專題26相似三角形（13大考點(diǎn)，精選60題）

考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)1比例的性質(zhì)

考點(diǎn)2相似圖形

考點(diǎn)3平行線分線段成比例

考點(diǎn)4相似三角形的判定

考點(diǎn)5相似三角形的性質(zhì)

考點(diǎn)6相似三角形的應(yīng)用

考點(diǎn)7位似與位似圖形

考點(diǎn)8相似三角形的新定義問(wèn)題

考點(diǎn)9相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題

考點(diǎn)10相似三角形與圓綜合問(wèn)題

考點(diǎn)11相似三角形與動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題

考點(diǎn)12相似三角形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)

考點(diǎn)13相似三角形在二次函數(shù)壓軸題中的應(yīng)用

考點(diǎn)1比例的性質(zhì)

1.（2025?四川南充?中考真題）已知白=2=三=2,則上等的值是（）

beacababc

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析［本題主要考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡(jiǎn).根據(jù)專=2=*=2,可得a=2如b=2ac,c=2仍

從而得到a?=2abc,b2=2abc,c2=2abc,然后代入化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：哈=2二三=2,

beacab

0a=2bc,b=2ac,c=2ab,

0az=2abc,b2=2abc,c2=2abe,

2abc+2abc+2abcGabe,

0—-ab-c-=-----a-bc----=-a-b-c=6.

故選：D

2.（2025,四川成都?中考真題）若三=3,則一的值為.

【答案】4

【分析】本題主要查了比例的性質(zhì).根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：卑=3,

喈=?+1=3+1=4.

故答案為：4

考點(diǎn)2相似圖形

3.（2025?河北?中考真題）“這么近,那么美，周末到河北〃.嘉嘉周末到弘濟(jì)橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三

葉蟲(chóng)化石，他想了解其長(zhǎng)度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）.回家后量出照片上筆和化石的長(zhǎng)度分

別為7cm和4cm,筆的實(shí)際長(zhǎng)度為14cm,則該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】C

【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，設(shè)該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為xcm,根據(jù)題意得出［=±,即可求解.

14X

【詳解】設(shè)該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為xcm,依題意，

74

-=-?

14X

解得：x=8

故選：C.

4.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）“人童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙?zhí)J〃風(fēng)箏占稱紙瑪，起源于春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，

風(fēng)箏制作技藝已被列入國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄為豐富校園生活，某校開(kāi)展風(fēng)箏制作活動(dòng)，小言和哥哥制

作了一大一小兩個(gè)形狀相同的風(fēng)箏，風(fēng)箏的形狀如圖所示，其中對(duì)角線4C1BD.已知大、小風(fēng)箏的對(duì)應(yīng)邊

之比為3:1,如果小風(fēng)箏兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為30cm和35cm,那么大風(fēng)箏兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和為cm.

【答案】195

【分析】本題考查了相似多邊形的應(yīng)用，證明大風(fēng)箏和小風(fēng)箏相似，相似比為3:1,即可解決問(wèn)題.熟練掌

握相似多邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???小言和哥哥制作了一大一小兩個(gè)形狀相同的風(fēng)箏，大、小風(fēng)箏的對(duì)應(yīng)邊之比為3:1,

???大風(fēng)箏和小風(fēng)箏相似，相似比為3:1,

???大風(fēng)箏兩條對(duì)角線長(zhǎng):小風(fēng)箏兩條對(duì)角線長(zhǎng)=3:1,

???大風(fēng)箏兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為30cmx3=90cm和35cmx3=105cm,

二大風(fēng)箏兩條對(duì)角線長(zhǎng)的和為195cm,

故答案為：195.

考點(diǎn)3平行線分線段成比例

5.（2025?吉林長(zhǎng)春?中考真題）將直角三角形紙片43c（“=90。）按如圖方式折疊兩次再展什，卜列結(jié)論

錯(cuò)誤的是（）

MN||DE||PQBC=2DE=4MN

AN=BQ=^NQ

PQBC

【答案】D

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各知識(shí)

點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

由折疊可得：DELAC,PQLAC,MNLAC,AM=MD=DP=PC,W'jM/V||DEIIPQIIBC,那么△ADE~

LACB?△AMN?△APQ,繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理逐一判斷即可.

【詳解】解：由折疊可得：0E_L4C,PQ_L4C,MNJ.4C,AM=MD=DP=PC,

團(tuán)MN||DEIIPQIIBC,故A正確，不符合題意；

0AADE?△ACBAMN?

^BC=2OE,DE=2MN,

128c=4M/V,

WC=IDE=4MN,故B正確，不符合題意;

回MN||PQ||BC,

PC_BQ_1AM_AN_1PM_QN_1

AC~~AB_~AC~'AB~4'~AC~~AB~2

^BQ=AN=^AB,QN="B,

^AN=BQ=^NQf故C正確，不符合題意；

0AADEACBAMNAPQ,

畔^案中祟故D錯(cuò)誤,符合題意,

L/C,/VDU

故選：D.

