高中數(shù)學(xué)人教A版)必修第一冊第二章綜合檢測卷(培優(yōu)B卷)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，選對得5分，選錯得0分.

1.下列命題為真命題的是()

A.若0>6>0,貝!］々/>歷2B.若a>b,c>d,則

C.若a>5>0,c<0,則工>，D.若〃<b<0,則片〉〃〉々)

ab

【答案】C

【分析】利用特值法和作差法依次判斷選項即可得到答案.

【詳解】對選項A,若a>6>0,c=0,貝!］碗2=歷2,故人錯誤；

對選項B,若Q=4,〃=3,c=3,d=2,滿足〃>人，c>d,

■K!ja-c=b-d=l,故B錯誤.

對選項c,9_￡=如二竺=心二

ababab

因為a>人>0,c<0,所以/>0,c(&-a)>0,則遐一^>0,即

abab

故C正確.

對選項D,因為a<><0,所以"一。2=(a+b)(q一9>0,故q2>〃.

所以加-。6=可6-。)<0,所以〃<",故D錯誤.

故選：C

2.已知a>0,6>0,M=?+揚,N={a+b.則()

A.M>NB.M=NC.M<ND.不能確定

【答案】A

【分析】先利用作差法比較加2與再由于M,N大于零，從而可比較出M,N的大小.

【詳解】因為a>0,6>0,M=8+亞,N=-ja+b,

所以“_解=(6+可—而花2=2荷>0,

所以“2>產(chǎn)，

因為M,N大于零，

所以M>N,

故選：A.

3.已知命題p：mxeR,x2+(a-l)x+l<0,若命題p是假命題，則。的取值范圍為()

A.l<a<3B.-l<tz<3C.-l<a<3D.0<a<2

【答案】B

【分析】由命題p是假命題，可知其否定為真命題，由此結(jié)合判別式列不等式，解得答案.

【詳解】由題意:命題+(°-1)了+1<0是假命題，

其否定：0：VxeR,x2+(a-l)x+lNO為真命題，

即A=(a-l)2-4V0,解得-LVaV3,

故選：B

21

4.若無>0,丁>。，且一+―=1,x+2y>加2+7加恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是()

犬V

A.-8<m<1B.m<-8或m>1

C.根<一1或機>8D.-l<m<8

【答案】A

【分析】先由基本不等式求出％+2y的最小值，進而列出關(guān)于加的一元二次不等式，可求解.

【詳解】因為2+1=1,

%y

由基本不等得1+2y=[2+_L](%+2y)=lZ+m+4z24^^+4=8

y)%yNxy

當(dāng)且僅當(dāng)4上y=一x時，等號成立，所以X+2y的最小值為8

%y

由題可知，>+7帆W(工+2y)而門=8BPm2+7m—8<0，解得—

故選：A

5.下列不等式中正確的是()

d+5

B.y=/,的取小值為2

yJx2+4

1、cca+b、C

C.xH—22D-

x

【答案】A

【分析】利用基本不等式及取特殊值逐項分析即可.

【詳解】由/+±=*+1)+0rlz2卜+1)

當(dāng)且僅當(dāng)V+「/1n戶°時取等號’故A正確,

%2+5

=1

y42+4

當(dāng)且僅當(dāng)際=WT,f+4=l無解,

故取不到最小值2,

故選項B錯誤；

當(dāng)x>0時，x+—>2.L--=2,當(dāng)且僅當(dāng)兀=1時取等號,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)％=-1時取等號，故C不正確；

取。=-1,〃=-2時，竿不成立，故D不正確.

7ab

故選：A.

6.若?！?,b>0,且〃+b=l,則下列說法正確的是()

123/-

A.-+--->-+V2B.a2+b2<-

ab+122

C.---b>2y/3-2D.2/+b>—

Q+18

【答案】A

27

【分析】由基本不等式可判斷A、B、C；因為2/+6=2〃+(1—〃)=2+-,再由二次函數(shù)的性質(zhì)可

8

判斷D.

