專題突破卷04導數(shù)中利用構(gòu)造函數(shù)解決題型題型一構(gòu)造新函數(shù)比較大小1．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，和，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】令，，則，令，則即單調(diào)遞增，所以，故為增函數(shù)，所以，可得，故.令，則，故為增函數(shù)，所以0，即.所以，故，所以b故選：B.2．已知，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)判斷單調(diào)性，進而利用單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小.【詳解】由題，.令（），則，因為，所以，所在上單調(diào)遞增，又，，，，故.故選：C.3．已知定義域為R的偶函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，若，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)奇偶性及導數(shù)確定單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】令，由偶函數(shù)知，當時，，故為奇函數(shù)，當時，則為減函數(shù)，由奇函數(shù)知，在上為減函數(shù)，而，所以，即，故選：D4．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)、利用導數(shù)判斷單調(diào)性，作商比較大小即可得解.【詳解】解：由題意，∵，∴，∴，即有.又因為，設(shè)，，則，當且僅當時等號成立；∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當時，即有，當且僅當時等號成立；.∴，即有.又因為，設(shè)，，則，當且僅當時等號成立；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，即有，當且僅當時等號成立；.∴，即有.綜上知，.故選：D.5．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用其單調(diào)性判斷.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，所以，即，設(shè)，則，遞增，則，即，所以，令，則，，當時，，則遞減，又，所以當時，，遞減，則，即，因為，則，所以，即，故，故選：D6．設(shè)，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由時，，然后構(gòu)造函數(shù)求導，即可判斷.【詳解】對，因為，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，且時，，則，即；當時，，則，且當時，，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，先考慮函數(shù)，，則.故，從而.再考慮函數(shù)，，則.故，即，故.綜上，，故選：B.7．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，則、、，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，即可判斷a，b，c的大小.【詳解】，，，令且定義域為，則，所以在上，即遞減，故，即.故選：A8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)分析這兩個函數(shù)的單調(diào)性，可得出、的大小，、的大小，利用不等式的基本性質(zhì)可得出、的大小關(guān)系，由此可得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，則，所以，因為，則，當時，證明，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，所以當時，，則，所以，所以，因此.故選：D.9．若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的形式，分別構(gòu)造函數(shù)和，利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性后，通過比較和時的函數(shù)值可得大小關(guān)系.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，即，；，令，則，在上單調(diào)遞減，，即，；綜上所述：.故選：B.10．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，即可比較，，由，可比較，，從而得到答案【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，又因為，所以，則，故選：B11．已知，滿足（是自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題知，令，進而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得，，再與求和整理即可判斷A、B，再由零點存在性定理判斷C、D.【詳解】因為，所以，即，也即，即，令，由，即，所以，即，令，，在恒成立，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，由，，所以，，所以，則，所以，故A錯誤；又因為，得，所以，解得，所以，故B錯誤；令，則在定義域上單調(diào)遞減，又，，，則在上存在唯一零點，又，所以，故C錯誤；因為，因為，所以，所以，，所以在上存在唯一零點，即，則，又，則，所以，故D正確.故選：D12．已知，，，則m，n，p的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將換成，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)分析其在的右側(cè)包括的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合即可得出m，n，p的大小關(guān)系.【詳解】令，則，，，當，，設(shè)，則，，在單調(diào)遞減，，，當，，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，，，，故選：A.題型二構(gòu)造新函數(shù)利用單調(diào)性解不等式13．定義在上的函數(shù)導函數(shù)為，若對任意實數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，根據(jù)導數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合已知將問題化為，再根據(jù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，對任意實數(shù)x，有，所以，則在上單調(diào)遞減.因為為奇函數(shù)，且的定義域為R，所以，所以，所以.因為，所以求不等式的解集，即求的解集，即求的解集，因為在上單調(diào)遞減，所以的解集為，所以不等式的解集為.故選：B14．定義在上的可導函數(shù)滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，并求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】令，則，故單調(diào)遞減，即，得，解得：.故選：B.15．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知討論導數(shù)符號可得單調(diào)性，由可得，將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性可解.【詳解】記，則，因為，所以當時，，則，在上單調(diào)遞增；當時，，則，在上單調(diào)遞減.又，即，所以，因為，所以，解得.故選：B16．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)得出對稱軸，再根據(jù)單調(diào)性結(jié)合對稱性列出不等式求解.【詳解】由得，的圖象關(guān)于直線對稱，令，則是偶函數(shù)，又當時，恒有，故在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則，即得解得或.故選：C.17．