6.（2025?河南?中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在網(wǎng)格線

的交點(diǎn)上，點(diǎn)。、上分別是邊34、C4與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接DE,則OE的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，證明出DE是△4BC的中位線是解題關(guān)

鍵.取格點(diǎn)G、H,由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EGWCH,得到*=**=*=進(jìn)而證明DE是△ABC的中

ABAH2ACAH2

位線，即可求解.

【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)G、H,

由網(wǎng)格的性質(zhì)可知，EGWCH,

ADAG21AEAG21

:.—=—="=",—=—=-=",

7184H4271c4“42

.?"、E分別是AB、4c的中點(diǎn)，

CE是△ABC的中位線，

：.DE=\BC=1,

故選：B.

7.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)y=-；（%：>0）與直線y=-2x交于點(diǎn)4

點(diǎn)B在y=—其％>0）的圖象上，直線A3與y軸交于點(diǎn)C.連結(jié)OB.若88=34C,則OB的長(zhǎng)為（）

x

B

A.y/WB.苧C.V34D.等

【答案】D

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作/W1%軸交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)8作BE1x軸交于點(diǎn)E,首先聯(lián)立得到一±=-2%,

X

求出。。=&,然后由4。II8E得至噂=谿求出DE=3&,然后代入、=，求出8E=",然后利用勾

/■C?CziJX乙

股定理求解即可.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作力01%軸交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BE1”軸交于點(diǎn)E,

團(tuán)反比例函數(shù)y=-^(x>0)與直線y=一2%交于點(diǎn)4,

團(tuán)聯(lián)立得，一士=-2人

X

解得“二，2或一，2,

團(tuán)OD=V2,

0/1D1x,BE1%,

團(tuán)4DIIBE,

醴=絲，

ACOD

回4B=3/1C,

用3=§|.即=

(3OF=V2+3V2=4vL

回將％=4&代入y=一±=一工=一手，

13BE=鼻

2

(3OB=>JOE2+BE2=—.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，平行線分線段成比例等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

考點(diǎn)4相似三角形的判定

8.（2025?河北?中考真題）如圖，在五邊形4BCDE中,AE^BC,延長(zhǎng)84,BC,分別交直線DE于點(diǎn)M,N.若

添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定?ADCN,則這個(gè)條件是（）

A.48+44=180°B.CDllABC.Zl=z4D.Z.2=z3

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)乙B+"=180。時(shí)，可證明COIIBM,

由平行線的性質(zhì)得到/CDN=NAME,乙AEM=iCND,則可證明△MAE?△DCN,據(jù)此可判新A、B；由

平行線的性質(zhì)可得乙1+△8=180。，則乙8+乙4=180。，同理可判斷C：D中條件結(jié)合已給條件不能證明4

MAE~ADCN.

【詳解】解：A、0NB+44=180。，

團(tuán)CD||BM,

包乙CDN=44ME,

SAEHBC,

^AEM=乙CND,

回△M4E?△OCN,故A不符合題意；

B、^CDWAB,

MDN=Z-AME,

^AEWBC,

^Z-AEM=乙CND,

l?IAMAE-△DCN,故B不符合題意；

C、MEIIBC,

azl+ZF=180°,

0Z1=Z4,

團(tuán)4B+44=180°,

團(tuán)CDIIBM,

0ZCD/V=Z.AME,

^AEWBC,

團(tuán)NAEM=乙CND,

0AMAE^^DCN,故C不符合題意；

D、根據(jù)N2=N3結(jié)合已知條件不能證明AMAE?△DCN,故D符合題意；

故選：D.

考點(diǎn)5相似三角形的性質(zhì)

9.（2025?黑龍江綏化?中考真題）俄個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是10cm和6cm,并且它們的周長(zhǎng)之和為48cm,

那么較小三角形的周長(zhǎng)是（）

A.14cmB.18cmC.30cmD.34cm

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)最長(zhǎng)邊分別為10cm司6cm確定相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等

于相似比，再根據(jù)周長(zhǎng)之和為48cm即可求解.

【詳解】解：?.?兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別為10cm和6cm,

.?.相似比為10:6=5:3,

較大三角形與較小三角形的周長(zhǎng)比為：5:3,

??,它們的周長(zhǎng)之和為48cm,

???較小三角形的周長(zhǎng)為：48X言=18（cm）,

故選：B.

10.（2025?貴州?中考真題）如圖，已知AABC?△DEF,A8:DE=2:1,若D"=2,則AC的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：^ABCDEF,AB;DE=2:1,

^AC'.DF=2:1,

孫=2,

團(tuán)4c=4；

故選C.

