11.1平面內點的坐標

第1課時平面直角坐標系的概念

。素養(yǎng)目標

1.通過實際問題抽象出平面直角坐標系及其相關概念，使學生認識平

面直角坐標系原點、橫軸和縱軸等，會由坐標描點，由點寫出坐標；

讓學生體會到平面上的點與有序實數對之間的對應關系.

2.在給定的平面直角坐標系中，會按要求描點、連線，識別圖形，計

算面積.

3.培養(yǎng)學生自主探究與合作交流的學習習噴.

重點：正確認識平面直角坐標系，會準確地由點寫出坐標，由坐標描

八占、、?

難點：坐標平面內圖形面積的準確計算及割補法的運用.

@教學過程

一、情境導入

我們已經學過了數軸，知道數軸上的點與實數一一對應，在建立

了數軸之后，我們就可以確定直線上點的位置，如圖.

ACliD

-7-6-5-4-^-2-l017^4567

那么，如何確定平面內點的位置呢？

二、合作探究

探究點一：有序數對與平面直角坐標系

所如圖是某教室學生座位的平面圖，你能描述小明和小纖同學座位

的位置嗎？

第2頁共162頁

解析：根據生活經驗可知，小明同學的座位在第2列第5行；小

紅同學的座位在第5列第3行,另外，圖示中標出了數，我們可以在

平面內畫兩條相互垂直并且原點重合的數軸，水平的數軸記作x軸或

橫軸，取向右為正方向；豎直的數軸記作y軸或縱軸，取向上為正方

向；交點記作原點(用字母O表示)，這樣就建立了平面直角坐標

系，進而可以用數對來簡潔表示兩位同學的座位位置.

解：可以用有序數對(2,5)表示小明同學的座位位置，用有序

數對(5,3)表示小紅同學的座位位置.

方法總結：數學中，為了確定平面內一個點的位置，我們可以建

立平面直角坐標系，這樣平面內的點就可以用一對有序實數來表示

了，這個有序數對叫作該點在平面直角坐標系的坐標，另外需注意，

(〃，b)與(b,a)表示不同的點.

探究點二：在坐標平面內描點作圖

演在如圖所示的直角坐標系中描出下列各點：

A(4,3),B(-2,3),C(-4,-1),D(2,一3).

解析：本題關鍵就是已知點的坐標，如何描出點的位置，以描點

B(-2,3)為例，即在九軸上找到坐標一2,過一2對應的點作x軸

的垂線，再在y軸上找到坐標3,過3對應的點作y軸的垂線，與前

垂線的交點即為8(—2,3),同理可描出其他三個點.

解：如圖所示：

第3頁共162頁

m在平面直角坐標系中(每個小方格的邊長為單位長度1)描出下

列各點，并將各點用線段依次連接起來：A(0,2),B(-1,-2),

C(2,0),D(-2,0),E(1,-2),A(0,2)；觀察得到的

圖形，你覺得它的形狀像什么？

解析：根據網格結構找出各點的位置，然后順次連接即可.

解：如圖所示，形狀像五角星.

方法總結：在直角坐標系中描出點P(。，b)的方法：先在x軸

上找到數。對應的點M,在y軸上找到數b對應的點N,再分別由點

M、點N作x軸、y軸的垂線，兩垂線的交點就是所要描出的點P.

已知坐標平面上的點的坐標，描出對應點的位置，反過來在坐標平面

上給一點，找出它對應的坐標，熟練掌握平面直角坐標系是解題的關

鍵.

探究點二平面丙圖而面積的訐算

砸！如圖，已知點A(2,-1),B(4,3),C(1,2),求△48C

的面積.

第4頁共162頁

解析：本題宜用補形法.過點A作x軸的平行線，過點C作y軸

的平行線，兩條平行線交于點E,過點B分別作x軸、y軸的平行線，

分別交EC的延長線于點。，交E4的延長線于點R然后根據S三角形

長方形BDEF-S三角形BOC-5三角舫CE4-S三蟲格BFA即可求出三角形ABC

的面積.

解：如圖，過點A作尢軸的平行線，過點C作y軸的平行線，

兩條平行線交于點E,過點B分別作x軸、y軸的平行線，分別交EC

的延長線于點。，交￡4的延長線于點F.TA(2,-1),B(4,3),

C(1,2),:.BD=3,CD=l,CE=3,AE=\,AF=2fBF=4.：.S

1

=

三角形ABCS長方形BDEF~S三角形BDC-S三角形CEA-S三角形BEA=BD-BF-DDCDB

11

一；CEAE-：AFBF=12-1.5-1.5-4=5.

方法總結：主要考查如何利用簡單方法求坐標系中圖形的面積.

已知三角形三個頂點坐標，求三角形面積通常有三種方法：

方法一：直接法，計算三角形一邊的長，并求出該邊上的高；

方法二：補形法，將三角形面積轉化成若干個特殊的四邊形和三角形

的面積的差；

方法三：分割法，選擇一條恰當的直線，將三角形分割成兩個便于計

算面積的三角形.

第5頁共162頁

三、板書設計

（定義i原點、坐標軸

［坐標平面內的描點作圖

平面直角坐標系的概念（坐標平向內圖形面枳的il津

@教學反思

通過平面直角坐標系的有關內容的學習，反映平面直角坐標系與

現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，讓學生認識數學與人類生活的密切聯(lián)系和對人

類歷史發(fā)展的作用，提高學生參加數學學習的積極性.

