培優(yōu)點(diǎn)03洛必達(dá)法則

Q題型梳理

題型方法

題型一用洛必達(dá)法則處理3型函數(shù)

OO

題型二用洛必達(dá)法則處理二型函數(shù)

B知識(shí)清單

“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時(shí)，經(jīng)常需要

08

求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)色型或二型可以考慮使用洛必達(dá)法則.

U00

洛必達(dá)法則：

法則1W型

若函數(shù)1X)和g(x)滿足下列條件：

(l)Hmfix)=O及㈣g(x)=O；

⑵在點(diǎn)〃的去心鄰域內(nèi)，八元)與g(x)可導(dǎo)且短(x)WO；

f(x)

(3)lim七三十/,

皿g(x)

頊為「.")].f(x)

力/Jim/、lim//、I7.

L。g(X)A。gW

8

法則2荔型

若函數(shù)/U)和g(x)滿足下列條件:

(1)媽|%)=8及顧g(x)=8；

（2）在點(diǎn)4的去心鄰域內(nèi)，#x）與g（x）可導(dǎo)且g'（x）WO；

CYT/（尤）,挪短/（無(wú)）,

（3）lim//、=/,那么hm/、=rhm//、=/.

x-*ag（X）x-*ag（x）x-*ag（X）

注意：

1.將上面公式中的X—Q,%f8換成％f+8,x——8,x-q+,元一〃一，洛必達(dá)法則也成立.

2.洛必達(dá)法則可處理［—,0-°°,1°°,8。,0。，8—8型求極限問題.

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足2,。8,r,8。,0。，8—8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)，當(dāng)

不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限.

4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

lim斛=lim4■粵，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

x-ag（x）x-ag（x）x-ag㈤

但題型方法

【題型一】用洛必達(dá)法則處理T型函數(shù)

【例1】我們把分子、分母同時(shí)趨近于。的分式結(jié)構(gòu)稱為:型，比如：當(dāng)x-?0時(shí)，3的極限即為苫型.兩個(gè)無(wú)窮

0x0

小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分

別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.如：lim￡zl=limEzi=iim￡=iime^e°=1;則！-

Xf0xXf0xfX-01Xf0"TX-1

解題技巧

用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)的步驟：（1）分離變量；（2）出現(xiàn)E型式子；（3）運(yùn)用洛必達(dá)法則求值

【舉一反三】【變式1】（2025?河北?三模）洛必達(dá)法則對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.洛必達(dá)法則：給定兩個(gè)函數(shù)

F（x）,G（x）,當(dāng)/伍）=O,G（Xo）=O時(shí)，lim=］而/（））.已知函數(shù)尤？+sinx-x,=3sinx—xcosx-2x.

%-%G（x）%-%G（x）6

⑴證明：〃(x)在區(qū)間［0,2可上單調(diào)遞減;

(2)對(duì)于xe［0,2TT］,/(^)>。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)V力eN*,證明：cos—+cos+?■?+cos—>n---(附：e~2.718,e_?7.389).

eee〃12

【變式2］(2024?浙江.二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論:若函數(shù)/(x),

g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(x),g'(x),J.Hm/(x)=Hm^(x)=0,則

limgklim小

』g(尤)』g(X)

②設(shè)左是大于的正整數(shù)，若函數(shù)〃滿足：對(duì)任意均有了⑺二/X成立，且理〃句=。,則稱函

a>0,1x)~k

數(shù)”X)為區(qū)間［0，4］上的上階無(wú)窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題:

⑴試判斷/(x)=d-3x是否為區(qū)間［0,3］上的2階無(wú)窮遞降函數(shù);

(2)計(jì)算：lim(l+xy;

x->0

sinx

(3)證明:(<cos%

x-n

【變式3】①在高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于極限的計(jì)算，常會(huì)用到：i)四則運(yùn)算法則：如果理=吧g(x)=B,則

理[/(x)±g(尤)]=吧/(彳)土吧g(x)=A±2,lim[/(^)-g(^)]=lim/(x)-limg(x)=AB,若B?O,貝!!

陰需=需界=t；ii)洛必達(dá)法則：若函數(shù)〃x),g⑺的導(dǎo)函數(shù)分別為「⑺，g'(x),lim/(^)=limg(x)=O,

Xf

x—>a

|吧g[x)=0,則lim牛=

—ax-g(Rhmg(%)

②設(shè)q>0,左是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)〃尤)滿足：對(duì)Vxe(O,a),均有成立，則稱函數(shù)為區(qū)間(0,0

上的左階無(wú)窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題；

⑴計(jì)算：①lim包X；

X

②lim(l+2x];

⑵試判斷〃x)=四號(hào)運(yùn)是否為區(qū)間(0,鼻上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；并證明：Vxe]o,j,/(X)>1.

OO

【題型二】用洛必達(dá)法則處理荔型函數(shù)

【例2】?jī)蓚€(gè)無(wú)窮小之比或兩個(gè)無(wú)窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則,

即在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法，如lim￡zl==iim￡=i，則

X->0%XT°%X->01

lnx+x-1

lim)

+x—2

A.gB.-C.1D.2

23

解題技巧

oooo

用洛必達(dá)法則處理二型函數(shù)的步驟：(1)分離變量；(2)出現(xiàn)一型式子；(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

OOOO

【舉一反三】【變式1】(24-25高二下?河南商丘?期末)“洛必達(dá)法則”是研究微積分時(shí)經(jīng)常用到的一個(gè)重要定理，洛必

達(dá)法則之一的內(nèi)容是：若函數(shù)〃(x),v(x)的導(dǎo)數(shù)〃(x),iz'(x)都存在，且v'(x)wO,如果尤―。(。是常數(shù))時(shí)，-

或+oow(x)f-oo或+co,且幺㈡(/是常數(shù))，則X—。時(shí)，4?3/.

v(尤)v(%)

k

已知函數(shù)/(x)=kex~l-x,g(x)=Inx+——l,keR.

x

(1)證明：左=1時(shí)曲線y=/Q)在點(diǎn)(1)(D)處的切線與曲線y=雙九)也相切；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)(石＜%2)，函數(shù)8(%)有兩個(gè)零點(diǎn)七,％4(毛V%4).

