖中數據分布趨勢，自然引出“用數學模型描述變量關系”的課題。通過提問“如何找到最佳擬合直線？”，激發(fā)學生思考，效果良好。

（2）展開階段：采用“講授+小組討論”結合的方式。教師首先系統(tǒng)講解回歸直線方程的推導過程，結合多媒體動態(tài)演示最小二乘法的幾何意義，突破難點。隨后組織學生分組分析氣溫與果樹產量的數據，要求自主繪制散點圖、計算回歸系數。教師巡視指導時，針對個別小組“變量順序顛倒”的錯誤及時糾正，并強調“自變量與因變量的確定依據”。課堂生成的問題如“為什么殘差平方和最小？”通過類比“走直線距離最短”的生活經驗得以化解。

（3）結束階段：用“某校800名高三學生模擬考試成績與學習時長數據”作為綜合案例，要求學生完整完成從數據整理到回歸預測的全過程。布置作業(yè)時分層設計：基礎題要求計算給定數據的回歸系數，拓展題則要求分析“時間過長是否一定提高成績”的合理性。

3.師生互動

師生交流頻率高，教師通過“追問式提問”引導學生思考，如“這條直線是否唯一？”“如何驗證擬合效果？”等。學生參與度達90%以上，尤其討論環(huán)節(jié)中，多數小組能主動分享計算過程，產生3處思維碰撞：①有小組質疑“樣本量過小是否影響結論”，教師引導補充隨機抽樣說明；②對“回歸系數正負意義”的理解出現分歧，通過對比“斜率與增長率”的類比問題達成共識。

4.學生學習狀態(tài)

學生整體專注度高，課堂前20分鐘因案例引入出現短暫討論高潮。合作學習效果顯著，散點圖繪制環(huán)節(jié)中，動手能力較弱的學生主動接受幫扶，如“如何用坐標紙均勻標度”等問題由同伴演示解決。有4名學生嘗試用Excel軟件生成回歸分析結果，教師及時展示其與手工計算的一致性，引發(fā)后續(xù)技術拓展興趣。

5.課堂管理

課堂紀律良好，小組討論時通過“分區(qū)域活動”避免聲音干擾。時間分配合理：概念講解12分鐘，方法推導10分鐘，實例分析18分鐘，符合認知規(guī)律。節(jié)奏控制得當，在難點突破處適當放慢，如最小二乘法公式推導時用“字母類比法”可視化抽象過程。

6.教學技術使用

現代教育技術使用有效。多媒體演示回歸直線動態(tài)擬合過程，強化“最優(yōu)擬合”的直觀理解；電子白板支持小組實時展示計算步驟，便于教師針對性點評。有學生反饋“動態(tài)調整數據點位置時更易觀察模型變化”，教師回應“建議課后用GeoGebra軟件探究參數影響”，體現技術支持深度學習的作用。

三.教學效果評價

1.目標達成

本節(jié)課的教學目標明確且適切，聚焦于回歸分析的核心概念和方法。目標設定分為三個層次：理解回歸分析的基本思想，掌握線性回歸方程的求法，初步體會其在解決實際問題中的應用。從課堂表現和作業(yè)反饋看，目標達成度較高。在概念理解方面，通過“身高與體重”的導入和“氣溫與果樹產量”的分組探究，90%以上的學生能夠準確描述回歸分析是“用數學模型擬合變量關系”的過程，并能解釋“回歸直線是‘最佳擬合’的依據”。方法掌握方面，85%的學生能夠獨立完成5組給定數據的線性回歸方程求解，錯誤主要集中在樣本中心點坐標計算和自由度確定上。應用意識培養(yǎng)方面，綜合案例中，60%的學生能結合學習時長和成績數據進行回歸預測，并簡單分析結論的局限性，如指出“需考慮非線性關系”或“樣本外推需謹慎”。目標適切性體現在：例題選擇兼顧統(tǒng)計思想和方法操作，基礎題與拓展題難度梯度符合學生認知水平，未出現因目標過高導致多數學生產生挫敗感或目標過低導致思維淺表化的問題。