11.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，用12個(gè)以點(diǎn)。為公共頂點(diǎn)的相似三角形組成

形如海螺的圖案，若OA=1,Z-OAB=90°,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為

>

X

【答案】（一:，0）

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形和點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探求；先求得/力。8=*=30。，

然后解直角三角形分別求出。8=苧，。。=」々=零x30。=壬=乎乂?。?得到規(guī)律，再根

3COS303V3COS303\v3/

據(jù)規(guī)律計(jì)算即可.

【詳解】解：團(tuán)圖案是用12個(gè)以點(diǎn)O為公共頂點(diǎn)的相似三角形組成形如海螺的圖案，

必OB=若=30。，

團(tuán)OA=1,Z.OAB=90°,

1MB=OA-tan30°=—=2AB=—,

33

團(tuán)NBOC=30°,

OB2V32

團(tuán)0。=---------=—X丁,

COS3003\^3

同理：吁普審

依次類推:OG4、斯=空矗嗎

則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（一30）；

故答案為:（—:，0）

考點(diǎn)6相似三角形的應(yīng)用

12.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬動(dòng)整個(gè)地球.”這句話生動(dòng)體現(xiàn)了

杠桿原理：通過(guò)調(diào)整支點(diǎn)位置和力臂長(zhǎng)度，用較小的力就能撬動(dòng)重物.這?原理在生活中隨處可見(jiàn).如圖

甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，另一端就會(huì)撬動(dòng)石頭.如圖乙所示，動(dòng)力臂OA=150cm,

阻力臂。8=50cm,BD=20cm,則4c的長(zhǎng)度是（）

A.80cmB.60cmC.50cmD.40cm

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

求得4c的長(zhǎng)度.解題的關(guān)鍵是正確判定相似三角形并運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式.

【詳解】解：???BDLAB,

.'.AC||BD,

???△AOCBOD,

...一AC=一AO,

RDOB

國(guó)動(dòng)力臂。力=150cm,阻力臂08=50cm,BD=20cm

.?.絲=受，

2050

:.AC=60,

二4：的長(zhǎng)為60cm.

故選：B.

13.(2025?江蘇連云港?中考真題)如圖，港口B位于島A的北偏西37。方向，燈塔C在島4的正東方向，AC=6km,

一艘海輪0在島力的正北方向，且3、D、C三點(diǎn)在一條直線上，DC=：BD.

⑴求島A與港口8之間的距離；

(2)求tanC.

(參考數(shù)據(jù)：sin37°?cos37°?tan37°?-)

554

【答案】⑴4km

⑵士

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，能根據(jù)OC=|BO作輔助

線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)B作BM14D,垂足為M,證明△BDMs/kCZM,得出吧=吧，結(jié)合。。=三80,AC=6km,求

CACD2

出8M=芳，再在RSA8M中利用三角函數(shù)即可?求解；

(2)在RtZk/WM中，利用三角函數(shù)求出力M,利用△8DM?△CD4,得出絲=吧=4則可求出力。，再在

ADCD5

RtAADC中利用三角函數(shù)即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作BMJ.AZ),垂足為M,

^ACLAD,

0ABDMCDA,

心=嗎

CACD

回。C=：BD,AC=6km,

畔/

得：BM=告

12

在Rtz\4BM中，由sin4840=sin37。=翳二需々|,

得48七4.

答：島A與港口B之間的距離為4km；

(2)解：在RtaABM中，AM=ABxcos37°?4x,

0ABDMs&CDA,

胖=*2,

ADCD5

l3i4P=|i4M=yx|=y,

16

在《△ADC中，tanC=^7=v=T--

AC621

14.(2025?吉林?中考真題)綜合與實(shí)踐：確定建筑物的3。打印模型的高度項(xiàng)Fl提出：圖是某城市規(guī)劃展覽

館.樹(shù)人中學(xué)的30打印社團(tuán)為展示城市文化，準(zhǔn)備制作該城市規(guī)劃展覽館的30打印模型，需要測(cè)量并計(jì)算

展覽館高度，為制作3。打印模型提供數(shù)據(jù).

項(xiàng)目報(bào)告表時(shí)間：2025年5月29日

項(xiàng)活動(dòng)目測(cè)量該城市規(guī)劃展覽館的實(shí)際高度并換算其3。打印模型的高度

目標(biāo)

分

測(cè)量工

析測(cè)角儀、皮尺

具

以下是測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了如圖所示的測(cè)量草圖.

17付出測(cè)角儀的高CD=1.4m.

2.1［用測(cè)角儀測(cè)出展覽館頂端4的仰角/4CE-61°.

3.8出測(cè)角儀。。底端D處到展覽館底端B處之間的距離OB=42m.