第6頁共162頁

11.1平面內點的坐標

第2課時點的坐標特征

。素養(yǎng)目標

1.熟悉各象限內點的坐標特征.

2.根據實際問題建立合理的直角坐標系解決一些簡單的實際問題，發(fā)

展數形結合思想和運用數學解決問題的能力.

重點：熟悉各象限內點的坐標特征，根據已知點的坐標建立平面直角

坐標系.

難點：正確認識坐標系的形成，建立適當的平面直角坐標系描述圖形

的位置.

"教學過程

一、情境導入

某小區(qū)里有一塊如圖所示的空地，打算進行綠化，小明想請他的

同學小慧提一些建議，小明要在電話中告訴小慧空地的形狀，為了描

述清楚，他使用了直角坐標系的知識.你知道小明是怎樣敘述的嗎？

二、合作探究

探究點一：各象限內及坐標軸上的點的坐標的特征

［類型—］已知點的坐標判斷點所在的象限

頹I設點M（〃，b）為平面直角坐標系內的點.

（1）當。＞0,時，點M在第幾象限？

（2）當必＞0時，點M在第幾象限？

（3）當。為任意有理數，且〃＜（）時，點M在第幾象限？

解析：（1）橫坐標為正，縱坐標為負的點在第四象限：（2）由

第7頁共162頁

ab>0知a,〃同號，則點M在第一^第三象限；（3）〃V0,則點M

在x軸下方.

解：（1）點M在第四象限.

（2）可能在第一象限（。>0,b>0）或者第三象限（6/<0,b

<0）.

（3）可能在第三象限（〃<0,b<Q）或者第四象限（。>0,b

<0）或者y軸負半軸上.

方法總結：熟記各象限內點的坐標的符號特征：（+,+）表示

第一象限內的點，（一，+）表示第二象限內的點，（一，一）表示

第三象限內的點，（+,-）表示第四象限內的點.

［類型二］根據點所在的象限求字母的取值范圍

的回在平面直角坐標系中，點尸（加，加一2）在第一象限內，則加的

取值范圍是.

解析：根據第一象限內點的坐標的符號特征，橫坐標為正，縱坐

m>0,

標為正，可得關于m的一元一次不等式組17n-2>0.解得m>2.故答

案為m>2.

—方法總結：求點的坐標中字母的取值范圍的方法：根據各個象限

內點的坐標的符號特征，列出關于字母的不等式或不等式組，解不等

式或不等式組即可求出相應字母的取值范圍.

［類型三］坐標軸上點的坐標特征

砸1點4（加+3,加+1）在x軸上，則點A的坐標為（）

A.（0,-2）B.（2,0）

C.（4,0）D.（0,-4）

解析：點A（陽+3,機+1）在x軸上，根據x軸上點的坐標特

第8頁共162頁

征知m+1=0,求出機的值代入m+3中得出A（2,0）.故選B.

方法總結：坐標軸上的點的坐標特點：x軸上的點的縱坐標為0,

y軸上的點的橫坐標為0.根據點所在坐標軸確定字母取值，進而求

出點的坐標.

【類型四】由點到坐標軸的距離確定點的位置

砸！已知點P到x軸的距離為2,到y(tǒng)軸的距離為1.如果過點尸作兩

坐標軸的垂線，垂足分別在x軸的正半軸上和y軸的負半軸上，那么

點P的坐標是（）

A.（2,-1）B.（1,-2）

C.（—2,—1）D.（I,2）

解析：由點P到x軸的距離為2,可知點P的縱坐標的絕對值為

2,又因為垂足在y軸的負半軸上，則縱坐標為一2；由點P到y(tǒng)軸的

距離為1,可知點P的橫坐標的絕對值為1,又因為垂足在x軸的正

半軸上，則橫坐標為1.故點P的坐標是（1,-2）,故選B.

"方法總結：本題的易錯點有三處：①混淆距離與坐標之間的區(qū)別；

②不知道與“點尸到無軸的距離”對應的是縱坐標，與“點P到），

軸的距離”對應的是橫坐標；③忽略坐標的符號出現(xiàn)錯解,若本例題

只已知距離而無附加條件，則點尸的坐標有四個.

探究點二：建立適當的直角坐標系描述圖形的位置

［類型—］根據點的坐標確定直角坐標系

崛右圖是一個圍棋棋盤（局部），把這個圍棋棋盤放置在一個平面

直角坐標系中，白棋①的坐標是（一2,-1）,白棋③的坐標是（一

1,-3）,則黑棋?的坐標是.

第9頁共162頁

解析：由已知白棋①的坐標是（一2,—1）,白棋③的坐標是（一1,

-3）,可知），軸應在從左往右數的第四條格線上，且向上為正方向，

x軸在從上往下數第二條格線上，且向右為正方向，這兩條直線的交

點為坐標原點，由此可得黑棋夢勺坐標是（1,-2）.故答案為（1,

-2）.

方法總結：根據點的坐標確定平面直角坐標系時，先將點的坐標

進行上下左右平移得到原點的坐標，過這個點的水平線為x軸、鉛直

線為y軸.

【類型二】根據幾何圖形建立直角坐標系并求點的坐標

頻長方形的兩條邊長分別為4,6,建立適當的直角坐標系，使它的

一個頂點的坐標為（-2,-3）.請你寫出另外三個頂點的坐標.

解析：以點（—2,-3）向右2個單位長度，向上3個單位長度

建立平面直角坐標系，然后畫出長方形，再根據平面直角坐標系寫出

各點的坐標即可.

