專題19立體幾何初步（Ⅱ）（七大題型+模擬精練）目錄：01平面的基本性質(zhì)02空間共點(diǎn)、共線、共面等問題03異面直線04空間直線與平面的位置關(guān)系05空間平面與平面的位置關(guān)系06空間中的角、距離問題綜合07空間中動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、翻折等動(dòng)態(tài)問題01平面的基本性質(zhì)1．下列說法正確的是（

）A．若直線兩兩相交，則直線共面B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行C．若平面上有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則平面與平面平行D．若不共面的4個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間中直線與平面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】對(duì)于A中，當(dāng)直線交于同一點(diǎn)時(shí)，則直線可能不共面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)直線傾斜方向不同時(shí)，直線與平面所成的角也可能相等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)這3個(gè)點(diǎn)不在平面的同側(cè)時(shí)，平面與平面相交，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，根據(jù)題意，顯然這4個(gè)點(diǎn)不可能在平面的同側(cè)，當(dāng)這4個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè)1，3分布時(shí)，這樣的平面有4個(gè)，當(dāng)這4個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè)2，2分布時(shí)，這樣的平面有3個(gè)，所以這樣的平面有且只有7個(gè)，所以D正確.故選：D．2．下列說法正確的是（）A．四邊形確定一個(gè)平面B．如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)C．經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面D．經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面【答案】B【解析】略3．已知是兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若且，則B．若是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，則C．若直線，直線，則與為異面直線D．若且，則直線【答案】C【分析】根據(jù)基本事實(shí)3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實(shí)1（公理3）可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可判斷C；根據(jù)基本事實(shí)2（公理1）可判斷D.【解析】對(duì)于A，由根據(jù)且，則是平面和平面的公共點(diǎn)，又，由基本事實(shí)3（公理2）可得，故A正確；對(duì)于B，由基本事實(shí)1（公理3）：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，又，且，則，故B正確；對(duì)于C，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由基本事實(shí)2（公理1）：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故D正確.故選：C.4．下列結(jié)論正確的是（

）A．兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.B．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.C．如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.D．若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面.【答案】B【分析】利用推論可判斷B正確；對(duì)A項(xiàng)，由基本事實(shí)3可知；對(duì)C項(xiàng)，兩個(gè)相交的平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；對(duì)D項(xiàng)，平面內(nèi)可找到無數(shù)條直線與相交.【解析】對(duì)選項(xiàng)A，由基本事實(shí)3，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過A點(diǎn)的公共直線，而不是任意一條過點(diǎn)的直線都是兩平面的交線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩兩相交的三條直線交于一點(diǎn)，則三條直線最多可以確定三個(gè)平面，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若這三個(gè)公共點(diǎn)共線，兩平面可能相交，不一定重合，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，若直線不平行于平面，且，則直線與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為，則平面內(nèi)所有過點(diǎn)的直線都與相交于點(diǎn)，而不是異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.02空間共點(diǎn)、共線、共面等問題5．已知互不重合的三個(gè)平面α、β、γ，其中，，，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．b與c是異面直線 B．a(chǎn)與c沒有公共點(diǎn)C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得相應(yīng)的空間圖形，從而可得正確的選項(xiàng).【解析】∵，∴，，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴，如圖所示：故A，B，C錯(cuò)誤；故選：D．6．如圖，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．C．三線共點(diǎn) D．【答案】D【分析】對(duì)于AB，利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對(duì)于C，利用平面公理判斷得，的交點(diǎn)在，從而可判斷；對(duì)于D，舉反例即可判斷.【解析】對(duì)于AB，如圖，連接，，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，故AB正確；對(duì)于C，如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以三線共點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又，則，故D錯(cuò)誤.故選：D.03異面直線7．設(shè)，是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則是異面直線 D．若，則或，是異面直線【答案】D【分析】利用空間中線、面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【解析】對(duì)于A，可設(shè)為平面，顯然，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可設(shè)為平面，顯然，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可設(shè)分別為平面，平面，顯然，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則兩平面不會(huì)有交點(diǎn)，所以或，是異面直線，故D正確.故選：D8．