第1頁(yè)/共1頁(yè)杭州學(xué)軍中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷命題人：王瑛審題人：陳炳臻諸杰鋒一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】解：，，故選：C.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)的意義，則且，解得且，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D3.下列命題正確的是（）．A.小于的角是銳角 B.第二象限的角一定大于第一象限的角C.與終邊相同的最小正角是 D.若，則是第四象限角【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角定義判斷A，取特殊角判斷B，根據(jù)終邊相同的角判斷C，確定所在象限判斷D.【詳解】，但是由銳角的定義知不是銳角，故A錯(cuò)誤；是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與終邊相同的最小正角是，故C正確；且，所以第三象限角，故D錯(cuò)誤.故選：C4.已知函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組，解出即可得.【詳解】由對(duì)任意，都有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得.故選：D.5.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則等于（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的表達(dá)式為，即可利用對(duì)稱性求解一個(gè)周期內(nèi)的值，進(jìn)而利用周期性求解即可.【詳解】由的圖象可知，，，故，又且，則可得出，故.又根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知，，，所以，所以,故選：B6.已知，且，則的最小值是（）A.49 B.50 C.51 D.52【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)故選：A7.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值個(gè)數(shù)最多為（）個(gè)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得到，再由，分，，由最大值為求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinωx?π4ω>0所以，解得，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，令，在同一坐標(biāo)系中作出圖象：

令，因?yàn)?，F(xiàn)3=1?所以存在唯一，使得；當(dāng)，即時(shí)，，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值個(gè)數(shù)最多為2.故選：B.8.已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足：對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)，都有，則的最小正周期為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件可得，進(jìn)而，然后根據(jù)周期定義結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)?，所以，即?duì)任意成立，令則，得：，由可得對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，則，即對(duì)任意成立，則為的一個(gè)周期；若為的一個(gè)周期，即，則，整理得，又因?yàn)?，所以這與為定義在R上的非常數(shù)函數(shù)矛盾，所以不是函數(shù)的周期.故選：B.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)代入特殊值法，可判斷A和C，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，可得且，，即，故B正確；對(duì)于C，舉反例，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.關(guān)于直線對(duì)稱B.的最大值為C.在上不單調(diào)D.在，方程（m為常數(shù)）最多有4個(gè)解【答案】BCD【解析】【分析】由題可得，即可得函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】若，則，即，即，，故，，故其圖象如圖所示：對(duì)A：由圖象可得不關(guān)于直線對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由圖象可得的最大值為，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)D：由圖象，當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)解，在時(shí)，方程在少于4個(gè)解，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)，若滿足關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則下列選項(xiàng)中，一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)，得出函數(shù)為偶函數(shù)，從而有，因此方程必有一解為0，代入得，分和兩種情況得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而求得，可得選項(xiàng).【詳解】令，則的定義域?yàn)镽，有，故為偶函數(shù)，則，故A錯(cuò)誤；必有一解為0，則，即，①當(dāng)時(shí)，因時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)時(shí)，在上遞增，，由可得，即解得，又在上遞增，，即，解得，，故C、D正確，B錯(cuò)誤.故選：CD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合知識(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中相應(yīng)的橫線上.12.已知，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解法計(jì)算可得.【詳解】，去分母可得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或均使最簡(jiǎn)公分母不為，所以或?yàn)榉匠痰慕?故答案為：或13.若，則___________.【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式，倍角公式求解即可.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.14.已知，則的最小值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】由基本不等式可知或，又因?yàn)檎液瘮?shù)的值域所以，代入原式，計(jì)算得出，由此可得時(shí)有最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，因?yàn)檎液瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，將代入原方程：，故，整理得，當(dāng)即時(shí)，有最小值.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.若關(guān)于的不等式的解集是.（1）求的值;（2）設(shè)集合，若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的解集可得對(duì)應(yīng)方程的根即可求解；（2）由充分條件建立不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，故的兩根為，且，故；【小問(wèn)2詳解】由題意集合，，由于，則.16.已知函數(shù)，，（1）求的值以及fx的對(duì)稱軸;（2）將函數(shù)fx圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，若，求的取值范圍;（3）已知，求的值.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件代入運(yùn)算，求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換求出的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式；（3）利用平方關(guān)系求出，將轉(zhuǎn)化為，利用兩角差的余弦公式求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，，又，，解得，，令，，所以的對(duì)稱軸為.【小問(wèn)2詳解】由題可得，，所以，即，，即，所以的取值范圍是，.【小問(wèn)3詳解】，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.17.某企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬(wàn)元（），現(xiàn)加大對(duì)某芯片研發(fā)力度，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬(wàn)元.（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?（2）為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出的范圍;若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）120人（2）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到不等式，得出，再用已知條件得出結(jié)果；（2）由條件②得，由條件③得，假設(shè)存在滿足上述條件，則上述兩個(gè)不等式恒成立，求出即可.【小問(wèn)1詳解】依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為萬(wàn)元，則，整理得，解得，因?yàn)榍?，所以，故，所以調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為120人；【小問(wèn)2詳解】由條件①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資，得，整理得;由條件②技術(shù)人員年人均工資不減少，得，解得假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個(gè)條件，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)椋ǎ?，所?所以.18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)，都有，則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中為函數(shù)的對(duì)稱中心.比如，函數(shù)就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為.（1）已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，求的值;（2）已知函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，有唯一的對(duì)稱中心，請(qǐng)寫(xiě)出對(duì)稱中心并證明;（3）已知函數(shù)，其中，若正數(shù)滿足，且不等式恒成立，求的取值范圍【答案】（1），1；（2），證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用對(duì)稱中心的定義列式，再賦值計(jì)算即得.（2）寫(xiě)出對(duì)稱中心，再利用定義推理證明.（3）求出函數(shù)的對(duì)稱中心，進(jìn)而求出和得，對(duì)恒成立的不等式分離參數(shù)，放縮并利用基本不等式求出最小值即可得范圍.【小問(wèn)1詳解】由在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，得，則，而當(dāng)時(shí)，，于是，，所以.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的對(duì)稱中心為，，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)，，則函數(shù)的對(duì)稱中心為，記，則，于是，即，依題意，，為正數(shù)，不等式恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.19.已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對(duì)任意，恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中，，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”.（1）試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由;（2）若為的“3重覆蓋函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）函數(shù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，.，，若為(其中)的“2024重覆蓋函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）不是的“2重覆蓋函數(shù)”，理由見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義直接判斷；（2）求出的值域，然后再確定的取值范圍，由分段函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為使得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得；（3）首先求得的值域，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意要有2024個(gè)根，作出函數(shù)的圖象（可根據(jù)函數(shù)定義化簡(jiǎn)函數(shù)為分段函數(shù)形式），結(jié)合圖象得出結(jié)論，【小問(wèn)1詳解】對(duì)于，