.b+1la3+20

【詳解】對于A：3+---+----N------,

ab+12ab+12

故A正確;

對于B：Ela+bW小2(/+⑹,回/+加上|_,故B錯誤;

對于C：—--b=—--(l-a)=—+(A+1)-2>2^-2,

4+1Q+l4+1

當(dāng)且僅當(dāng)〃二百-1時取等號，故C錯誤;

對于D：2a2+b=2a2^(l-a]=2(a-^}故D錯誤.

'，I4)88

故選：A.

7.方程/+?―2=0在區(qū)間［1,5］上有根，則實數(shù)。的取值范圍為()

73F231

A.(——,+co)B.(1,+oo)C.D.

【答案】C

【分析】由于方程*2+6-2=0有解，A=a2+8>0,設(shè)它的兩個解分別為無/,X2,則X/-X2=-2<0,

故方程必+6-2=0在區(qū)間［1,5］上有唯一解.

設(shè)危)=/+6-2,則有加幽工。，即(所1)(5°+23)40,

.?3

解得：一-—

故選C.

點睛：己知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

⑴直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

⑶數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

8.已知實數(shù)xN0>y,且一二+二=1,則x—V的最小值是()

x+21-y

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，將所求式子進行整理變形，再利用基本不等式即可求解.

］］

【詳解】?—，等式一1+匚1恒成立，*y+3=(x+2+l-化(互\+幣］

由于x20>y,所以1一>〉0,2+x>0,

1?1x+2/x+21-y

(x+2+l—y)=2+----+i-y>2+2=4,

x+21—yl-yx+21—yx+2

當(dāng)且僅當(dāng)％+2=l—y時，即x=0,y=-l時取等號.

:.x-y+3>4,:.x-y>l,故無一丁的最小值為1.

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.已知aeR,關(guān)于x的不等式風(fēng)口>0的解集可能是（）

x-a

A.（l,fl）B.（-oo,l）u（a,-H?）

C.(-oo,a)u(l,+oo)D.0

【答案】BCD

【分析】分a<0,a=0,0<a<l,a=l,a>l,利用一兀二次不等式的解法求解.

【詳解】當(dāng)〃<0時，不等式等價于（彳-1）@-。）<0,解得a<x<l；

當(dāng)a=0時，不等式的解集是0；

當(dāng)0<a<l時，不等式等價于（x—l）（x—。）>0,解得*>1或x<。；

當(dāng)。=1時，不等式等價于（尤-1'>0,解得XH1；

當(dāng)0>1時，不等式等價于（x—l）（x—。）>0,解得或x<l.

故選：BCD

10.下列說法正確的是（）

Yk—QY

A.關(guān)于尤的方程上7==^的解集中只含有一個元素，貝蛛=-1

x-1X-X

B.若無<0,則函數(shù)y=x+，有最大值，無最小值.

X

x2+3

C.函數(shù)y='的最小值為2

V%+2

D.若ac1>be2則。>b

【答案】BD

【分析】取左=0驗證可判斷A,注意增根；利用基本不等式可判斷B；由基本不等式等號成立條件可判斷C；

由不等式的性質(zhì)可判斷D.

Yk—OY

【詳解】由方程3==^可知XH0且XH1,方程可化簡為f+2x-左=0,

x-1X-X

當(dāng)％=0時，解得x=-2或x=0（舍去），所以此時原方程的解集中只有一個元素-2,故A錯誤;

若x<0,貝i］y=一［（_乃+（__1）］<一2/（-功.（-!）=一2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時等號成立，故B正確；

XVX

%2+3%?+2+1

y——,———J%)+2H—j-22,

J-2+2J%2+2—2+2

因為」X2+2=￡：=x2=T無實數(shù)解可知，所以不等式取不到等號，故C錯誤;

若"則02>0,即!>0,所以所以"故D正確.

故選：BD

11.已知不等式加+Zzx+c>0的解集為｛尤|加<*<?,其中〃>〃z>0,則以下選項正確的有()

A.a<0

B.b>0

C.cY+陵+a>0的解集為［x-<x<—\

［\nmJ

D.c/+取+々>0的解集為%<1_或1>

(|nmJ

【答案】ABC

【分析】根據(jù)二次不等式的解法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得各參數(shù)的與零的大小關(guān)系，再結(jié)合韋達定理,

可得選項中二次方程的解，可得答案.