已知四邊形是矩形，平面為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助于長(zhǎng)方體，由為相應(yīng)的棱的中點(diǎn)，得，所以即為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，計(jì)算即可.【解析】根據(jù)題意，借助于長(zhǎng)方體，為相應(yīng)的棱的中點(diǎn)，所以，所以即為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，根據(jù)題意可得，，，，所以為等邊三角形，．故選：C．9．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，直線和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，利用圓錐體積公式可得，結(jié)合可導(dǎo)數(shù)求出圓錐體積最大時(shí)，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，所以直線與所成的角為或其補(bǔ)角，求出，即可求解.【解析】如圖，圓錐的母線長(zhǎng).設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，圓錐的體積.令，則.令，得或.因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí).因?yàn)?，所?延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則四邊形是平行四邊形，所以，所以直線與所成的角為或其補(bǔ)角.在等腰三角形中，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A.10．直線l與平面成角為，點(diǎn)P為平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P與平面成角為，且與直線l所成角為的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．4條【答案】C【分析】過與平面成角的直線形成一個(gè)圓錐的側(cè)面（即圓錐的母線與底面成角），然后考慮這些母線中與直線成角的直線有幾條，通過圓錐的軸截面可得．【解析】如圖所示，設(shè)直線與平面相交于，直線在平面的射影為直線.且直線與平面所成角為，即.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)，圓錐的軸平面，即圓錐的任意一條母線與平面所成角都等于.當(dāng)過點(diǎn)的母線為直線時(shí)，直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，即,當(dāng)過點(diǎn)的母線沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，直線與直線所成角為，即，所以過點(diǎn)的直線從沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，與直線所成角的范圍為，故存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，同理可得，過點(diǎn)的直線從沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，也存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，所以過點(diǎn)的直線與平面所成角為，與直線所成角為的直線有2條.故選：C.04空間直線與平面的位置關(guān)系11．若，為兩條直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則與相交【答案】C【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)線線平行和線面垂直的性質(zhì)得到答案.【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若，，則與平行或異面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則與異面、平行或相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)直線，滿足且，若，則，而，則，C正確；對(duì)于D，若，，則與相交或異面，D錯(cuò)誤.故選：C.12．如圖，已知四棱錐中，平面平面，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若側(cè)面為等邊三角形，求四面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由三角形中位線結(jié)合且得到四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定證得平面；（2）由面面垂直得到線面垂直從而得到到平面的距離，在梯形中得到的面積，由得到所求棱錐體積.【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又由平面平面，所以平面．?）如圖，連接．因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面．因?yàn)?，所以，，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離．在梯形中，由，可得，所以，又由，所以，故，所以四面體的體積為．13．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，底面，點(diǎn)E在棱上.(1)求證：平面；(2)若，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即可.（2）根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.【解析】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)闉榱庑危?，又平面平面，所以平?（2）如圖，連接，則平面，由平面，平面，平面，得，故即為二面角的平面角，在菱形中，，所以，又，所以，由點(diǎn)E為的中點(diǎn)，得，所以為等腰三角形，在內(nèi)過點(diǎn)E作高，垂足為H，則，所以，即二面角的余弦值為.14．如圖，在四棱錐中，平面為等邊三角形，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）先求得，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列方程來求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)度.【解析】（1）依題意，所以，所以，所以，則，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面.（2）由（1）可知兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，依題意，二面角的大小為，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以.05空間平面與平面的位置關(guān)系15．已知兩條直線m，n和三個(gè)平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理可判斷出A和B正誤，利用線面垂直的判定定理可判斷出C的正誤，利用線面平行的判定定理可判斷出D的正誤.【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，兩平面α，β可能平行可能相交，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，兩平面β，γ可能平行可能相交，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，設(shè)，，在γ取一點(diǎn)O，過O分別作于B，于C，則，，因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，，所以，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，可得或，所以D錯(cuò)誤.故選：C.16．如圖，已知四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)分別在上.(1)若，求證：平面平面；(2)若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，平面？