特訓(xùn)09多面體與求內(nèi)切外接問題（八大題型）一、外接球問題若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球?yàn)榇硕嗝骟w的外接球。簡(jiǎn)單多面體的外接球問題是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)，此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心位置問題，其中球心位置的確定是關(guān)鍵，下面介紹幾種常見的球心位置的確定方法。如果一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡(jiǎn)單多面體的外接球的球心。由此，可以得到確定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心位置有如下結(jié)論：結(jié)論1：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)。結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。結(jié)論3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn)。結(jié)論4：正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到。結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。二、內(nèi)切球問題若一個(gè)多面體的各個(gè)面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。因此，多面體內(nèi)切球球心到該多面體各個(gè)面的距離相等。并非所有多面體都有內(nèi)切球，下面介紹幾種常見多面體內(nèi)切球問題：1.正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。2.正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上，但不一定重合。目錄：01：三棱柱02：四棱錐03：棱臺(tái)04：側(cè)棱垂直于底面05：正方體、長(zhǎng)方體06：其他多面體07：三棱錐08：折疊問題01：三棱柱1．在一個(gè)封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若，，，，則球的體積的最大值為（

）A． B． C． D．2．在正三棱柱中，，為線段上動(dòng)點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值為.3．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為6，經(jīng)過上底面棱的中點(diǎn)與下底面的頂點(diǎn)截去該三棱柱的三個(gè)角，如圖1，得到一個(gè)幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．4．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，，，點(diǎn)在上底面（包含邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）

A． B． C． D．02：四棱錐5．四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，若四棱錐的外接球表面積為，則四棱錐的體積為（

）A． B． C．或 D．或6．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（

）A． B． C． D．03：棱臺(tái)7．已知正四棱臺(tái)，半球的球心在底面的中心，且半球與該棱臺(tái)的各棱均相切，則半球的表面積為（

）A． B． C． D．8．在正三棱臺(tái)中，，，二面角的正弦值為，則的外接球體積為（

）A． B． C． D．04：側(cè)棱垂直于底面9．如圖，四棱錐中，面，四邊形為正方形，，與平面所成角的大小為，且，則四棱錐的外接球表面積為（

）A．26π B．28πC．34π D．14π10．如圖，在四面體中，與均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為.05：正方體、長(zhǎng)方體11．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．12．已知一個(gè)長(zhǎng)方體的封閉盒子，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為3，4，5，盒內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，若將盒子隨意翻動(dòng)，則小球達(dá)不到的空間的體積是（

）A． B．C． D．06：其他多面體13．如圖1，一圓形紙片的圓心為，半徑為，以為中心作正六邊形，以正六邊形的各邊為底邊作等腰三角形，使其頂角的頂點(diǎn)恰好落在圓上，現(xiàn)沿等腰三角形的腰和中位線裁剪，裁剪后的圖形如圖2所示，將該圖形以正六邊形的邊為折痕將等腰梯形折起，使得相鄰的腰重合得到正六棱臺(tái)．若該正六棱臺(tái)的高為，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．14．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（

）①異面直線與所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；③若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④若點(diǎn)為四邊形的中心，點(diǎn)為此八面體表面上動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)07：三棱錐15．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上，為球的直徑，且，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．3 D．16．在正三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，，若，則此正三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．17（多選）．已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（

）A．三棱錐外接球的表面積為B．三棱錐外接球的表面積為C．三棱錐內(nèi)切球的半徑為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑為18（多選）．如圖，在正三棱錐中，，分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．的最小值為D．三棱錐內(nèi)切球的半徑是19．如圖，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為和位于平面的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則，的最大值為.08：折疊問題20．在中，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，將沿直線翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為3，此時(shí)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．21．如圖1，在矩形ABCD中，，，M是邊BC上的一點(diǎn)，將沿著AM折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置.(1)如圖2，若M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段PD的中點(diǎn)，求證：平面PAM；(2)如圖3，若點(diǎn)P在平面AMCD內(nèi)的射影H落在線段AD上.①求證：平面PAD；②求點(diǎn)M的位置，使三棱錐的外接球的體積最大，并求出最大值.一、單選題1．（2024·新疆·三模）設(shè)四棱臺(tái)的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（

）A． B．C． D．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺(tái)，已知該圓臺(tái)的上?下底面積分別為和，高超過，該圓臺(tái)上?下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，，，頂點(diǎn)P到的三邊距離均等于4，且頂點(diǎn)P在底面的射影在的內(nèi)部，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．7．（2024·河北滄州·三模）《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體的棱長(zhǎng)為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．8．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，直角梯形中，，取中點(diǎn)，將沿翻折（如圖2），記四面體的外接球?yàn)榍颍榍蛐模?是球上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與直線所成角最大時(shí)，四面體體積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．CG與所成角的余弦值為B．與平面的交點(diǎn)H是的重心C．三棱錐的外接球的體積為D．與平面所成角的正弦值為10．（2024·浙江紹興·三模）平行四邊形ABCD中，且，AB、CD的中點(diǎn)分別為E、F，將沿DE向上翻折得到，使P在面BCDE上的投影在四邊形BCDE內(nèi)，且P到面BCDE的距離為，連接PC、PF、EF、PB，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．三棱錐的外接球表面積為D．點(diǎn)Q在線段PE上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為11．（2024·山東濟(jì)寧·三模）如圖，在直三棱柱中，，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），，為的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．直三棱柱體積的最大值為B．三棱錐與三棱錐的體積相等C．當(dāng)，且時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D．設(shè)直線，與平面分別相交于點(diǎn)，，若，則的最小值為三、填空題12．（2024·安徽蕪湖·三模）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的體積為．13．（2024·湖北武漢·模擬