【詳解】：不等式62+版+<:>0的解集為a<0,故A正確；

??,n>m>0,f(x)=ax2+bx+c,,即Z?>0,故B正確；

由上所述，易知/(。)<0,c<0,

.be

由題意可得私〃為一元二次方程62+6無+c=0,則m+〃=-一,mn=-,

aa

mi11a11m+nb11

則----=-,—+—=-----=,即Qrt一,一為方程0：20+灰+〃=0的解，

nmcnmmncnm

則可知不等式cx^+fox+aX)的解集為［無4<尤<』］,故C正確，D錯誤.

［〃mJ

故選：ABC.

12.已知a>0,6>。，且a+!=l,貝l］()

b

A.HZ?的最小值為4B.的最小值為:

ab4

〃人心目一/上生11曰［/士d/—

c.丁的取大值為丁D.7的取小值為亞一1

b42

【答案】ACD

【分析】結(jié)合己知等式，運用基本不等式、配方法逐一判斷即可.

I

1ci~\—]=1+1+ab4--1-N2+2JaZ?,—1=4,

【詳解】-+b=~+b當(dāng)且僅當(dāng)必=1,即＜"一5'時取等號,

ababab

b=2

則A正確;

1

a=一,

—bL>當(dāng)且僅當(dāng)必=1,即＜2'時取等號，則B錯誤;

2—

b=2

b-1

2IIa金,則c正確;

a_bb-\11|+F當(dāng)廣屋即6=2時，

b

bbb2b2max

1忘

MH-當(dāng)且僅當(dāng),。=]----

L…L上2時取等號，則D正確.

22b2b

b=42

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若正實數(shù)x,y滿足無+2y=4,則g+3，；+31的最小值是.

【答案】25

【分析】利用整體代入法化簡式子，再利用基本不等式即可求出最小值.

【詳解】因為正實數(shù)無，y滿足尤+2y=4,

『小3卜[三+[]詈++[4+寸匕+4.7+；,7+2后2

當(dāng)且僅當(dāng)生=曳且x+2y=4,即無=2y=2時，等號成立，

y%

所以1+3）1+3]的最小值是25.

故答案為：25.

14.已知函數(shù),=-/+3尤一°與y=x+l的圖像上存在關(guān)于x軸對稱的點，則。的取值范圍是

【答案】o＜5

【分析】根據(jù)題意，點WM關(guān)于x軸對稱點為（加,-“），即對于任意的點WM在、=-/+3了-”上，則點

（祖,-〃）在y=x+l上，列出方程即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)點（私〃）在函數(shù),=7+3]-〃上，則n=—m2+3m-a

則點在函數(shù)>=x+l上，BP-n=m+l

所以—（根+1）=T“~+3m—a,化簡可得m2—4m+a—1=0

即△=（T）2-4x（a-l）NO,解得aW5

故答案為：a<5

15.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買X噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元,

要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x=噸.

【答案】20

【詳解】該公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買幽次，運費為4萬元/次，一年

X

的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為（幽-4+4x）萬元，--4+4x>160,當(dāng)幽=

XXX

4x,即x=20噸時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.

點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意"拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中"正"（即條件

要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、"等"（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出

現(xiàn)錯誤.

16.不等式》一〃20對所有的ae[-L,l]都成立，貝心的取值范圍是.

【答案】（―,TU{O}U[1,田）

【解析】看作關(guān)于。的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)恒成立問題列出不等式組，求得，的范圍.

【詳解】設(shè),ae[-M],由

2

/⑴/（-1“）>0即[t一+r/>A0。解得‘‘一1或,‘一°或,

故答案為：

【點睛】本題主要考查一次不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算的學(xué)科素養(yǎng)，屬基礎(chǔ)題.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.比較大?。?/p>

（1）已知x>5,比較x3+5x與5x2+x的大小.