解：按如圖所示建立直角坐標系.???長方形的一個頂點的坐標為

A（-2,—3）,?,?長方形的另外三個頂點的坐標分別為8（2,-3）,

C（2,3）,D（-2,3）.（答案不唯一）

方法總結：由已知條件正確確定坐標軸的位置是解決本題的關

鍵，當建立的直角坐標系不同，其點的坐標也就不同，但要注意，一

旦直角坐標系確定以后，點的坐標也就確定了.

三、板書設計

第1（）頁共162頁

’各象限內點的坐標特征

點的坐標特征I建立元節(jié)的If用坐標系描述圖形的位置

@教學反思

通過學習建立直角坐標系的多種方法，讓學生體驗數學活動充滿

著探索性與創(chuàng)造性，激發(fā)學生的學習興趣，感受數學在生活中的應用，

增強學生的數學應用意識，讓學生認識數學與人類生活的密切聯(lián)系，

提高他們學習數學的興趣.

第II頁共162頁

11.1平面內點的坐標

第3課時利用方位角和距離表示地理位置

。素養(yǎng)目標

1.能夠準確理解方位角的概念，熟練掌握利用方位角和距離來表示地

理位置的方法.

2.能夠根據給定的方位角和距離在平面上確定具體位置，也能根據實

際地理位置準確說出相應的方位角和距離.

重點：熟練掌握利用方位角和距離確定地理位置的方法，并據此解決

實際問題.

難點：在實際問題中準確地確定方位角和距離，將實際問題轉化為數

學問題，并用數學方法解決.

@教學過程

一、情境導入

觀察下面的圖片，思考：在野外探險時，人們是如何確定自己的

位置和目的地的位置的呢？

二、合作探究

探究點一：利用方位角和距離表示地理位置

【類型一】方位角和距離的直觀表示

睡I一家超市的位置如圖，則學校在這家超市的什么位置?

解析：用方向定位法確定物體的位置時，一般先考慮方向，然后再確

第12頁共162頁

定距離.

解：學校在超市的南偏西60°方向，且距離超市500m處.

方法總結：確定位置的方法有多種，但都需要兩個數據.方向定

位法所需的兩個數據：一是方位角；二是距離.要避免出現(xiàn)缺少其中

一個數據的錯解.

【類型二】利用方位角和距離表示地理位置的理解應用

m如圖是小明家和學校所在地的平面位置示意圖，點o表示小明

家，點A,B,C,P分別表示學校、商場、公園和停車場.己知

=2km,OB=3.5km,。尸=4km,點。為OP的中點.

回答下列問題：

(1)學校、商場、公園和停車場中哪些到小明家的距離相同？

(2)由圖可知，公園在小明家南偏東60°方向2km處.請描述

學校、商場、停車場相對于小明家的位置.

解析：(1)要求哪些置到小明家的距離相同，此時不需考慮方

向，只需要比較圖上各線段長短；

(2)結合各方位角和距離描述位置即可.

1

解：(1)因為點C為OP的中點，所以OC=力p=2km.

所以。A=OC又因為08,OA,OP各不相等，所以學校和公園到小

明家的距離相等.

(2)由圖可知，學校在小明家東北方向2km處，商場在小明家

北偏西30°方向3.5km處，停車場在小明家南偏東60°方向4km處.

第13頁共162頁

探究點二：利用經緯度表示地理位置（數學拓展）

砸1A地在地球儀上的位置如圖所示，則A地的位置用經緯度可表示

為（）

北50。

緯40°

10140°150°160°

東經

A.北緯50°,東經130°B.北緯60°,東經130°

C.北緯50°,東經150°D.北緯50°,東經40°

解析：在平面內確定物體的位置需要東經與北緯的度數兩個數

據，確定點A在東經的哪一條線上，北緯的哪一條線上，即可寫出A

地的位置.

方法總結：經線可視為豎線，緯線可視為橫線，兩線相交即確定

了目標位置的經緯度，從而確定了目標位置.

三、板書設計

f方位向+即離去東

利用方位角和距離表示地理位置（經沱更衣求

@教學反思

本節(jié)課從生活實例出發(fā)，激發(fā)了學生的學習興趣，情感目標部分

落實，但學生從實際情境抽象數學模型及解決復雜問題的能力培養(yǎng)不

足，過程與方法目標待強化.方位角概念通過示意圖和實例講解，學

生掌握較好；學生確定方位角和距離存在困難，教學難點突破不夠，

需優(yōu)化練習設計.

第14頁共162頁

11.2圖形在坐標系中的平移

。素養(yǎng)目標

1.理解點的坐標變化與圖形移動之間的內在聯(lián)系.

2.使學生經歷圖形在坐標系中的平移過程，理解“數形結合”；體會

坐標系中的圖形平移的實際應用價值.

重點：探究點或圖形平移引起的坐標的變化規(guī)律.

難點：如何正確理解圖形在坐標系中的平移變換.

"教學過程

一、情境導入

同學們會下棋嗎？棋子的移動，什么在變，什么不變？那么在棋

盤上推動棋子是否可以看成圖形在平面上的平移？

二、合作探究

探究點一：平面直角坐標系中點的平移

四將點（1,2）向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度

后得到對應點的坐標是.

解析：向左平移1個單位長度，橫坐標減1,向下平移2個單位

長度，縱坐標減2,于是點（1,2）變?yōu)椋?,0）,故答案為（0,0）.