①指出兀1，%2，%3，工4的大致范圍(不必說(shuō)明理由)，并求出左的取值范圍；

②試探究玉+%與%3+%的大小關(guān)系.

【變式2】(2024.河北邢臺(tái)?二模)在函數(shù)極限的運(yùn)算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式號(hào)型或三型極限的一種重要方

0oo

法，其含義為：若函數(shù)“尤)和g(x)滿足下列條件：

①吧〃無(wú))=0且蚓g(x)=O(或理f(x)=°°,limg(x)=oo).

②在點(diǎn)。的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g'(x)wO；

③理黑馬(A可為實(shí)數(shù)，也可為墳)，則理需=:吧累

X

⑴用洛必達(dá)法則求lim.,

%-osmx

兀232n-l

⑵函數(shù)〃彳)=1+尤+萬(wàn)+3+~+西可］"22,〃eN*),判斷并說(shuō)明〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(3)已知g(2x)=g(x)?cosx,g(O)=l,工十/外求g(x)的解析式.

參考公式：limf(x)=/(limxklim/f(x)=klimf(x).

x->a'/\x->a/%-axfa

【變式3】極限，是微積分學(xué)中一個(gè)重要概念.有些簡(jiǎn)單函數(shù)的求極限是可以直接寫出的，例如，lim4=8.如果當(dāng)

zOX2

/(x)

(或X—8)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)“X)與g(x)都趨于零或都趨于無(wú)窮大，那么我們通常把極限！變而叫作未定式，并分

f(x\f

別簡(jiǎn)記為g或。當(dāng)XfX。(或Xf8),極限鷺忘為未定式且廣⑺、g'(x)、理避存在(g'(x)wo)時(shí)，

/(X)/'(%)

有：！變7m=1?7(7)?這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法

(io)外1go)占I1

貝lj(UHopital'srull).

⑴使用洛必達(dá)法則，求極限；

①lin^+2丘3；②1曲葉皿；③血(*1號(hào)-/-2Al

2

%-1Inx尤一°x—ox

⑵求極限(選擇一個(gè)可用合適方式解答的式子作答，多個(gè)題目作答，以第一道作答題目計(jì)分)：

芯ex+e~x與J1+Yx+sinx

@lim-——；②lim"；③hm----------；

ise-ex.8x尤―8x

⑶1且「⑴=e—l,。,0)3。,+力)，加＜「(%)—三恒成立.

①直接寫出r（x）解析式;

②求。的取值范圍.

但好題必刷

一、單選題

or_1

1.（22-23高二下?新疆伊犁?期中）我們把分子、分母同時(shí)趨近于。的分式結(jié)構(gòu)稱為《型，比如：當(dāng)X'0時(shí)，e」的

0x

極限即為（型.兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件

下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.如：HmH==lim-=lime*=e°=1，則

x—>0%x->0%xf0]x—>0

A.-B.JC.1D.2

82

二、填空題

2.（21-22高三上?湖北襄陽(yáng)?期末）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為？型，比如：當(dāng)尤->0時(shí)，曲的

01

極限即為[型，兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無(wú)限小分析》一

書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過

對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法.

如.sinx（sinx）cos%Mlie^+e'~*12-

劉?lim------=lim-------=lim--------=1，火u叫m------?

D%D%，D1…1-COSX

三、解答題

3.(2025?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè))洛必達(dá)法則對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.洛必達(dá)法則：給定兩個(gè)函數(shù)月(%),G(x),

當(dāng)尸(Xo)=O,G(Xo)=O時(shí)，lim=lim"⑴.已知函數(shù)/(%)=+sinx-x,/z(x)=3sinx—xcosx-2%.

“f與G(x)1瓶G(x)6

⑴對(duì)于工?0,2可工(%)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)Vz?eN*,證明：cos—Fcos—7H----Hcos—>n---(附：e~2.718,e~~7.389).

ee-e"12

4.在研究函數(shù)問題時(shí)，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上值域的問題，但函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)又恰好沒有意義的情況，此

時(shí)我們就可以用函數(shù)在這點(diǎn)處的極限來(lái)刻畫該點(diǎn)附近數(shù)的走勢(shì)，從而得到數(shù)在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，

其中有一種十分簡(jiǎn)單且好用的方法——洛必達(dá)法則

該法則表述為：“設(shè)函數(shù)/(x),g(x)滿足下列條件：

①lim/(x)=0,limg(x)=0；

x->axfa

②在點(diǎn)a處函數(shù)/(x)和g(x)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數(shù)/(x)和g(x)在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；

③1而架=4,其中A是某固定實(shí)數(shù)；

二"g'(x)

...f{x}f，(x)

則nhm=lim------=A”

fg(x)-ag'(x)

那么，假設(shè)有函數(shù)/(x)=/,g(x)=tx+l.

⑴若/(x)2g(x)恒成立，求f的取值范圍；

(2)證明：e*