4

\

任務(wù)一\\

\\

測(cè)量數(shù)\

\\

\\

據(jù)\\

\\

項(xiàng)\\

\\

目\\

實(shí)

E

施31.4m

B

42m\D

任務(wù)二

根據(jù)上述測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算該城市規(guī)劃展覽館力8的高度.（結(jié)果精確到

計(jì)算實(shí)

1m）（參考數(shù)據(jù):sin610=0.875,cos61°=0.4B5,tan61°=1.804）

際高度

任務(wù)三

將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1:400等比例縮小，得到其30打印模型

換算模

的高度約為_(kāi)______cm.（結(jié)果精確到1cm）

型高度

項(xiàng)目結(jié)果為社團(tuán)制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)

請(qǐng)結(jié)合上表中的測(cè)量草圖和相關(guān)數(shù)據(jù)，幫助該社團(tuán)完成任務(wù)二和任務(wù)三.

【答案】該城市規(guī)劃展覽館48的高度為77m；3。打印模型的高度約為19cm

【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，比例的基本性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)二：先由矩形BECO得到BE=CO=1.4m,CE=BD=42m,然后解即可；

任務(wù)三：由比例尺等于圖上距離匕上實(shí)際距離求解即可.

【詳解】解：任務(wù)二：由題意得BEC。為矩形，

國(guó)BE=CD=1.4m,CE=BD=42m,

團(tuán)在RI中，tan^ACE=

0/4F=CExtan61°=42x1.804?76m,

團(tuán)/IB=AE+BE=764-1.4?77m,

答：該城市規(guī)劃展覽館的高度為77m；

任務(wù)三：設(shè)3D打印模型的高度約為%cm,

則由題意得：捻^焉

解得：x?19cm,

答：30打印模型的高度約為19cm.

15.（2025?河南?中考真題）焦裕祿紀(jì)念園是全國(guó)重點(diǎn)革命烈士紀(jì)念建筑物保護(hù)單位，革命烈士紀(jì)念碑位于

紀(jì)念園南部的中心.某綜合與實(shí)踐小組開(kāi)展測(cè)量紀(jì)念碑高度的活動(dòng)，記錄如下.

活動(dòng)

測(cè)量紀(jì)念碑的高度

主題

A

實(shí)物/'

圖和

測(cè)量

E,//

示意B

圖

FMD

如圖，紀(jì)念碑A8位于有臺(tái)階的平臺(tái)BC上，太陽(yáng)光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)。處,

測(cè)量同??時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿DE頂端E的影子落在點(diǎn)F處，位于點(diǎn)M處的觀測(cè)者眼

說(shuō)明晴所在位置為點(diǎn)N,點(diǎn)N,F,4在一條直線上，紀(jì)念碑底部點(diǎn)K在觀測(cè)者的水平視線

上.

測(cè)量

DE=2.1m,OF=2.1m,DM=Im,MN=1.2m

數(shù)據(jù)

備注點(diǎn)居M,D,C在同一水平線上.

根據(jù)以上信息，解決下列問(wèn)題.

（1）由標(biāo)桿的影子。打的長(zhǎng)和標(biāo)桿OE的長(zhǎng)相等，可得CO=G4,請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵求紀(jì)念碑力B的高度.

⑶小紅通過(guò)間接測(cè)量得到。。的長(zhǎng)，進(jìn)而求出紀(jì)念碑4B的高度約為18.5m.杳閱資料得知，紀(jì)念碑的實(shí)際高

度為19.64m.請(qǐng)判斷小紅的結(jié)果和（2）中的結(jié)果哪個(gè)誤差較大？并分析誤差較大的可能原因（寫(xiě)出一條即

可）.

【答案】（1）見(jiàn)解析;

⑵紀(jì)念碑48的高度為19.8m.

⑶小紅的結(jié)果誤差較大，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了平行投影，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行投影的性質(zhì)可得喙=黑，即可證明結(jié)論；

（2）令BN與DE的交點(diǎn)為“，則四邊形BCDH和是矩形，設(shè)=x，證明△NE”M48,得至汁唱=答,

AtjiVo

求出工的值即可；

（3）比較紀(jì)念碑的實(shí)際高度與小紅和（2）中的結(jié)果，得到誤差較大的一方，再分析可能的原囚即可.

【詳解】（1）解：???太陽(yáng)光下，其頂端A的影子落在點(diǎn)。處，同一時(shí)刻，豎直放置的標(biāo)桿0E頂端E的影子落

在點(diǎn)尸處，

.AC_DE

''CD~DFf

???標(biāo)桿的影子0尸的長(zhǎng)和標(biāo)桿DE的長(zhǎng)相等，即DE=DF,

ACD=CAx

（2）解：如圖，令BN與DE的交點(diǎn)、為H,

A

FMDC

則四邊形和MNHD是矩形，

DE=2.1m,DF=2.1m,DM=lm,MN=1.2m

CD=BH,BC=DH=MN=1.2m,NH=DM=lm,

???EH=DE-DH=0.9m,

設(shè)=則4C=48+BC=(1.2+x)m,

???BH=CD=(1.24-x)m,

：.NB=BH+NH=(22+x),

???EHWAB,

:小NEHNAB,

:.—EH=一NH,

ABNB

.0.9_1

*x-2.2+x'

解得：x=19.8,

答：紀(jì)念碑48的高度為19.8m.