方法總結：根據平移前后圖形的坐標關系：①上加下減（縱坐標

變化），左減右加（橫坐標變化）；②正加負減，即向x（），）軸正方

向平移，橫（縱）坐標增加；負方向平移，橫（縱）坐標減小.

探究點二：平面直角坐標系中圖形的平移

［類型已知平移方向與距離，確定平移后圖形的位置

第15頁共162頁

m如圖，將三角形ABC先向下平移5個單位長度，再向左平移3

個單位長度得到三角形4gC,求三角形ABC的頂點坐標，并畫出

三角形A3C.

解析：按照點的平移規(guī)律求出平移后點的坐標，向下平移5個單

位長度，即橫坐標不變，縱坐標減5；向左平移3個單位長度，即縱

坐標不變，橫坐標減3,再畫出圖形即可.

解：用箭頭表示平移，則有：A(3,5)—(3,0)-4(0,0),

B(0,3)一(0,-2)一夕(—3,-2),C(2,0)一(2,-5)

—C(一l,-5).畫出三角形A5C如上圖.

~~方法總結：畫平移后的圖形，應先求出平移后各關鍵點的坐標，

再描點連線即可.

【類型二】由坐標的變化確定平移過程

m在如圖所示的平面直角坐標系內，畫在透明膠片上的平行四邊形

A3CD,點A的坐標是(0,2).現(xiàn)將這張膠片平移，使點A落在點

4(5,-1)處，則此平移可以是()

A.先向右平移5個單位長度，再向下平移1個單位長度

B.先向右平移5個單位長度，再向下平移3個單位長度

第16頁共162頁

C.先向右平移4個單位長度，再向下平移1個單位長度

D.先向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度

解析：由點4（（）,2）變化到點4（5,-1）知橫縱坐標的變化

規(guī)律，可得出平移方向與距離，即由橫坐標加5,縱坐標減3,得出

此平移可以是先向右平移5個單位長度，再向下平移3個單位長度.

故答案為B.

方法總結：①可用排除法，對照備選選項，逐一分析，選擇出正

確答案.②由坐標定平移口訣：坐標變化定平移，橫變縱定左右移，

橫坐標變大向右移，縱變橫定上下移，縱坐標變大向上移，橫變縱變

兩次移.③左右（上下）平移的距離，就是平移前后兩點橫（縱）坐

標差的絕對值.

三、板書設計

圖形在坐

標系中的

縱坐標不變

沿X軸

橫坐標加上.一個正數令向右毛移

平移

橫坐標選去一個正數二向左平移

（橫坐標不變

”縱坐標加上一個正數O向上下移

平移

平移（縱坐標減去一個正數o向卜子移

@教學反思

本節(jié)課的教學過程中，無論是從情境中引入，還是對新知的探究

及拓展，始終在努力調動學生學習的積極性.通過探究歸納出點或圖

形的平移引起的點的坐標的變化規(guī)律，積累數學活動經驗，提高學生

科學思維素養(yǎng)；體驗數學活動充滿探索性與創(chuàng)造性，激發(fā)學生學習數

學的興趣，使學生經歷數學思維過程獲得成功體驗.

第17頁共162頁

12.1函數

第1課時函數及其相關概念

。素養(yǎng)目標

1.聯(lián)系學生的學習、生活實際，通過具體情境領悟函數的概念，了解

常量、變量，知道自變量與函數.

2.探究變量的發(fā)現(xiàn)和函數概念的形成，提高學生分析、解決問題的能

力.

3.引導學生探索實際問題中的數量關系，建立函數模型.

重點：函數概念的形成過程.

難點：正確理解函數的概念.

@教學過程

一、情境導入

在學習與生活中，經常要研究一些數量關系，先看下面的問題.

如圖是某地一天內的氣溫變化圖.

溫度r（第）

從圖中我們可以看到，隨著時間，（時）的變化，相應地氣溫T

（℃）也隨之變化.那么在生活中是否還有其他類似的數量關系呢？

二、合作探究

探究點一：變量與常量

睡I寫出下列各問題中的關系式中的常量與變量：

（1）分針旋轉一周內，旋轉的角度〃（度）與旋轉所需要的時

間，（分）之間的關系式〃=6r；

第18頁共162頁

(2)一輛汽車以40千米G寸的速度向前勻速直線行駛時，汽車

行駛的路程s(千米)與行駛時間，(時)之間的關系式s=4(k

解析：根據在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；

數值始終不變的量稱為常量，即可答題.

解：(1)常量：6,變量：〃，f.

(2)常量：40,變量：s,九

方法總結：確定在該過程中哪些量是變化的，而哪些量又是不變

的，數值發(fā)生變化的量為變量，數值始終不變的量稱之為常量.

探究點二：函數的相關概念

【類型一】識別函數

領下列關系式中，哪些y是x的函數，哪些不是？

(1)y=x；(2)y=/+z；(3)(4)y=±

解析：要判斷一個關系式是不是函數，首先看這個變化過程中是

否只有兩個變量，其次看每一個x的值是否對應唯一確定的y值.

解：(1)此關系式只有兩個變量，且每一個x值對應唯一的一

個y值，故y是x的函數.

(2)此關系式中有三個變量，因此)，不是尢的函數.

(3)此關系式中雖然只有兩個變量，但對于每一個確定的工值

(x>0)對應的都有2個)，值，如當x=4時，y=±2,故y不是x

的函數.

(4)對于每個確定的x值(x>0)對應的都有2個y值，如當x

=9時，y=±3,故y不是x的函數.