并證明你的結(jié)論.【答案】(1)證明見解析(2)為中點(diǎn)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例和線面平行的判定定理可證得平行于平面，由面面平行的判定可證得結(jié)論；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)、線面平行和面面平行的判定可證得平面平面，由面面平行性質(zhì)可得結(jié)論.【解析】（1），，四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面；，，平面，平面，平面；，平面，平面平面.（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：設(shè)，取中點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；分別為中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，平面，平面平面，平面，平面.17．如圖，在四棱錐中，，，四邊形為菱形，，平面，E，F(xiàn)，Q分別是BC，PC，PD的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先利用中位線定理證得，，再利用線面與面面平行的判定定理即可得證；（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量法，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又E，F(xiàn)，Q分別是BC，PC，PD的中點(diǎn)，所以，，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平?因?yàn)?，，平面，所以平面平?（2）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以，故，因?yàn)槠矫?，，平面，所以，，故PA，AE，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，又，，則，解得，令得，，故，設(shè)二面角的平面角為，結(jié)合圖形可知，則，故二面角的正弦值為.18．如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，，進(jìn)而證明為平行四邊形，可得，再證明，由面面平行的判定定理得證；（2）方法1，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；方法2，先證明平面平面，過作交于，則就是直線與平面所成角，利用平面幾何求出最小，得解.【解析】（1）連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，為半個(gè)圓柱上底面的直徑知，由，，知，，則，又四點(diǎn)共面，所以，由為直三棱柱的側(cè)面知，即，則，由為的中點(diǎn)得，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，，則平面，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）（法一）以為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)，則，由平面平面知直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則時(shí)，的最大值為．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）在直三棱柱中，底面，因?yàn)榈酌妫?，由?）知，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，因?yàn)椤?，且正方形的邊長(zhǎng)為2，所以，則，又，要使值最大，則最小，在中，過作交于，由等面積可求出，此時(shí)．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．06空間中的角、距離問題綜合19．在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】D【分析】在平行六面體中，取，利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.【解析】在平行六面體中，令，，，由，，得，，對(duì)于，顯然，，則，即，因此直線與所成的角為，A正確；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，，即，因此直線與所成的角為，C正確；對(duì)于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，則平面平面，連接交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，，則，即，由及選項(xiàng)C知，，則，D錯(cuò)誤.故選：D20．在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，且，平面平面，則直線AC與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】取為的中點(diǎn)，先證明平面，得為所求線面角，由邊長(zhǎng)間的關(guān)系求正弦值.【解析】平面平面，又平面平面，平面，，則平面，又平面，故平面平面，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，平面平面，平面平面，為等邊三角形，則，故平面，則直線AC與平面所成角即為，令，則，，，故.故選：A21．已知棱長(zhǎng)為1的正方體分別是AB和BC的中點(diǎn)，則MN到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【解析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，因?yàn)榉謩e是AB和BC的中點(diǎn)，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，則，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，，，所以，即，故選：C.22．在四面體中，平面平面，是直角三角形，，則二面角的正切值為．【答案】/【分析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，證得平面，得到，再由，證得平面，得到BD，得出為二面角的平面角，在直角中，即可求解．【解析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則,因?yàn)锽C，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭侵苯侨切?，且，所以，所以且，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，則BD，所以為二面角的平面角，在直角中，可得．故答案為：.

07空間中動(dòng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)、翻折等動(dòng)態(tài)問題23．若將正方體繞著棱AB旋轉(zhuǎn)后，CD所在位置為的位置，則直線和平面所成的角為.【答案】/【分析】由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在正方形內(nèi)，可得平面與平面的夾角為，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可.【解析】如圖，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在正方形內(nèi)，則為頂角的等腰三角形，，所以平面與平面的夾角為，旋轉(zhuǎn)后顯然與平面垂直，所以直線和平面所成的角為.故答案為：.24．邊長(zhǎng)都是為1的正方形和正方形所在的兩個(gè)半平面所成的二面角為，、分別是對(duì)角線、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二面角的平面角定義，可得為平面和平面所在的兩個(gè)半平面所成的二面角的平面角，設(shè)，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得取值范圍．