(3)解:紀(jì)念碑的實(shí)際高度為19.64m,小紅求出紀(jì)念碑A8的高度約為18.5m,(2)中紀(jì)念碑力B的高度為19.8m,

則小紅的結(jié)果誤差較大，

理由是：紀(jì)念碑位于有臺(tái)階的平臺(tái)8C上，點(diǎn)C的位置無(wú)法正確定位，使得CD的長(zhǎng)存在誤差，影響計(jì)算結(jié)

果.

16.(2025?江蘇連云港?中考真題)一塊直角三角形木板，它的一條直角邊長(zhǎng)2m,面積為l.SnA

⑴甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設(shè)計(jì)一個(gè)正方形桌面，請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)正方形面積較大；

圖1圖2

(2)丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)方形桌面.請(qǐng)分別求出圖3、圖4中長(zhǎng)方形的面積y(m2)與DE

的長(zhǎng)無(wú)(m)之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出面積的最大值.

圖3圖4

【答案】⑴圖1的正方形面積較大

⑵在圖3中,y=一沁一1尸+:當(dāng)T=1m時(shí),長(zhǎng)方形的面積有最大值為:nA在圖4中,y=一氯丫+

p當(dāng)％=Jm時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為jm?

444

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相

關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)先運(yùn)用勾股定理算出48=VBC2+AU=2.5(m),再運(yùn)用正方形的性質(zhì)分別證明Rt△4DE~Rt△AC8,

RtADFC^RtA/IFC,Rt^ADG-Rt^ABC,然后代入數(shù)值化簡(jiǎn)得自=g,進(jìn)行計(jì)算得x=然后進(jìn)行

比較，即可作答.

(2)與(1)同理證明心△ADE-RtaAC8,則長(zhǎng)方形的面積y=xDC=一久工-1尸+i結(jié)合二次函

數(shù)的圖象性質(zhì)得當(dāng)％=1m時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為：m2.,然后證明心△DEORtAABC,Rt△

ADG?Rt△力8C,再把數(shù)值代入長(zhǎng)方形的面積y=DExOG,化簡(jiǎn)得丫二一叫卜一丁+:，結(jié)合二次函數(shù)的

圖象性質(zhì)進(jìn)行作答即可.

【詳解】(1)解:MC=2m,面積為1.5m2,

回AC=焉=1.5(m),

回力B=y/BC2+AC2=2.5(m).

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm,

回四邊形COEF是正方形

0DE||CF,/.ADE=zC=90°,DE=CD=x,AD=1.5-x,

0Z4=Z-A

(3Rt△月O￡~Rt△ACB

z<=iDEAD

得而=就,

即2=3

21.5

解得％=,(m).

團(tuán)四邊形GZMF是正方形

回OEIIGF,

0Z.CED=乙R,4EDC=AA

團(tuán)RtZiDEC?Rt△力8C,

zjjCCAC3

'SDE-AB~5'

口nDC3

即一=一,

DE5

0DC=-%.

AD=AC-DC=---x,

AAGD=zC=90°

團(tuán)RtZk/lDG-Rt△力8C,

得z?E——G=——BC

DAAB

nriX4

即

-E--X=\5

解得'=|^(m).

團(tuán)圖1的正方形面積較大.

（2）解：團(tuán)四邊形CDEF是長(zhǎng)方形

0DF||CF,LADE=ZC=90°,DE=CD=x,AD=1.5-x,

團(tuán)乙K=Z.A

0Rt△ADE^Rt△ACB；

洱”—AC—3

1號(hào)法-CB-4*

則ND=?x,DC=AC-AD=—

44

團(tuán)長(zhǎng)方形的面積y=DExDC=xx^=：x(2-x)=-^(x-I)2+

0--<0

4

國(guó)開(kāi)口向下，

當(dāng)x=lm時(shí)，長(zhǎng)方形的面積有最大值為［m2.

4

在圖4中，同理得RtADEORtzMBC,

DE_AB_5

伶花~7c~39

0DC=7X,DA=AC-DC=^-^X,

525

同理得Rt△ADG^Rt△ABC,

zriCGBC4

得荷=最=9

則DG=gDA=gd),

2

團(tuán)長(zhǎng)方形的面積y=DExDG=xx第--，(x-，+；,

o\/n/4n\*T/

!?!--<0

25

自開(kāi)口向下，

國(guó)當(dāng)％=Jm時(shí)，長(zhǎng)方形的面枳有最大值為［m2.