方法總結：由函數的定義可知在某個變化過程中，有兩個變量x

第19頁共162頁

和y,對于每一個確定的x值，y值都有且只有一個值與之對應，當x

取不同的值時，），的值可以相等也可以不相等，但如果一個x的值對

應著兩個不同的y值，那么y一定不是x的函數.根據這一點，我們

可以判定一個關系式是否表示函數.

【類型二】判斷函數關系

酶判斷下列變化過程中，兩變量存在函數關系的是（）

A.x,y是變量，y=±2瓜

B.人的身高與年齡

C.三角形的底邊長與面積

D.速度一定的汽車所行駛的路程與時間

解析：選項A中根據x每取一個值y有兩個值與其對應，故不存

在函數關系，故此選項錯誤；

選項B中人的年齡變但身高不一定變，故人的身高與年齡不存

在函數關系，故此選項錯誤；

選項C中高不能確定，共有三個變量，故不存在函數關系，故

此選項錯誤；

選項D中速度一定的汽車所行駛的路程與時間，存在函數關系，

故此選項正確.故選D.

—方法總結：判斷函數關系時，應先看問題中是否僅有兩個變量，

再看一個變量是否隨著另一個變量的變化而變化，最后看給定一個自

變量的值，另一個變量是否有唯一的值與它對應.

【類型三】求函數值

砸！根據下圖所示的程序計算變量），的值，若輸入自變量光的值為之

則輸出的結果是（）

第20頁共162頁

13

A."B.4C."D.

3

解析：根據輸入的數所處的范圍，應將x="；代入y=-x+2,即

33

可求得y的值./.1<x^2,則將x==代入y=—x+2,得y

31

=—2+2=2.故選C.

方法總結：（1）當巳知函數表達式時，求函數值就是求代數式

的值；函數值是唯一的，而對應的自變量可以是多個.（2）函數表達

式中只有兩個變量，給定一個變量的值，將其代入函數表達式即可求

另一個變量的值，即給自變量的值可求函數值，給函數值可求自變量

的值.

三、板書設計

函數及其相關概念

常法與變笊：在一個變化過程中.數值發(fā)生變化的

后為變法,數值始終不變的設稱之為常能.

函數：一般地.在一個變化過程中.如果有兩個變過x與y..

并且對「〃上它允許取值范圍內的每個確定的值.y都行唯?確定的值

與大對應.那么我們就說x是自變枇.y是'的函數

@教學反思

變量和函數是用來描述我們所熟悉的變化的事物以及自然界中

出現(xiàn)的一些變化現(xiàn)象的兩個重要的量，對于我們所熟悉的變化，在用

了這兩個量的描述之后更加鮮明.函數的概念是學好本章的基礎，教

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學中立足于學生的認知基礎，激發(fā)學生的認知沖突，提升學生的認知

水平，使學生在原有的知識基礎上迅速遷移到新知上來.

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12.1函數

第2課時函數的表示方法

。素養(yǎng)目標

1.經歷函數圖象的形成過程，感受函數與圖象的對應關系.

2.掌握函數圖象的基本畫法,學會觀察圖象，理解其內涵.

3.進一步滲透數形結合思想，認識函數圖象的應用價值.

重點：認識“實際問題一函數關系式一函數圖象”的轉化，學會用圖

象法來研究函數問題.

難點：函數關系式與函數圖象之間的對應關系.

@教學過程

一、情境導入

汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛里程為skm,行駛時間為fh.

先填寫下表：

r/h12345/

s/km

在以上這個過程中，變化的量是,不變化的量

是.試用含t的式子表示5.

二、合作探究

探究點一：自變量的取值范圍

硒1函數y="T中，自變量x的取值范圍是（）

A.x>~2且xW1B.且1

C.G-2且D.xNl

解析：根據算術平方根的性質和分式的意義，被開方數大于等于

0,分母不為0,列不等式組可求得自變量x的取值范圍.根據題意得

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x+2>0.

“一1工0.解得了2—2且xWl.故選C.

方法總結：函數自變量的取值范圍一般從三個方面考慮：①當函

數表達式是整式時，自變量可取全體實數；②當函數表達式是分式時,

考慮分式的分母不能為0;③當函數表達式有算術平方根的表達式時,

考慮被開方數為非攵數.在實際問題中，自變量的取值還要使實際問

題有意義.

探究點二：列表法和解析法

【類型一】列表法

m一個小球由靜止開始沿一個斜坡向下滾動，通過儀器觀察得到小

球滾動的距離s(m)與時間f(s)的數據如下表：

時間，(s)1234-

距離s(m)281832???

寫出用/表示s的函數表達式：.

解析：觀察表中給出的，與s的對應值，再進行分析，歸納得出

函數表達式.，=1時，s=2XI2；t=2時，s=2X22；1=3時，s=2X32；

t=4時，5=2X42；…，所以s與t的函數表達式為s=2P,其中

故答案為s=2t2(，2()).

-"方法總結：本題以列表法表示時間/與距離s之間的關系，認真

觀察分析s隨t的變化而變化的規(guī)律是列出函數表達式的關鍵.

【類型二】解析法

砸1一根彈簧原長12cm，它所掛的質量不超過10kg,并且掛重1kg

就伸長1.5cm,寫出掛重后彈簧長度y(cm)與掛重x(kg)之間的

函數關系式是()

A.y=1.5(x+12)(OWxWlO)

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B.y=}.5x+\2(OW龍〈10)

C.y=l.5x+12(x—0)

D.y=1.5(x-12)(OWxWH))

解析：設掛重為x,則彈簧伸長為1.5-掛重后彈簧長度)，(cm)與

掛重x(kg)之間的函數關系式是1.5x4-12(OWxWlO),故選

B.