2.知識掌握

（1）概念理解：學生對回歸分析本質的理解較深入。通過“類比法”將最小二乘法與“兩點間距離最短”關聯(lián)，使抽象公式具象化。課堂提問環(huán)節(jié)，當教師提問“為什么不能直接用平均數連線”時，有學生能回答“誤差會集中在兩端”，說明已初步建立“擬合效果”的量化意識。教材P58“思考與探究”中關于“非線性回歸”的案例，有32名學生標記了疑問，體現概念學習的延伸性。

（2）技能掌握：核心技能達成度呈現分層特征?；A操作（描點、畫線、計算）掌握率在92%以上，如坐標紙使用規(guī)范性普遍提高。進階技能（殘差分析）掌握相對薄弱，部分小組對“殘差平方和”的統(tǒng)計意義理解停留在“數值計算”層面，未能將其與“擬合優(yōu)度”建立直接聯(lián)系。教師通過“對比不同擬合直線的殘差和”的對比實驗，使85%的學生理解了“方差最小”的幾何解釋，但仍有少數學生混淆“殘差和”與“殘差平方和”的區(qū)別。技能掌握的差異性反映在作業(yè)中：基礎題正確率達97%，但涉及參數檢驗的拓展題正確率僅為68%，暴露出“重操作輕原理”的問題。

3.情感態(tài)度價值觀

（1）興趣激發(fā)：真實情境的引入有效提升了學習興趣。氣溫與果樹產量的數據來自當地農業(yè)局公開資料，學生分析時出現“預測家鄉(xiāng)果園收益”的主動提問，說明數學與現實生活的聯(lián)系能顯著增強學習動機。技術拓展環(huán)節(jié)，GeoGebra軟件的操作體驗引發(fā)了12名學生課后提交的“技術輔助統(tǒng)計”研究簡報，反映出技術應用對興趣的促進作用。

（2）思維發(fā)展：課堂中體現出的批判性思維主要體現在兩個維度。一是對“回歸系數符號”的討論，有小組質疑“學習時間延長未必成績提高”的現象，教師引導其從“邊際效應遞減”角度思考，培養(yǎng)了多角度分析問題的能力。二是實驗探究中，對“樣本量影響擬合效果”的爭議，促使學生嘗試用不同樣本分割同一數據集，深化了對“統(tǒng)計推斷”的理解。但思維深度有待加強，多數學生僅停留在“驗證結論”層面，較少主動質疑模型假設（如線性關系、獨立性）。

（3）合作意識：小組討論環(huán)節(jié)的觀察顯示，合作學習有效促進了同伴互教。實驗數據整理時，存在“動手型”學生帶動“理論型”學生的現象，如某小組通過“分工繪圖-匯總計算-交叉檢查”的流程，將個體差異轉化為集體優(yōu)勢。但合作效率存在個體差異，部分小組因分工不清導致討論偏離主題，反映出合作規(guī)范的培養(yǎng)仍需持續(xù)強化。教師通過“小組互評表”的運用，使合作評價從“結果導向”轉向“過程導向”，如“成員參與度”“方法展示”等維度的權重設置，對改善合作狀態(tài)產生積極作用。

（4）價值觀塑造：案例教學中滲透了“數據驅動決策”的理性精神。學習時長與成績的案例引發(fā)出“是否應延長學習時間”的討論，學生自發(fā)搜集“睡眠剝奪實驗”等反向證據，教師適時引入“統(tǒng)計倫理”的討論，使數學學習與人文素養(yǎng)的融合自然融入。對技術工具的態(tài)度上，多數學生形成了“技術是輔助而非替代思考”的辯證認知，如使用Excel后仍有學生堅持手工計算驗證，體現了科學態(tài)度的培養(yǎng)。

綜合評價，本節(jié)課在回歸分析的教學中較好地實現了知識傳授與能力培養(yǎng)的統(tǒng)一，尤其在真實情境創(chuàng)設和技術應用方面具有示范價值。后續(xù)教學可進一步強化統(tǒng)計思想的滲透，通過增加“模型檢驗”環(huán)節(jié)深化對假設條件的關注，同時加強合作學習的規(guī)范指導，以實現思維品質和協(xié)作能力的同步提升。