44

考點(diǎn)7位似與位似圖形

17.(2025?甘肅蘭州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC與△A夕L位似，位似中心是原點(diǎn)

O,已知8C:B'C'=1:2,則8(2,0)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕的坐標(biāo)是()

(4,0)C.(6,0)D.(8,0)

【答案】B

【分析1本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似

比為匕那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于々或-々.根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：E1A4BC與△ABC位似,位似中心是原點(diǎn)O,BC,B'C=1:2

回位似比為1:2,

網(wǎng)2,0),

3^(2X2,0x2),即夕(4,0),

故選：B.

18.(2025?浙江?中考真題)如圖.五邊形是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形.已知

點(diǎn)4A的坐標(biāo)分別為(2,0),(3,0).若OE的長(zhǎng)為3,則。,的長(zhǎng)為()

2

【答案】C

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到震=鑒=黑=j證明△DOE?A。?？冢纯汕蠼?

C//4CzLtC/U，

【詳削】解：團(tuán)五邊形/8CDE,480夕是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)44的坐標(biāo)分別為

(2,0),(3,0)

0A_絲_0D__2

~0E'-0D，-3，

0ZDOE=Z-DOE?

^LDOE?△D'OE',

DE_0E__2

%夕—0E'-3,

回0E=3,

Q

WE'=2

故選：C.

19.(2025?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖.在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是0(0,0),4(2,1),8(1,2),

以原點(diǎn)。為位似中心，在第三象限畫(huà)△04夕與△。力8位似，若△0A夕與△。力8的相似比為2:1,則點(diǎn)力的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

B.(—4,—2)C.(-1,—2)D.(-2,-4)

【答案】B

【分析】本題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.利用相似

比為2:1,4（2,1）,直接利用相似比可得出坐標(biāo).

【詳解】解：團(tuán)△。小夕與△。八8位似，相似比為2:1,

WB\OB'=1:2=OA-.OA1,

團(tuán)4（2,1）,位似中心為原點(diǎn)0,

田4（-4,-2）,

故選：B.

20.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在4x3的方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,將△OAB以點(diǎn)。

A.2:1B.1:2C.4:1D.1:4

【答案】B

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，正確得到40/1B以點(diǎn)。為位似中心放大2倍后得到^OCD是解題的

關(guān)鍵：

根據(jù)題意可得△。48以點(diǎn)。為位似中心放大2倍后得到^OCO,再根據(jù)位似圖形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：△OAB以點(diǎn)。為位似中心放大2倍后得到AOCD,

團(tuán)OB:OD=1:2,

0AOABhj^OCO的周長(zhǎng)之比是1:2；

故選:B.

21.（2025?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,|）,ZkABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（4,3）.以點(diǎn)P為位似中心作與AABC位似，相似比為2,且與△A8C位于點(diǎn)P同側(cè)；以點(diǎn)P為位似中

心作282c2與位似，相似比為2,且與△A1aC1位于點(diǎn)P同側(cè)......按照以上規(guī)律作圖，點(diǎn)心的坐

【答案】（一10年）/（一10,13.5）

【分析】本題考查了位似的性質(zhì)，根據(jù)位似比等于變換后與變換前的圖形的對(duì)應(yīng)線段的比，根據(jù)兩點(diǎn)距離

得出AP=|進(jìn)而得出42P=24P=10,&P=2/12P=20,求得直線力P的解析式，根據(jù)43P=20，即可求

解.

【詳解】解：依題意，A,P=2AP=2^(6-4)2+-3)2=5,

(a4P=2ArP=10,A3P=2A2P=20,

設(shè)直線4P的解析式為y=〃無(wú)+b(kW0),代入(6,1),(4,3)

裾=6k+b

V3=4k+b

解得：［k=~l

Ib=6

0y=-jx+6

設(shè)4+6)

2

0(m-6)2+(-^m+6-|)=202

解得：m1=-10,m2=22(舍去)

映(-10日)

故答案為：(一10，￡)?

22.(2025?廣東?中考真題)如圖，把△408放大后得到△COD,則△40B與△COD的相似比是.

【分析】本題考查求兩個(gè)位似圖形的相似比，根據(jù)題意，把A/lOB放大后得到△C。。，則△NOB與△C。。位

似，從而得到AA08與△COD的相似比等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心線段的比，即黑=；=j從而得到答案，掌

握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：把△力。6放大后得到△C。。，則△40B與△C。。位似，

???△40B與△CO。的相似比為黑=：=g

Ou63

故答案為：

23.(2025?黑龍江綏化?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，把△ABC以原點(diǎn)。為位似中心放大，得到△A'B'C1.若

點(diǎn)/和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)分別為(3,7),(-9,-21),則4力8。與44夕廠的相似比為.

【答案】1:3弓

【分析】木題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比

為鼠那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k是解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：把△RBC以原點(diǎn)為位似中心縮小得到△48（、點(diǎn)4和它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)片的坐標(biāo)分別為（3,7）,

（-9,-21）,

則么480與448'C'的相似比為g=《=/

故答案為：1:3.