方法總結：關鍵在于根據題意列出等式，然后再變形為要求的形

式.在實際問題中求函數表達式時，要特別注意自變量的取值范圍.

探究點三：函數的圖象

［類型—］根據函數的定義判斷函數圖象

砸！下列平面直角坐標系中的圖象，不能表示y是x的函數的是

()

解析：B圖象上對于x的任意取值有兩個值對應，所以B不是函

數.其他圖象對于x的任意取值都有唯一確定的值和它對應.故選B.

方法總結：由圖象判斷y是否為x的函數的關鍵是一個x所對應

的y是否唯一，當工的值確定時，y的值也是唯一確定，此時，y是x

的函數.

【類型二】根據實際情景描述函數圖象

m小明騎自行車上學，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行

車出了故障，只好停下來修車.車修好后，因怕耽誤上課，與修車前

相比，他加快了速度勻速行駛.下面是行駛路程S(米)關于時間〃分

鐘)的函數圖象，那么大致符合小明行駛情況的圖象是()

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ARD

解析：根據題意，在修車前，S隨，的增加而增加.這段時間，圖

象從左下到右上，呈上升趨勢；修車時，時間，增加，但S不變，此

時，圖象是平行于橫軸的；車修好后，小明加快速度，此時圖象比修

車前的圖象更陡一些，仍呈上升趨勢，綜上所述，應選C.

—方法總結：以上例題中的圖象有生動的實際背景，必須仔細觀察

折線的有關特征，聯(lián)系實際問題的背景知識，解答題目中的問題.在

觀察圖象時，一定要搞清楚橫軸與縱軸表示的量的實際意義.

探究點四：畫函數圖象

酶在下列式子中，對于x的每一個確定的值，y有唯一的對應值，

即y是x的函數，畫出函數y=x+O.5的圖象.

解析：利用題目所給的表達式，根據自變量和函數的關系列出表

格，找到它們的有序數對，建立平面直角坐標系，在坐標中描出對應

點的坐標，然后用平滑的曲線連接，問題可解.

解：列表：

X???-]012???

y…—0.50.51.52.5???

描點、連線，圖象如圖所示.

方法總結：由函數表達式畫函數圖象，一般按下列步驟進行：①

列表：根據函數的表達式列出函數對應值表；②描點：用這些對應值

作為點的坐標，在坐標平面內描點；③連線：把這些點用平滑曲線連

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接起來，可得函數圖象.

探究點五：從函數的圖象中獲取信息

硒1某星期下午，小強和同學小明相約在某公共汽車站一起乘車回學

校，小強從家出發(fā)先步行到車站，等小明到了后兩人一起乘公共汽車

回到學校.圖中折線表示小強離開家的路程y（千米）和所用的時間無

（分鐘）之間的函數關系.下列說法錯誤的是（）

A.小強從家到公共汽車站步行了2千米

B.小強在公共汽車站等小明用了10分鐘

C.公共汽車的平均速度是30千米/時

D.小強乘公共汽車用了20分鐘

解析：根據題意和圖象可知小強從家到公共汽車站步行了2千

米，選項A正確；根據題意和圖象可知小強在公共汽車站等小明用

1

了10分鐘，選項B正確；公交車的速度為154-；=30（千米/H寸），

選項C正確；小強和小明一起乘公共汽車，時間為30分鐘，選項D

錯誤.故選D.

方法總結：本題考查利用函數的圖象解決實際問題，正確理解函

數圖象橫縱坐標表示的實際意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象

得到函數問題的相應解決.需注意計算單位長度的統(tǒng)一.

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三、板書設計

'列表法和解析法

「I變僦的［使含白變質的代數式仃意義

取值范圍I使實際問題有意義

<（函數的圖象

圖象法｛兩困數圖象

函數的表示方法I（從函數的圖象中獲取信息

@教學反思

本節(jié)課的教學內容是函數的三種表示方法，函數表示法學生才接

觸到，學生感覺有點難.這節(jié)課的重點是讓學生掌握函數的列表、與

解析法和圖象法，難點是理解這三種表示方法的優(yōu)缺點.就此問題，

通過讓學生對幾個例子比較、討論、總結、歸納各種方法的優(yōu)點來解

決，這樣學生就能很好地區(qū)分這三種表示方法，并能對不同的問題選

擇恰當的方法.

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12.2一次函數

第1課時正比例函數的圖象和性質

。素養(yǎng)目標

1.學習正比例函數及其圖象畫法、性質.

2.培養(yǎng)學生的觀察能力、數形結合思想、琛索規(guī)律能力.

重點：理解和掌握正比例函數的圖象和性質.

難點：理解|kI與函數圖象的關聯(lián).

"教學過程

一、情境導入

生活中，我們常常見到各式各樣的鐘表.時鐘的秒針每旋轉一圈,

表示時間過了Imin；旋轉兩圈，表示時間過了2min...

那么，秒針走過的圈數與經過的時間之間的關系如何表示呢？

二、合作探究

探究點一：一次函數與正比例函數

[類型—]一次函數與正比例函數的識別

隨I下列函數關系式中，哪些是一次函數，哪些是正比例函數?

(1)y=—x-4；(2)yuSx2—6；

X

(3)y=2xr；(4)y=—"；

1

(5)y=:;(6)y=S^+x(1—8x).