已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導得到單調(diào)性，結(jié)合，得到，根據(jù)單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】令，則，所以不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式，即，構(gòu)造函數(shù)，則，由題意，，所以為上的增函數(shù)，又，所以，所以，解得，即，所以.故選：B18．已知定義域均為的函數(shù)的導函數(shù)分別為，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用函數(shù)導數(shù)的四則運算構(gòu)造新,，則用新函數(shù)的單調(diào)性解題即可.【詳解】令，則，所以單調(diào)遞減．由，得，所以．故選：B.19．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，將所求不等式進行同解變形，利用單調(diào)性得到一元二次不等式，解之即得.【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞增.又，故可轉(zhuǎn)化為，即，由單調(diào)遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.20．已知可導函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)滿足，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，原不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，則，故在上單調(diào)遞減，不等式可變形為，即，所以且，解得.故選：A21．已知函數(shù)的定義域是，對任意的，，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題目給的對任意的，，都有，得出的單調(diào)性，再利用的圖象關(guān)于點對稱，得到的奇偶性求解最后的不等式.【詳解】因為任意的，，都有.所以令，則，令，則在單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于對稱，即為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，由，可得當時，又，則所以當時，當時，，且，所以，則解集為或故選：C.22．已知函數(shù)及其導數(shù)的定義域均為，對任意實數(shù)，，且當時，.不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，從而結(jié)合導數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，在將所給不等式中化為即可得解.【詳解】令，則，由題意可得，當時，，即在上單調(diào)遞增，由，則，即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，則不等式可化為：，即，則有，即，即，即，解得.故選：B.23．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式化簡構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解原不等式.【詳解】不等式等價于，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，因為時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因為，所以不等式等價于，所以，即的解集為.故選：A.24．已知定義在R上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)題意可得函數(shù)為偶函數(shù)以及其單調(diào)性，再分以及討論即可得出答案．【詳解】設(shè)，則，由于當時，，則當時，，在單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，,則，則函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，當時，由，可得，即，解得；當時，由，可得，即，解得；綜上，不等式的解集為,,．故選：B．題型三構(gòu)造新函數(shù)證明不等式25．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)選項構(gòu)造兩個函數(shù)，，再利用導數(shù)思想，來研究在上是否是單調(diào)函數(shù)，即可作出選項判斷.【詳解】令，則，令，則恒成立，即在定義域上單調(diào)遞增，且，因此在區(qū)間上必然存在唯一，使得，所以當時單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增，故，B均錯誤；令，當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，，即選項C正確，D不正確．故選：C．26．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.【詳解】因為在上遞減，且，所以，因為在上遞減，且，所以，令，則，因為，所以，所以在上遞增，因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C27．已知，則下列結(jié)論正確的序號是（

）①，②，③，④若，則A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】B【分析】推導出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷①，利用作差法可判斷②④，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷③.【詳解】因為，即，則，得.對于①，因為指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則，①對；對于②，，則，②錯；對于③，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，故，③對；對于④，，則，則，④錯.故選：B.28．下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由不等式可得A正確，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得B正確，作差之后化簡可得C錯誤，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得D正確.【詳解】由：令，則，所以上，遞減，上，遞增，故，所以，而，所以，所以A正確；由知，：令，則，令得：，所以在上遞減，所以，即，所以，所以B正確；由于，即，所以C錯誤；由知，：令，則，令，則，令得所以在上遞增，所以對恒成立，即對恒成立，所以在上遞增，所以，即，亦即，所以D正確.故選：C29．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，由單調(diào)性可得，利用所得不等式化簡整理即可得到大小關(guān)系.【詳解】令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，由得：，，即；由得：，，即；綜上所述：.故選：D.30．已知函數(shù)，若，則與的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．不能確定【答案】A【分析】設(shè)，利用導數(shù)先研究函數(shù)和圖象性質(zhì)，并得到在上恒成立，若，可知，若，則顯然，若，由，所以，綜上所述，.【詳解】由，，當或時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，，且，設(shè)，則，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，，設(shè)，則設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，，即恒成立，所以在單調(diào)遞增，則，即恒成立，所以在單調(diào)遞增，則，所以在上恒成立，在顯然也成立，如圖，若，可知，若，則顯然，若，由，所以，綜上所述，故選：A31．下列四個不等式①，②，③，④中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先證明、，利用判斷①②③，令令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可說明④.