24.（2025?安徽?中考真題）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy,

△的頂點(diǎn)和4】均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.已知點(diǎn)A和4的坐標(biāo)分別為（一1,一3）和（2,6）.

⑴在所給的網(wǎng)格圖中描出邊48的中點(diǎn)。，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）以點(diǎn)。為位似中心，將A/IBC放大得到使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4，請(qǐng)?jiān)谒o的網(wǎng)格圖中畫(huà)出△

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（一2,-1）

（2）圖見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，坐標(biāo)系中畫(huà)位似圖形，熟知中點(diǎn)坐標(biāo)公式，位似圖形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可確定點(diǎn)。的坐標(biāo)，進(jìn)而描出點(diǎn)。即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)兒的坐標(biāo)可知，把3、C的橫縱坐標(biāo)都乘以-2即可得到當(dāng)、G的坐標(biāo)，描出為、B］、G，

并順次連接為、Bi、Ci即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)。即為邊的中點(diǎn)，

團(tuán)4（—1,—3）,J?（—3,1）?

打點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一2,—1）.

（2）解：如圖所示，即為所求作的三角形.

考點(diǎn)8相似三角形的新定義問(wèn)題

25.（2025?甘肅蘭州?中考真題）如圖，黃金矩形48CD中啜以寬4B為邊在其內(nèi)部作正方形4BFE,

得到四邊形。?！晔屈S金矩形，依此作法，四邊形OEGH,四邊形KEGL也是黃金矩形.依次以點(diǎn)E,G,L

為圓心作竹，咻，曲線力/HK叫做“黃金螺線〃.若4。=2,則“黃金螺線的長(zhǎng)為.（結(jié)

【答案】（花一1）〃

［分析】本題主要考查了黃金矩形的定義,及弧長(zhǎng)公式/=黑.先根據(jù)黃金矩形4BCD中吟=亨，比4。=2,

1oULJ/

求出AZ?=6—1,進(jìn)而求出=Gil=HC=FC=3—居,Lil=IID=2乃一4,再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求

出“黃金螺線〃A/HK的長(zhǎng).根據(jù)黃金矩形的定義求出的長(zhǎng)，以及熟練掌握弧長(zhǎng)的公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:團(tuán)黃金矩形A8CD中吟=雪，且40=2,

Au2

國(guó)48=V5-1,

團(tuán)四邊形A8FE是正方形，

AE=EF=BF=AB=V5-1,

FC=FD=2-(V5-1)=3-V5,

團(tuán)四邊形是正方形，

:?GF=GH=HC=FC=3-曬,

-CD=AB=V5-1,

HD=CD-CH=(V5-1)-(3-V5)=2遮-4,

回四邊形LKOH是正方形，

LH=HD=2后-4,

吃黃金螺線”4FHK的長(zhǎng)為，

90兀-AE907r-GH907r?LH

180+180+180

=^n(AE+GH+LH)

乙

=^n(AE+ED+LH)

=，Q4D+LH)

1l、

=-7r(z2+2V5-4)

=(V5-1)7T.

故答案為：(再一1)7T.

26.(2025?廣東?中考真題)定義：把某線段一分為二的點(diǎn)，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，

則稱此線段被分為中外比，這個(gè)點(diǎn)稱為中外比點(diǎn).

(1)如圖，點(diǎn)P是線段MN的中外比點(diǎn)，MP>PN,MN=2,求PN的長(zhǎng).

MPN

(2)如圖，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)求作一點(diǎn)。把線段分為中外比.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

II

Ab

⑶如圖，動(dòng)點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)、=其4>0,%>0)的圖象分別與矩形。48。的邊力8,8C相交于

點(diǎn)D,E,與對(duì)角線。8相交于點(diǎn)F.當(dāng)^OOE是等腰直角三角形時(shí)，探究點(diǎn)。，E,F是否分別為48,BC,0B

的中外比點(diǎn)，并證明.

【答案】（1）PN=3—6

⑵見(jiàn)解析

⑶當(dāng)△OOE是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)0,E,F分別為力氏BC,。8的中外比點(diǎn)，證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)PN=x,根據(jù)題意境=黑，得__=三，解分式方程，即可求解；

MPPN2-xX

（2）①作線段A8的垂直平分線DE,交AB于點(diǎn)D；②過(guò)點(diǎn)8作5FJ.4B,且BF=BD；③連接力J④以

點(diǎn)F為圓心，BF為半徑,畫(huà)弧，交4尸于點(diǎn)G：⑤以點(diǎn)A為圓心，AG為半徑，畫(huà)弧，交48于點(diǎn)。，點(diǎn)C即為線

段4B的中外比點(diǎn).