解析：首先看每個函數的表達式能否變形轉化為)，=E+b(ZWO,

鼠b是常數)的形式，如果x的次數是1,則是一次函數，否則不是

一次函數；在一次函數中,如果常數項8=0,那么它是正比例函數.

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解：(1)是一次函數，不是正比例函數.

(2)不是一次函數，也不是正比例函數.

(3)是一次函數，也是正比例函數.

(4)是一次函數，也是正比例函數.

(5)不是一次函數，也不是正比例函數.

(6)是一次函數，也是正比例函數.

方法總結：一個函數是一次函數的條件：自變量是一次整式，一

次項系數不為零；判斷一個函數是正比例函數的條件：自變量是一次

整式，一次項系數不為零，常數項為零.

【類型二】根據一次函數與正比例函數的定義求字母的值

顧已知函數丁=(加一5)產“一2<+m+1

(1)若它是一次函數，求"Z的值；

(2)若它是正比例函數，求〃2的值.

解析：(1)要使函數是一次函數，根據一次函數的定義X的指

數m2-24=1,且一次項系數機一5W0；(2)要使函數是正比例函

數,除了滿足上述條件外，還需加上加+1=()這個條件.

解：(1)因為y=Cm—5)^+m+1是一次函數，所以〃2

=±5且〃?W5,所以〃?=—5.所以當〃2=—5時，函數y=(m—5)

xm2~2A+m+l是一次函數.

m224

(2)因為y=(/77-5)x-+/7?+i是一次函數，所以

m2—24=1且加一5W0且加+1=0.所以m=±5且〃z#5且/n=-1,

這樣的〃2不存在，所以函數y=(m-5)X一一"+加+1不可能

為正比例函數.

方法總結：函數是一次函數，則-W0,且自變量的次數為1.當

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。=0時，一次函數為正比例函數.

探究點二：正比例函數的圖象和性質

［類型—］正比例函數的圖象

砸1已知正比例函數(ZWO),當x=-1時、y=—2,則它的

圖象大致是()

解析：將尢=-1,y=-2代入正比例函數)>=依(&W0)中，求

出％的值為2,即可根據正比例函數的性質判斷出函數的大致圖象，

故選C.

~"方法總結：本題考查了正比例函數的圖象，知道正比例函數的圖

象是過原點的直線，且當％>0時，圖象過第一、三象限；當ZV0時,

圖象過第二、四象限.

【類型二】兩點法畫正比例函數的圖象

砸！回出函數y=-2x的圖象.

解析：當尤=()時，y=0；當x=l時，y=-2.經過原點O(0,

0)和點A(1,-2)作直線，則這條直線就是函數)，=—2A?的圖象.

方法總結：作函數圖象的一般步驟：列表，描點，連線，正比例

函數的圖象是經過原點的直線，只需再另外找一點就可作出圖象.

【類型三】正比例函數的性質

崛如圖，三個正比例函數的圖象分別對應的表達式是①/=以，②)，

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=bx,③,二門;，回答下列問題:

（1）若直線y=OX上有兩點（Xl，yi）,（X2，丁2），且X1>X2,

則yiX2；

（2）若直線y=C、X上有兩點（X3，），3），（X4,丁4）,且尢3>工4,

貝|J,3）?4；

（3）用“V”表示a,b,。的不等關系是.

解析：由圖可知c<O<a<hf由正比例函數的性質可知

y=bx的函數值），隨大的增大而增大.y=cx的函數值y隨x的增大而

減小.故y3V）N，c<a<b.

方法總結：正比例函數丁=依（女W0）的函數值），隨x的變化情

況由k的符號決定.左>0時，y隨工的增大而增大；k<0時，y隨x

的增大而減小.I-越大，直線越陡.

三、板書設計

正比例函數的圖象和性質

定義1?般地.形如y=kx+b（k、b為常數?］扶工0）的函i數

叫作?次函軌形如y=h叫為常數，且k*0）的函數叫作正比例

函SCk叫作正比例系數.它是?次函數的特殊形式

圖象，經過原點的電線

性質：當k>0時.湎x的增大而增大：

當kvO時.施的增大而減小,

IkI越大，響x的變化速度越快.（圖象越陡）

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@教學反思

本節(jié)內容第一次涉及一個具體的函數的學習和研究，要讓學生體

會研究函數的方法步驟和知識結構，因此，本課的教與學的活動，要

學生有比較清醒的方案意識.教學中隨著一環(huán)扣一環(huán)的提問、練習、

點撥，突出教學目標.通過觀察一比較一交流一歸納，利用圖象和表

達式的統(tǒng)一化抽象為具體，降低了難度，突破了正比例函數的性質這

一難點.讓學生進行課堂小結，不僅使學生從總體上把握知識，強化

知識的理解和記憶，還培養(yǎng)了學生良好的個性和思維品質.

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12.2一次函數

第2課時一次函數的圖象和性質

。素養(yǎng)目標

1.通過讓學生類比對正比例函數性質的探究，畫出一次函數的圖象，

歸納出一次函數的性質，提高他們的類比、概括能力.

2?通過讓學生積極思考、討論來活躍課堂氣氛，激發(fā)學生學習數學的

興趣，形成合作交流意識.

重點：掌握一次函數的性質，能根據Z與8的值說出函數的有關性質.

難點：會用描點法和平移的方法畫一次函數圖象，理解和掌握截距的

概念.