【解析】設(shè)，，則，由題意，，在上的投影是同一點(diǎn)，設(shè)為，連接，，則為平面和平面所在的兩個(gè)半平面所成的二面角的平面角，則，由，可得，由，可得，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)椋?，則．故選：D．25．如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.【解析】（1）由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.26．已知棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，滿足，且，則四棱錐體積的最小值為.【答案】【分析】利用正方體的空間垂直關(guān)系去證明平面內(nèi)的點(diǎn)都滿足，再去證明動(dòng)點(diǎn)M在以為圓心，以為半徑的圓上，從而利用點(diǎn)M在圓上的性質(zhì)去解決最值問題.【解析】解：如圖所示，設(shè)，由正方體性質(zhì)可知平面，由于平面，，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，即點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)椋耘c點(diǎn)在以點(diǎn)為球心，1為半徑的球面上，又因?yàn)槠矫?，到平面的距離為的一半，由正方體的邊長(zhǎng)為1，則，又，，在平面內(nèi)，且以H為圓心，為半徑的半圓弧上，到平面的距離的最小值為，四棱錐體積的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：借助空間關(guān)系可知到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M在線段的中垂面上，又由到定點(diǎn)距離為1的點(diǎn)M又在球面上，從而得到點(diǎn)M的軌跡是中垂面截平面的小圓.27．如圖1，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，將沿進(jìn)行翻折，翻折后點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，且滿足平面平面，如圖2．(1)若點(diǎn)在棱上，平面，求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，即可得到，再由面面垂直的性質(zhì)得到平面，再由設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，利用等體積法計(jì)算可得.【解析】（1）因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面平面，平面，所?（2）取的中點(diǎn)，連接，依題意，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，連接、，則，所以，又，，，，所以，又平面，平面，所以，所以，則，則，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.28．在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，現(xiàn)有如下說法①不存在點(diǎn)，使得平面②存在點(diǎn)，使得平面③當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面④當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有平面其中正確的說法有（

）A．①③ B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】對(duì)于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于②，若平面，則，建系利用向量運(yùn)算即可判斷；對(duì)于③④，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識(shí)判斷即可.【解析】對(duì)于①，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由，而平面，平面，得平面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若存在點(diǎn)，使得平面，則，又，可得，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，，，則，，，，則，，，，所以，這與矛盾，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)不是的中點(diǎn)時(shí)，由，且面，面，可知面，又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，故③正確；對(duì)于④，由③可知，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以平面，故④正確.綜上，③④正確.故選：B.一、單選題1．（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，．設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)空間中直線與平面的關(guān)系，結(jié)合必要不充分條件的定義即可判斷.【解析】當(dāng)時(shí)，取為平面內(nèi)一條與l垂直的直線，得，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以．結(jié)合，所以，必要性成立．綜上可知，甲是乙的必要不充分條件．故選:B．2．（2024·安徽蕪湖·三模）下列說法正確的是（

）A．正方體各面所在平面將空間分成27個(gè)部分B．過平面外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與這個(gè)平面平行C．若空間中四條不同的直線滿足，則D．若為異面直線，平面平面，且與相交，若直線滿足，則必平行于和的交線【答案】A【分析】利用空間關(guān)系，可以判斷AB，對(duì)于C可用正方體模型來舉反例，對(duì)于D也是舉反例.【解析】對(duì)于A，利用四個(gè)側(cè)面將空間分成九個(gè)部分，再由上下底面又將空間分成上中下三層，所以可以將空間分成27個(gè)部分，故A是正確的；對(duì)于B，因?yàn)檫^平面外一點(diǎn)可以作一個(gè)平面與該平面平行，在這個(gè)平行平面內(nèi)有無數(shù)條過該點(diǎn)的直線都與已知平面平行，故B是錯(cuò)誤的；對(duì)于C，在正方體中，把看成，把看成，把看成，把看成，它們滿足，但不滿足，故C是錯(cuò)誤的；對(duì)于D，由平面平面，且與相交于，則，即滿足條件，但此時(shí)與重合，它們不平行，故D是錯(cuò)誤的；故選：A.3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知正方體分別是的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】C【分析】通過證明面可得，從而排除AB，再利用證明平面以及排除D即可.【解析】由已知面，面，則，又，，面，所以面，又面，所以，排除AB，明顯分別為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，C正確；若平面，則必有，又，所以，明顯不成立，D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面【答案】D【分析】由條件，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，再證明，判斷A，由，根據(jù)線面平行判定定證明平面，判斷B，由平面，結(jié)合面面垂直判定定理證明平面平面，判斷C，設(shè)平面，結(jié)合線面垂直性質(zhì)可證，推出矛盾，判斷D.【解析】因?yàn)樗倪呅问菆A柱的軸截面，則線段是直徑，都是母線．又是底面圓周上異于的一點(diǎn)，于是得.而平面，平面，則.因?yàn)?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，因此得，A正確；因?yàn)?平面，平面，所以平面，B正確；因?yàn)槠矫?，而平面，所以平面平面，C正確．點(diǎn)不在底面內(nèi)，而直線在底面內(nèi)，即是兩條不同直線，若平面，因平面，則，與矛盾，D不正確；故選：D.5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，為的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得的軌跡為線段，即可得解.