(2)比較戶4a虧和1的大小.

4+<7-

4a

【答案】(])X3+5X>5X2+X；(2)——<1.

4+/7

【分析】⑴利用作差法比較，分解因式判斷正負即可；

(2)利用作差法比較，通分整理判斷正負即可.

【詳解】解：(1)0x>5

0x3+5x-(5x2+x)—x3+4x-5x2—x(x2-5x+4)=x[x(x-5)+4]>0

0x3+5x>5x2+x.

(2)/_1=4?-4-^=_

4+Q4+Q4+〃

【點睛】本題考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知命題P：不等式〃2一5々一3之3恒成立；命題*不等式％之+改+2<0有解，若。是真命題，4是假命

題，求〃的取值范圍.

【答案】[-26-1]

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法、一元二次不等式無解可分別求得P為真和9為假時a的范圍，取交集

即可得到結(jié)果.

【詳解】若。為真命題，則/-5a-620恒成立，解得：aWT或“26；

若9為假命題，貝!11+依+2<0無解，.?.△=“2-840,解得：-2>/2<a<272

綜上所述：若P是真命題，是假命題，則。的取值范圍為卜2行,-1].

19.己知關(guān)于x的不等式辦2-2x+a>0(aW0).

(1)若不等式的解集為R,求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若不等式的解集為求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)(1,+°°)；(2)(―°°,—1].

【解析】在。片0時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)因為原不等式解集為R,

\a>G

則—/<?！獾胓’

回。的取值范圍是(1,+°°).

(2)因為原不等式的解集為。，

則[fa<-0*0,解得。j

國實數(shù)。的取值范圍為(-8,-1].

【點睛】方法點睛：本題考查一元二次不等式的解集問題，解題關(guān)鍵是掌握三個二次之間的關(guān)系，一般解

一元二次不等式，我們都是把二次項系數(shù)化為正數(shù)，然后求解，而在二次項系數(shù)含有參數(shù)時，可以結(jié)合二

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究不等式的解，如恒成立，對應(yīng)二次函數(shù)圖象在x軸上方，不等式

依?+云+c>0解集為空集，則對應(yīng)二次函數(shù)圖象在x軸下方，這樣可由二次函數(shù)性質(zhì)完成求解.

20.某企業(yè)為響應(yīng)國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，企業(yè)擬安

裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購置費(單位：萬元)與設(shè)備的占地面積》(單位：

平方米)成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費C(單位：萬元)與設(shè)備占地面積x

之間的函數(shù)關(guān)系為c(x)=親@>o).將該企業(yè)的凈水設(shè)備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為y(單

位：萬元).

⑴要使y不超過7.2萬元，求設(shè)備占地面積尤的取值范圍；

(2)設(shè)備占地面積X為多少時，>的值最小？

【答案】⑴[11,20]；(2)設(shè)備占地面積為15m2時，y的值最小.

QH

【分析】(1)由題意解不等式0.2尤+--^7.2,即可求得；

x+5

(2)利用基本不等式即可求解.

on

【詳解】(1)由題意得>=。.2%+——(x>0).

要滿足題意，則7.2,

QQ

即0.2%+——W7.2,解得：ll<x<20.

尤+5

即設(shè)備占地面積X的取值范圍為[11,20].

/八”80x+580lx+580._r—

(2)y=0.2x+----=----+------l22j----x------1=2。16—1=7，

x+55x+5V5x+5

Icon

當(dāng)且僅當(dāng)r言=3n%=15時等號成立.

5x+5

所以設(shè)備占地面積為15m2時，>的值最小.

21.已知a,b為正實數(shù)，且工+：=2&.

ab

(1)求M+爐的最小值；

(2)若(〃一匕)2之4(")3,求ab的值.

【答案】(1)1:(2)1.

【分析】(1)根據(jù)』+:=2忘22-]和4+從22而可得結(jié)果；

abvab

(2)由—F—=2A/2^a+b=2^2ab?將(〃一人)？24(ab)3化為-4〃人之縱而了解得結(jié)果即可.

ab

【詳解】(1