【詳解】令，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當且僅當時取等號）；令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當且僅當時取等號）；對于①：當時，所以，故①正確；對于②：因為（當且僅當時取等號），所以，當且僅當時取等號，故②正確；對于③：（當且僅當時取等號），故③錯誤；對于④：令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以（當且僅當時取等號），故④正確；綜上可得①②④正確．故選：C32．若函數(shù)有兩個極值點，且，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C．的范圍是 D．【答案】B【分析】對于AC，原函數(shù)的極值點即為導函數(shù)的零點，求導后等價于與有兩個交點，結(jié)合單調(diào)性等函數(shù)特征畫出圖象判斷出，且；對于B，利用，推導，則可得；對于D，而等價于，構(gòu)造合適的函數(shù)進行分析.【詳解】對于AC，，有兩個極值點且，所以，有兩個零點，且在各自兩邊異號，所以與有兩個交點，，記，則，易知：時，時，所以在上遞增，在上遞減，所以有最大值，且時，時，又當趨向于正無窮時，趨向于正無窮的速率遠遠超過趨向于正無窮的速率，所以趨向于0，且，由上可得的圖象如下，所以當且僅當時與有兩個交點，且，故A，C正確；對于B，又，所以，即，故B錯誤.對于D，令，則，所以，則，，所以要證，只需證，只需證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即時，不等式得證，故D正確.故選：B.33．已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點可將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的大致圖象，即可根據(jù)圖象求解A，根據(jù)極值點偏移，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解B，根據(jù)可得，即可求解C，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由可得，令，其中，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，且當時，，當時，，，如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故A錯誤；由圖可知，，因為，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則必有，所以，，則，令，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，即，又，可得，因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則，即，故B錯誤；由，兩式相加整理可得，所以，，可得，故C錯誤；由圖可知，則，又因為，所以，，故D正確.故選：D.34．已知函數(shù)存在兩個極值點，若對任意滿足的，均有，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由導函數(shù)的兩個零點求出的單調(diào)區(qū)間，求出所在區(qū)間，再由已知可得在同一單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，進而求得，然后借助對勾函數(shù)單調(diào)性求出的范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，由函數(shù)存在兩個極值點，得，即有兩個不等的正根，則，解得，當或時，，當時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，，則直線與的圖象有3個公共點，此時，顯然，令，求導得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，由，得，因為對任意滿足的，均有，則有必在同一單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，因此，而恒成立，從而，又，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C35．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】觀察的式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，從而得到，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出，從而得解.【詳解】因為，，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，因為，所以，即，即，所以；又，所以，即.綜上，.故選：.36．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當時，，再通過構(gòu)造函數(shù)進一步得到，，可比較大小.【詳解】根據(jù)題意，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，，所以，，從而當時，.故選：D題型四構(gòu)造新函數(shù)研究方程的根37．若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有三個交點，構(gòu)造，利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)圖象求解.【詳解】由可得，記，則，當或時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在取得極小值，，在處取得極大值，，而時，恒有成立，方程恰有三個不相等的實根，即曲線與直線恰有三個不相等的交點，與直線圖象如下，由圖知，當時，曲線與直線恰有三個不相等的實根；故選：A38．若關(guān)于的方程存在三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方程轉(zhuǎn)化為，令，利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值，確定關(guān)于的方程存在三個不等實數(shù)根的條件，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于的方程存在三個不等的實數(shù)根，等價于方程存在三個不等的實數(shù)根，令，，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，時，當時，有極大值，方程，，方程有兩個不等的實數(shù)根，且兩根之積為，則方程有一正根一負根，且正根位于區(qū)間上，此時關(guān)于的方程存在三個不等的實數(shù)根，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：B.39．已知關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，分別記為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形給定方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討方程取得兩個不等根的的范圍，再借助一元二次方程求解即得.【詳解】顯然不是方程的根，則方程的根即為方程的根，令，得，設(shè)，求導得，由，得或，由，得，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，作出的大致圖象，如圖，依題意，方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)為，，觀察圖象知，方程的每一個根，由得兩個不同的值，于是，且，由，解得，不妨設(shè)，則，由，得，所以的取值范圍為.故選：A40．若方程有三個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由方程得，令，可得，令，其中，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)原方程有三個不同的解可得出的兩根的取值范圍，利用二次函數(shù)的零點分布得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，可求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】由方程，可得，令，則，令，其中，則，令，得，列表如下：，0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程有三個不同的解，而關(guān)于的二次方程至多有兩個根．