【解析】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，又面，面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因?yàn)槭莻?cè)面上一點(diǎn)，且平面，所以的軌跡為線段，，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.6．（2024·遼寧·三模）如圖，已知正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），，，分別為，，上的點(diǎn)，，，分別記二面角，，的平面角為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)為三角形中心，過作，，，得到，，，再以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，得到直線，直線，直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離，求得點(diǎn)O到直線的距離判斷.【解析】設(shè)為三角形中心，底面如圖2，過作，，，由題意可知，，，由圖2所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，∵，，∴，，則直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知，，，∴，則，因?yàn)?，，為銳角，所以.故選：B.7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是一個(gè)以為直徑，點(diǎn)為圓心的半圓，其半徑為4，為線段的中點(diǎn)，其中，，是半圓圓周上的三個(gè)點(diǎn)，且把半圓的圓周分成了弧長(zhǎng)相等的四段，若將該半圓圍成一個(gè)以為頂點(diǎn)的圓錐的側(cè)面，則在該圓錐中下列結(jié)果正確的是（

）A．為正三角形 B．平面C．平面 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】C【分析】根據(jù)題意,還原圓錐原圖,找出對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度關(guān)系,位置關(guān)系.很容易得解.【解析】選項(xiàng)A，該半圓圍成的圓錐，如圖所示，設(shè)圓錐底面半徑為，則，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，且，∴，為等腰直角三角形，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若平面，則，直角中，，∴，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，∵，∴平面，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，∵，，∴平面，∴平面平面，∴到直線的距離即為到平面的距離，又∵，∴到直線的距離等于到直線的距離，為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選:C.8．（2024·浙江紹興·二模）在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，將沿著翻折至，使得，則四棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，通過分析得出，外接球球心在過底面外接圓圓心且垂直于底面（即平行于）的直線上面，且底面外接圓半徑為，設(shè)到平面的距離為，過作于點(diǎn)，從而，由此列出方程組求出結(jié)合球的表面積公式即可得解.【解析】依題意取的中點(diǎn)為，且交于點(diǎn)，注意到是的中點(diǎn)，三角形是等邊三角形，從而是三角形的中心，同時(shí)有，，，面，面，所以面，而面，所以平面面，故而點(diǎn)在平面的投影在上面，注意到三角形與三角形都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，即三角形與三角形全等，從而，，面，面，所以面，因?yàn)槊妫?，因?yàn)槊妫?，所以，又因?yàn)?，面，面，故有面，所以，注意到點(diǎn)是直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，所以是四邊形（或三角形）外接圓的圓心（這是因?yàn)?，從而四點(diǎn)共圓），所以四棱錐的外接球的球心在與平面垂直的上，且底面四邊形外接圓的半徑為，設(shè)到平面的距離為，過作于點(diǎn)，所以，即，解得，這意味著此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，四棱錐的外接球的表面積是.故選：C.二、多選題9．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】AD【分析】根據(jù)線面，面面平行的判定和性質(zhì)，線面，面面垂直的判定和性質(zhì)判斷即可.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，，則，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若，，，則與平行或異面，所以B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，，則可能與平行，相交或在平面內(nèi)，所以C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，因?yàn)椋?，則是平面的一個(gè)法向量，是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，所以，所以D正確.故選：AD.10．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．的面積為B．三棱錐的體積為C．存在點(diǎn)P，使得⊥D．存在點(diǎn)P，使得⊥平面【答案】BD【分析】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P與重合，為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，求出三角形面積，即可判斷；選項(xiàng)B：利用等體積轉(zhuǎn)化法求解即可；選項(xiàng)C：以為直徑的球面與直線沒有公共點(diǎn)，即可判斷；選項(xiàng)D：當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證．【解析】A選項(xiàng)，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，故的面積為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，其中，表示點(diǎn)P到平面的距離，故，所以三棱錐的體積為，故B正確；C選項(xiàng)：在正方體中，以為直徑的球面，半徑，則直線與該球面沒有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：取的中點(diǎn)M，連接PM，當(dāng)P為的中點(diǎn)時(shí)，即為的交點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，故，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椤推矫?，易知⊥平面，因?yàn)槠矫妫訮M⊥，又因?yàn)樵谡襟w中，⊥，而，所以⊥平面，故D正確．故選：BD．11．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五邊形中，四邊形為正方形，，，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到面位置，使得，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．若為的中點(diǎn)，則平面C．折起過程中，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．三棱錐的外接球的體積為【答案】ABD【分析】首先說明，結(jié)合已知，從而證明平面，即可判斷A，由，即可證明B，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求出，即可求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，從而判斷C，連接，即可證明平面，從而得到三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，求出外接球的半徑，即可求出球的體積，即可判斷D.【解析】對(duì)于A：由題意得，所以，即，而已知，且注意到，，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；