四、總結與建議

1.總體評價

本節(jié)課展現出較高的教學質量和較強的示范性，整體印象是目標明確、過程扎實、互動有效。最突出的優(yōu)點體現在三個方面：一是教學設計具有鮮明的現實導向性，通過“身高體重”“果樹產量”“學生成績”等貼近生活的案例，使抽象的統(tǒng)計模型回歸其應用本源，有效激發(fā)了學生的學習興趣和探究欲望。二是教學方法體現了層次性，從概念引入到方法推導再到實例應用，符合高二學生的認知規(guī)律。特別是將最小二乘法推導過程分解為“類比幾何圖形-借助計算器求解-解釋統(tǒng)計意義”的步驟，既突破了公式記憶的難點，又培養(yǎng)了學生的邏輯思維。三是課堂管理體現了科學性，教師對時間節(jié)奏的把控精準，通過“問題鏈”引導學生逐步深入，同時利用電子白板、小組評價等手段維持了良好的課堂秩序和學習氛圍。從學生反應看，課堂參與度高，多數學生能夠積極思考、主動參與討論，學習效果顯著。

2.改進建議

（1）深化統(tǒng)計思想的理解：當前教學對“回歸分析”本質的理解偏重于“計算方法”，對“統(tǒng)計推斷”的內涵挖掘不足。建議后續(xù)教學中增加“抽樣分布”的鋪墊，通過“不同班級同一模型差異”的對比實驗，使學生認識到回歸系數的隨機性。例如，可設計“隨機分組模擬”活動，讓學生用同一數據集生成多個回歸方程，直觀感受“模型不確定性”的統(tǒng)計意義。此外，在殘差分析環(huán)節(jié)，應補充“正態(tài)分布假設”的檢驗過程，如繪制殘差圖并解釋其形態(tài)與模型適配度的關系，以強化統(tǒng)計思想的全鏈條認知。

（2）加強技能應用的深度：當前學生技能掌握呈現“操作型”特征，對方法的靈活運用和批判性評價能力有待提升。建議在實例分析中增加“模型選擇”的決策環(huán)節(jié)，如提供“氣溫與果樹產量”的非線性數據，讓學生比較線性與指數回歸的擬合效果差異，并解釋選擇依據。同時，可將“Excel統(tǒng)計工具”與“計算器操作”進行對比教學，引導學生根據實際需求選擇合適的技術手段，培養(yǎng)技術素養(yǎng)與數學思維的融合能力。拓展題的設計上，可增加開放性情境，如“分析某校體測成績與訓練時長關系時，如何判斷訓練效果”，使技能應用回歸教育實踐。

（3）優(yōu)化合作學習的效能：當前小組討論存在“活躍小組”與“沉默小組”并存的現象，部分學生存在“搭便車”行為。建議引入“結構化合作”模式，如采用“Jigsaw”分組法，在數據收集、模型計算、結果展示等不同階段進行人員調整，確保全員參與。同時，完善評價機制，將“過程性評價”與“結果性評價”結合，如增加“問題貢獻度”“方法展示次數”等量化指標，并設計“組內互評表”引導學生反思合作行為。此外，可設置“技術輔助合作”任務，如用GeoGebra的共享白板功能同步展示各組的計算步驟，通過技術手段促進深度互動。

（4）強化技術工具的整合：雖然多媒體使用有效，但技術工具的深度應用仍有提升空間。建議在方法推導環(huán)節(jié)，利用動態(tài)演示軟件（如GeoGebra）模擬“數據點隨機波動”對回歸直線的影響，使“最小二乘法”的數學本質可視化。在實例分析中，可指導學生用Python或R語言進行更復雜的回歸分析，如多項式回歸、自變量篩選等，通過技術拓展延伸思維邊界。教師可開發(fā)“回歸分析工具包”，包含數據生成器、模型對比器等模塊，為后續(xù)教學提供技術支持。

3.后續(xù)跟蹤

建議進行后續(xù)聽課跟進，重點關注上述改進建議的落實情況。計劃采取以下支持措施：

（1）專題研討：組織“統(tǒng)計思想教學”的集體備課，邀請大學統(tǒng)計學教師進行專題講座，深化教師對“回歸分析”數學本質的理解。結合本節(jié)課案例，設計“統(tǒng)計模型選擇”的教學實驗，通過對比教學驗證改進措施的效果。

（2）技術培訓：安排現代教育技術專項培訓，重點講解GeoGebra、Python等工具在統(tǒng)計教學中的應用案例，并鼓勵教師開發(fā)個性化教學工具。建立“技術支持群”，由教研組骨干解答技術使用中的疑難問題。

（3）課例研究：將改進