@教學過程

一、情境導入

問題：某登山隊大本營所在地的氣溫為15C,海拔每升高1km

氣溫下降6℃.登山隊員由大本營向上登高xkm時，，他們所處位置的

氣溫是)，℃.試用表達式表示)，與x的關系當向上登高0.5km時,他

們所在位置氣溫為多少？

分析：從大本營向上登高，當海拔每升高1km時，氣溫從15℃

就減少6℃,那么海拔增加xkm時，氣溫從15℃減少6x℃.因此)，

與x的函數關系式為y=15—6x(x20).當然，這個函數也可表示為

y=-6/+15(x20).

當登山隊員由大本營向上登高0.5km時，他們所在位置氣溫就

是x=0.5時函數y=-6x+15的值，即y=-6X0.5+15=12(℃).

這個函數與我們上節(jié)所學的正比例函數有何不同？它的圖象又

具備什么特征？我們這節(jié)課將學習這些問題.

二、合作探究

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探究點一：一次函數的圖象

［類型一］畫一次函數的圖象

頹I作出一次函數y=￡+l的圖象，并根據圖象回答下列問題：

3

(1)當x=3時，y=；當)，=一=時，x=；

(2)圖象與x軸的交點坐標是，與y軸的交點坐標

是;

(3)當y>0時，A.

1

解析：作y="x+l的圖象，取(0,1),(-2,0)兩點，已

知x代入表達式求y,已知y代入表達式求x.列表如下：

X0-2

1

y=9x+110

描點、連線，j=7x+l的圖象如下圖:

(1)當工=3時，y=2.5；當y=一三時，x=—5；

(2)圖象與x軸的交點坐標是(一2,0),與y軸的交點坐標

是(0,1)；

(3)當y>0時，x>~2.

~"方法總結：一次函數的圖象是與坐標軸相交的直線，

b

只需描出點(0,b),(-1,0)就可以作出圖象.

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［類型二］一次函數圖象的平移

m（1）將正比例函數），=-6x的圖象向上平移3個單位長度，則

平移后所得圖象對應的函數表達式為，其截距是.

（2）將直線y=2x向右平移1個單位長度后所得圖象對應的函

數表達式為（）

A.y=2x—1B.y=2x—2

C.y=2x+］D,），=2x+2

解析：（1）y=-6x的圖象向上平移3個單位長度可得到y(tǒng)=一

6x+3.截距為3；（2）y=2x的圖象向右平移1個單位長度后所得圖

象對應的函數表達式為y=2（x—1）,即y=2r—2.故選B.

方法總結：（1）上下平移：一次函數用="+）的圖象可以看作

由直線y=履沿y軸平移IhI個單位長度得到的（當〃>0,向上平

移；當8V0,向下平移）；（2）左右平移：直線了="+8向左平移

m（m>0）個單位長度得到直線y=k（人十〃z）十〃，向右平移m（m

>0）個單位長度得到直線y=Z（工一機）+b.

探究點二：一次函數的性質

［類型—］一次函數圖象的性質

砸1已知一次函數v=（6+3m）x+（〃-4）.

（1）機為何值時，y隨x的增大而減??？

（2）小、〃為何值時，函數圖象與），軸的交點在x軸的下方？

（3）“、〃為何值時，函數圖象過原點？

解析：（1）因為&V0時，y隨x的增大而減小，故6+3m<（）；

（2）要使直線與y軸的交點在大軸的下方，必有6+3〃2不0,同時〃

-4<0；（3）直線過原點是正比例函數的特征，即6+3mW0且n

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-4=0.

解：(1)依題意得6+3〃z<0,即"?<—2.故當m<—2時，y

隨x的增大而減小.

(6+3m工0.

(2)依題意得In-4<0,解得〃V4且〃?手一2.故當成W

-2且〃<4時?，函數圖象與y軸的交點在x軸的下方.

(6+3m工0.

(3)依題意得1〃-4=0?解得〃=4且加W-2.故當/nW

—2且〃=4時，函數圖象過原點.

方法總結：一次函數>="+匕awo)中，攵的符號決定直線上

升或下降，b的符號決定直線與y軸的交點位置，在考慮b的值時，

同時要考慮ZWO這一隱含條件，在利用一次函數的性質解決問題時,

常常結合方程和不等式求解.

【類型二】一次函數y=h+8中晨b符號瀛定

兩個一次函數yi=〃x+Z?與丁2=法+。，它們在同一坐標系中的圖

象可能是()

解析：解此類題應根據匕8的符號從而確定)，="十〃圖象的位

置或根據圖象確定左，/?的符號.A選項中，由巾的圖象知。>0,/?<

0,則)，2的圖象應過第一、二、四象限，故A錯，C對；B選項中，

由y的圖象知〃>0,b>0,則”的圖象應過第一、二、三象限，故

B錯；D選項中，由y的圖象知aVO,b>Q,則”的圖象應過第一、

三、四象限，故D錯.故選C.

方法總結：對于兩種不同函數的圖象共存同一坐標系問題，一般

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常假設某一圖象正確，然后根據相同字母系數的符號的不變性，來判

定另一圖象是否正確，進而解決問題.

三、板書設計

一次函數的圖象和性質

圖象：?條宜線，我們稱它為直線丫=履+8.它可以看作由宜線

y=h平移IbI個單位長度得到（當b>0時,向上平移?

當。<0時.向下平移）.

▼

當k>0時.yfifix的增大而增大：

“次<0時.響x的增大而減小?

,性質，<