當關(guān)于的二次方程有兩根時，設(shè)這兩根分別為，，不妨設(shè)，則，①，或，②，或，，③，由①得，解得，在②中，將代入，可得，所以，與矛盾，故無解；在③中，，代入，可得，所以，與矛盾，故無解．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．故選：B．41．已知方程恰有兩個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.【詳解】由題知，故方程恰有兩個不同的根．設(shè)，，則與的圖像有兩個交點，，令，得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于0，，當時，，在同一坐標系中做出與的大致圖像如圖所示，設(shè)直線與的圖像相切時切點的橫坐標為，，即．設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，，，，由圖可知，方程恰有兩個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為，故選:B．42．函數(shù)，則方程解的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求定義域，求導，得到函數(shù)單調(diào)性和極值情況，且當時，，畫出函數(shù)圖象，得到與的圖像有2個交點，從而求出答案.【詳解】，函數(shù)定義域為，，令，解得或；令，可得或，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，；當時，取得極大值；當時，取得極小值；因此，函數(shù)的大致圖像如圖所示，因為，所以與的圖像有2個交點，可知方程有2個解.故選：C43．若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導，根據(jù)極值分析可得與有2個變號交點，對求導，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合的圖象分析求解.【詳解】因為的定義域為，且，令，可得，由題意可知與有2個變號交點，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，且當x趨近于0，趨近于，當x趨近于，趨近于0，可得的圖象，如圖所示：由圖象可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.44．若關(guān)于x的方程存在三個不等的實數(shù)根．則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不是方程的根，當時，變形為，構(gòu)造，，求導得到函數(shù)單調(diào)性，進而畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】當時，，，兩者不等式，故不是方程的根，當時，，令，則，當，時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且當時，，當時，，畫出的圖象如下：

令，，則，當，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，且當時，，當時，，畫出，的函數(shù)圖象，如下：

令，，則，由于在上恒成立，故當，時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，其中，從的函數(shù)圖象，可以看出當時，，當時，，畫出函數(shù)圖象如下，

要想有三個不同的根，則.故選：D45．已知函數(shù)有兩個極值點，（），函數(shù)有兩個極值點，（），設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解法一：求出函數(shù)的導函數(shù)，則，是方程的兩個實數(shù)根，，是方程，即的兩個實數(shù)根，設(shè)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到，，，從而得到，最后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)計算可得；解法二：求導可得，是與圖象交點的橫坐標；，是與圖象的交點的橫坐標，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)得到，，從而求出的取值范圍.【詳解】解法一：由可得，則，是方程的兩個實數(shù)根，由可得，則，是方程，即的兩個實數(shù)根.設(shè)，則，當時，當時，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，因為，是方程的兩個實數(shù)根，，是方程的兩個實數(shù)根，且，，所以，，，則，，，所以，又在上單調(diào)遞增，所以.解法二

第一步：對函數(shù)求導，將問題進行轉(zhuǎn)化；由可得，則，是方程的兩個實數(shù)根，即與圖象交點的橫坐標.由可得，則，是方程的兩個實數(shù)，即與圖象的交點的橫坐標.第二步：構(gòu)造函數(shù)，求得的取值范圍；由可得，設(shè)，則，易得在處取得極小值，且，當時，，當時，，所以由方程有兩個實數(shù)根可得，即.（點撥：因為與互為反函數(shù)，且與互為反函數(shù)，所以當與的圖象有兩個交點時，與的圖象也有兩個交點）第三步：利用反函數(shù)的概念對變量進行代換，即可得解；設(shè)，，，，由與互為反函數(shù)，且與互為反函數(shù)，可得與，與分別關(guān)于直線對稱，則，，則，又在上單調(diào)遞增，所以.故選：C46．已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根，構(gòu)造，分和兩種情況，求導，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到實數(shù)的取值范圍，得到答案.【詳解】由題意得有兩個不相等的實數(shù)根，令，當時，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，且，當時，恒成立，當時，，則，當時，，單調(diào)遞增，且，畫出的圖象如下：要想有兩個不相等的實數(shù)根，則，故有兩個不相等的實數(shù)根，則.故選：A47．關(guān)于的方程至少有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出極大值與極小值，再根據(jù)給定根的情況結(jié)合三次函數(shù)的圖象性質(zhì)列式求解即得.【詳解】令函數(shù)，依題意，函數(shù)至少有兩個零點，求導得，顯然，否則恒有，在上遞增，最多一個零點，當或時，，當時，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，而，由函數(shù)至少有兩個零點，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D48．方程（x，，）解的組數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)組【答案】C【分析】將方程整理為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到的圖象，然后結(jié)合且求解即可.【詳解】由題意得，即，即，令，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，圖象如下所示：

