專題11三角恒等變換及應(yīng)用目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納一、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ4．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ5．tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)6．tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)二、二倍角公式1．基本公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．2．公式變形(1)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α；(2)升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2．(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)三、輔助角公式、半角公式(1)輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx))，令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，則有asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(cosφsinx＋sinφcosx)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ為輔助角．(2)半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)拓展：萬(wàn)能公式：設(shè)taneq\f(α,2)＝t，則sinα＝eq\f(2t,1＋t2)，cosα＝eq\f(1－t2,1＋t2)，tanα＝eq\f(2t,1－t2)．四、積化和差與和差化積公式1．積化和差公式2．和差化積公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換;利用三角恒等變換求值是近年來(lái)高考考查的重點(diǎn)，常常與三角函數(shù)的其他內(nèi)容相結(jié)合，難度中等選擇題、填空題、解答題都有出現(xiàn).一、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1(2021·全國(guó)甲卷)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，則tanα等于()A.eq\f(\r(15),15)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(15),3)答案A解析方法一因?yàn)閠an2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4).因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(\r(15),4)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(15),15).方法二因?yàn)閠an2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(\f(2sinα,cosα),1－\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq\f(cosα,2－sinα)，所以eq\f(2sinαcosα,1－2sin2α)＝eq\f(cosα,2－sinα)，解得sinα＝eq\f(1,4).因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(\r(15),4)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(15),15).方法歸納：(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn)．二、三角函數(shù)式的求值命題點(diǎn)1給角求值例2(1)（

）A． B． C． D．答案C分析利用誘導(dǎo)公式以及逆用兩角和的正弦公式計(jì)算可得答案.解析.故選：C.(2)化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B．C． D．答案D分析利用正余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可.解析原式化簡(jiǎn)為.故選：D.命題點(diǎn)2給值求值例3(1)已知，且，則.答案/分析根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，即可得到，由正弦函數(shù)的和差角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.解析因?yàn)?，所以，又，所以，所?故答案為：(2)(已知為銳角，滿足，則，．答案//分析由，利用兩角和與差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出；再用余弦的二倍角公式求出.解析因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)闉殇J角，所以為銳角，又，所以，又，所以，所以．故答案為：；.[拓展]1．已知，則.答案/分析利用三角恒等變換化簡(jiǎn)算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得結(jié)果.解析，，所以，而，因此原式.故答案為：.命題點(diǎn)3給值求角例4已知α，β均為銳角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，則cos2α＝，2α－β＝.答案eq\f(1,7)eq\f(π,3)解析因?yàn)閏osα＝eq\f(2\r(7),7)，所以cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(1,7).又因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14)，因此sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)－eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)棣翞殇J角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<eq\f(π,2)，又β為銳角，所以－eq\f(π,2)<2α－β<eq\f(π,2)，又sin(2α－β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq\f(π,3).方法歸納：(1)給值(角)求值問(wèn)題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．(2)給值(角)求值問(wèn)題的一般步驟①化簡(jiǎn)條件式子或待求式子；②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；③將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．三、三角恒等變換的綜合應(yīng)用例5已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案(1)，(2)分析（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步利用恒成立問(wèn)題求出參數(shù)的取值范圍．解析（1）由題意得，解得所以，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）可知因?yàn)?，所以所以所以?dāng)，即時(shí)，取得最小值因?yàn)楹愠闪⒌葍r(jià)于，所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是[拓展]1．已知函數(shù)的最小值為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案(1)(2)分析（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)的最小值，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用三角函數(shù)圖象的變換，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的解，畫出圖象，結(jié)合圖象和正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.解析（1）解：由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，可