對(duì)于C：

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，，所以，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以折起過程中，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑，圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，則三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，又四邊形外接圓的直徑為，，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的體積，即三棱錐的外接球的體積為，故D正確.故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是證明平面平面，從而確定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，即可判斷B，D選項(xiàng)關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求四棱錐的外接球的體積.三、填空題12．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若將正方體繞著棱AB旋轉(zhuǎn)后，CD所在位置為的位置，則直線和平面所成的角為.【答案】/【分析】由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在正方形內(nèi)，可得平面與平面的夾角為，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件求解即可.【解析】如圖，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在正方形內(nèi)，則為頂角的等腰三角形，，所以平面與平面的夾角為，旋轉(zhuǎn)后顯然與平面垂直，所以直線和平面所成的角為.故答案為：.13．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．【答案】【分析】取中點(diǎn)為，根據(jù)二面角平面角定義可知，得到為等邊三角形；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和異面直線所成角的定義可知：或其補(bǔ)角即為所求角，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【解析】連接，，，取中點(diǎn)，連接，，∵四邊形，為矩形，∴，，平面平面，平面，平面，∴即為二面角的平面角，∴，又，，∴，∴為等邊三角形，∴；∵，分別為，中點(diǎn)，∴，，∴（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，∵，∴，∴，所以異面直線與所成角的正弦值為．故答案為：．14．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直，點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，若，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，則該四面體的內(nèi)切球半徑為．【答案】或【分析】先確定點(diǎn)的軌跡，確定四面體體積最大時(shí)，，點(diǎn)的位置，再利用體積法求內(nèi)切球半徑.【解析】如圖：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，且，所以平?平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以.又在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡是如圖所示的以為直徑的半圓，作于，則是三棱錐的高.所以當(dāng)?shù)拿娣e和都取得最大值時(shí)，四面體的體積最大.此時(shí)點(diǎn)應(yīng)該與或重合，為正方形的中心.如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)：，，，，中，因?yàn)?，，，所?設(shè)內(nèi)切球半徑為，由得：.如圖：當(dāng)點(diǎn)與重合，為正方形的中心時(shí)：，，，，.設(shè)內(nèi)切球半徑為，由得：.綜上可知，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其內(nèi)切球半徑為：或.故答案為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)得到點(diǎn)在以為直徑的球面上，又點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部，所以點(diǎn)軌跡就是球面與平面的交線上，即以為直徑的半圓上.明確點(diǎn)軌跡是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題15．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】利用線面垂直判定定理來證明；用向量法計(jì)算兩平面夾角的余弦值，再求夾角的正弦值；【解析】（1）取中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，則．證明：，由，得，由，得，因?yàn)槠矫妫云矫妫?）

由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則,故，令，得面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的值為，則，所以，二面角的正弦值為．16．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的底面為正方形，其中點(diǎn)在平面上的投影為，點(diǎn)在線段上.(1)求證：平面平面；(2)若與平面所成角為45°，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，，從而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可得到平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解二面角的余弦值即可.【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴.∵平面，平面，∴.∵，平面，，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，∵與平面所成角為45°，∴，∴，，，，∴，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴.易知為平面的一個(gè)法向量，∴，由圖可知，二面角為銳角，∴所求二面角的余弦值為.17．（23-24高三上·山東棗莊·期末）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若底面為矩形，，異面直線與所成角的余弦值為，求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）通過證明平行于面內(nèi)的一條直線，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的長(zhǎng)并表達(dá)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用異面直線與所成角的余弦值得出，求出平面的一個(gè)法向量，即可得出到平面的距離.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）由題意（1）及幾何知識(shí)得，在直四棱柱中，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.