因為，，所以當時成立，又，，所以或，即或，所以方程的解的組數(shù)為2組.故選：C.1．已知函數(shù)，若使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為使得成立，分離參數(shù)得到，令，，即成立，通過求得導數(shù)和單調(diào)性，可得的最小值，則可得的取值范圍．【詳解】由得，當時，，此時單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，所以使得成立，即，使得成立，即成立，令，，即，因為，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，則.故選：A.2．，均有成立，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上恒成立，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問題，求的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，由，得，即，兩邊同時除以，得，令，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即恒成立，所以，上恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為1，所以.故選：B3．定義在上的單調(diào)函數(shù)，對任意的有恒成立，若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件單調(diào)函數(shù)，對任意的都有，故必有，且，即可求得，再根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求得方程有兩個不同的實根滿足的條件，求得的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則不妨設(shè)，則，且，解得，所以.設(shè)，則方程有兩個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)與有兩個不同的交點.，易得當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.又，且當時，.故函數(shù)與有兩個不同的交點則.故選：B4．已知為正實數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用構(gòu)造一個函數(shù)，結(jié)合求導思想分析單調(diào)性，從而可得出選項.【詳解】由得：，構(gòu)造函數(shù)，則，可知在上遞增，結(jié)合，得，即由基本不等式可知：，當且僅當時等號成立，所以.故選：C.5．已知函數(shù)的導數(shù)為，若方程有解，則稱函數(shù)是“T函數(shù)”，則下列函數(shù)中，不能稱為“函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，若方程有解，則函數(shù)是“T函數(shù)”，依次判斷選項即可.【詳解】對于A，，則，令，解得：，則函數(shù)是“T函數(shù)”；對于B，，則，令，所以，則在上單調(diào)遞增，，，根據(jù)零點存在定理可得：存在，使得，即方程有解，則函數(shù)是“T函數(shù)”；對于C，，則，因為，則，即方程無解，則不是“T函數(shù)”對于D，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增；由于，，所以存在，使得，即有解，則函數(shù)是“T函數(shù)”故選：C6．設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)a使得恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得等價于，令，函數(shù))和函數(shù)的圖象，一個在直線的上方，一個在直線的下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域為，由得，所以.令，由題意得，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線的上方，一個在直線的下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，由得，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，無最小值，由得，，若時，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，若時，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，則由即且，得.故選：A.7．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為，再設(shè)，轉(zhuǎn)化為求恒成立，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范圍.【詳解】由，兩邊同時加，得：.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.所以.設(shè)，，則，由；由.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.由.故選：C8．已知則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】比較大小，構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可比較大小；比較大小，構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可比較大小.【詳解】令，則，所以單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，所以，即，所以，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，，即，故，，即，所以，所以，故選：A.9．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明，從而判斷、，再令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷、，即可得解.【詳解】令，則，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，當且僅當時取等號，則，即；又，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，當時，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，即，綜上可得.故選：A10．設(shè)，，且，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）①

②

③A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①②根據(jù)指數(shù)對數(shù)運算和基本不等式判斷；③構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷.【詳解】，當且僅當時等號成立，故①錯；，當且僅當時等號成立，故②正確；由題意得，且，令，，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故③正確.故選：C.11．設(shè)，則大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過證明確定的大小關(guān)系；通過證明確定的大小關(guān)系.【詳解】令，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，，所以.令，，令，，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，，所以存在唯一，使得，即當時，，當時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為中一個，而，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，即.所以.故選：B.12．已知，下列四個結(jié)論：①，②，③，④.其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】構(gòu)建函數(shù)證明證明.由變形化簡即可判斷①；證明再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及不等式性質(zhì)判斷②；構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明即可判斷③；根據(jù)不等式可得，即可判斷④.【詳解】由，可得，因為，則，可得，構(gòu)建，則，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，當且僅當時取等號，對于①：由可知，可得，整理得，所以，故①正確；對于②：當時，，則，因為，即，可得，則，可得，所以，故②錯誤．對于③：因為，則，可得，令，則，可得，令，則，因為，當且僅當時取等號，當時，，則當時恒成立，可知在上單調(diào)遞增，則，所以，即，