設(shè)8〃=X,根據(jù)勾股定理求得=八&繼而求得AG=AC=（V5-l）x,BC=（3-V5）X,分別代入強(qiáng)

即可求證點(diǎn)C為線段48的中外比點(diǎn)：

（3）當(dāng)aODE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)。、E、戶分別為48,BC,08的中外比點(diǎn)，分三種情況討論：①當(dāng)△OED=

90c時(shí)，證得△COE=△BED,設(shè)點(diǎn)E（m,n）,則D（m+n,n-m）,根據(jù)點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)y=>0,x>0）

的圖象上，可構(gòu)建方程小一根九一血2二。，解得九二詈加，分別求得BE、CE、BC、80、AD.48的值，

即可求證.設(shè)直線08的函數(shù)解析式為y=ax（aH0）,利用待定系數(shù)法求得直線。B的函數(shù)解析式為y=與，

聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求證；②當(dāng)NODE=90。，同理可證點(diǎn)0,E,F分別為BC,。8的

中外比點(diǎn)；③當(dāng)NE0D=90。，則點(diǎn)E、。分別位于y軸、不軸上，與反比例函數(shù)不符.

【詳解】（1）解：設(shè)PN=%,則MP=MN-PN=2-x,

根據(jù)題意，得：黑=需，即;乙=^,

MPPN2-XX

整理，得：x2—6x4-4=0,解得：Xi=3+V5,x?=3-場(chǎng),

3+V5>2,

???n=3+V5舍去，

???PN=3-V5.

（2）解：如圖所示，點(diǎn)C為所求.

,根據(jù)題意，得：AD=BD=BF=FG=x,AB=2x,

:.AF=y/AB2+BF2=V（2x）2+x2=x岳,

:.AG=AC==l）x,BC=AB-AC=2x-（＞J5-l）x=（3-V5）x,

??竺—2x_?M+1AC_（遙-1）X_

?ZC―（V5-1）X―2'BC~（3-V5）X—2，

.AB_AC

,?萬(wàn)一記

點(diǎn)C為線段48的中外比點(diǎn).

（3）解：當(dāng)△ODE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)。、E、F分別為4B,BC,0B的中外比點(diǎn)，理由如下:

第一種情況：當(dāng)△OED=90。，則OE=ED,

???LOEC+乙DEB=90°,

???四邊形。4BC是矩形，

???LOCE=乙EBD=90°,

LCOE+cOEC=90°,

???乙COE=Z.DEB，

COE三△BED（AAS）,

設(shè)點(diǎn)E（m,n）.

???OC=EB=n,CE=BD=m,則O（m+〃,九一m）,

???點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)y=>0,x>0）的圖象上,

一①

二得：卜

=n—m（2）

\m+n

由①得：k=mn,將其代入②，得：=n—m,

整理，得：n2—mn—m2=0,

22

_m±s/（-m）-4xlx（-m）_m±m(xù)^5

解得:71=—

2

1+V5l—y/S

:.TH,n2=—m（舍去），

（1+、尺\(yùn)/3+V5V5-1\Z3+V51+V5\

???Er（m,nD

cl1+7S*3+A

.%BE=---m,CE=m,BC=----m,

22

nr?r\V5—1.1+、行

BD=m,AAD=---m,ABn=----m,

22

r,r，?/1+V5\23+V52cccL3+VS3+V59

vBEZ=BC-CE=?m=

BD2=m2,AB-AD=?^-^-m=m2,

22

BCBEABBD

:?———，~~—?―"，

BECEBDAD

??點(diǎn)E、D為BC、48的中外比點(diǎn).

??,點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=§(k>0,x>0)的圖象上，E(犯上步瓶),

l±2^m2

???反比例函數(shù)為y=-^一,

???B(A4)，

設(shè)直線。3的函數(shù)解析式為y=ax(a*0),

將點(diǎn)8(包產(chǎn)科丫產(chǎn)m),0(0,0)代入，得：a=~~~>

???直線。8的函數(shù)解析式為y=與x,

51

y=h%V5+1

編z，解得：\x=-m>

(y=￥…

.../(當(dāng)Am,m),

.竺_竺

""OF~'BF"

.?.點(diǎn)F為08的中外比點(diǎn).

第二種情況：當(dāng)乙。OE=90。，則。O=OE,

.??LODA+Z-EDB=90°,

出邊形。力BC是矩形,

二LOAD=LEBD=90°,

/.乙ODA+Z.DOA=90°,

LEDB=Z.DOA,

:AOAD三△DBE(AAS),

設(shè)點(diǎn)。(a,b),

0A=DB=a,AD=BE=b,則E(a—b,a+b),

?.YD、E在反比例函數(shù)y=式k>0,x>0)的圖象上,

由①得：k=ab,將其代入②，得：-^―=a+b,

整理，得：b2+ab—a2=0,

士町_-a±a^5

解得：b=-aJa2-4xix(-a

2

二瓦=b?=（舍去）,

???。（。，亨a）,E"a,竽a），

nn、后一1cr3-\f5

???BE=---a.CE=---a,BnCr=a,

.p.7S-1.l+y/5

BD=Q,AD=---Q,ABn=--------a,