2025年大數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)考試題及答案一、選擇題（每題5分，共30分）1.設(shè)數(shù)據(jù)集$D=\{3,5,7,9,11\}$，則該數(shù)據(jù)集的均值為（）A.7B.8C.9D.10答案：A解析：均值（平均數(shù)）的計算公式為$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}$，其中$n$是數(shù)據(jù)的個數(shù)，$x_{i}$是第$i$個數(shù)據(jù)。對于數(shù)據(jù)集$D=\{3,5,7,9,11\}$，$n=5$，$\sum_{i=1}^{5}x_{i}=3+5+7+9+11=35$，則均值$\bar{x}=\frac{35}{5}=7$。2.已知兩個事件$A$和$B$，$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，若$A$和$B$相互獨立，則$P(A\cupB)$等于（）A.0.2B.0.7C.0.8D.0.9答案：B解析：若兩個事件$A$和$B$相互獨立，則$P(A\capB)=P(A)\timesP(B)$。已知$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，所以$P(A\capB)=0.4\times0.5=0.2$。根據(jù)概率的加法公式$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)$，將$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，$P(A\capB)=0.2$代入可得$P(A\cupB)=0.4+0.5-0.2=0.7$。3.在線性回歸方程$\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x$中，$\hat{\beta}_{1}$表示（）A.當(dāng)$x$每增加一個單位時，$y$的平均變化量B.當(dāng)$y$每增加一個單位時，$x$的平均變化量C.回歸直線在$y$軸上的截距D.回歸直線的斜率答案：D解析：在線性回歸方程$\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x$中，$\hat{\beta}_{1}$是回歸直線的斜率，它表示當(dāng)$x$每增加一個單位時，$\hat{y}$（預(yù)測值）的平均變化量；$\hat{\beta}_{0}$是回歸直線在$y$軸上的截距。所以本題選D。4.已知矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則矩陣$A$的行列式$|A|$的值為（）A.-2B.2C.10D.-10答案：A解析：對于二階矩陣$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，其行列式$|A|=ad-bc$。已知矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$|A|=1\times4-2\times3=4-6=-2$。5.設(shè)隨機變量$X\simN(2,4)$，則$P(X\lt4)$的值為（已知$\varPhi(1)=0.8413$）（）A.0.8413B.0.1587C.0.6826D.0.3413答案：A解析：若隨機變量$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，則$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$。已知$X\simN(2,4)$，則$\mu=2$，$\sigma=2$。$P(X\lt4)=P\left(\frac{X-2}{2}\lt\frac{4-2}{2}\right)=P(Z\lt1)$，因為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)$\varPhi(z)=P(Z\ltz)$，且已知$\varPhi(1)=0.8413$，所以$P(X\lt4)=0.8413$。6.在一個包含100個樣本的數(shù)據(jù)集里，某個特征值出現(xiàn)的頻數(shù)為20，則該特征值的頻率為（）A.0.2B.0.5C.0.8D.20答案：A解析：頻率的計算公式為$f=\frac{n}{N}$，其中$n$是某個特征值出現(xiàn)的頻數(shù)，$N$是樣本總數(shù)。已知$n=20$，$N=100$，則頻率$f=\frac{20}{100}=0.2$。二、填空題（每題5分，共20分）1.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$______。答案：1解析：對于兩個向量$\vec{a}=(x_{1},y_{1})$，$\vec=(x_{2},y_{2})$，它們的數(shù)量積$\vec{a}\cdot\vec=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$。已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,-1)$，則$\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times(-1)=3-2=1$。2.若數(shù)據(jù)$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的方差為4，則數(shù)據(jù)$3x_{1}+2,3x_{2}+2,\cdots,3x_{n}+2$的方差為______。答案：36解析：設(shè)數(shù)據(jù)$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的平均數(shù)為$\bar{x}$，方差為$s^{2}$，則$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=4$。對于數(shù)據(jù)$y_{i}=3x_{i}+2$，$i=1,2,\cdots,n$，其平均數(shù)$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(3x_{i}+2)=3\times\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+2=3\bar{x}+2$。方差$s_{y}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(3x_{i}+2)-(3\bar{x}+2)]^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(3x_{i}-3\bar{x})^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}9(x_{i}-\bar{x})^{2}=9\times\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=9s^{2}$。因為$s^{2}=4$，所以$s_{y}^{2}=9\times4=36$。3.已知函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$，則函數(shù)$f(x)$的極大值為______。答案：2解析：首先對函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$求導(dǎo)，$f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$時，$f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時，$f^\prime(x)=3x(x-2)\lt0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x\gt2$時，$f^\prime(x)=3x(x-2)\gt0$，函數(shù)$f(x)$單調(diào)遞增。所以$x=0$是函數(shù)$f(x)$的極大值點，將$x=0$代入$f(x)$可得$f(0)=0^{3}-3\times0^{2}+2=2$，即函數(shù)$f(x)$的極大值為2。4.在抽樣調(diào)查中，從500個總體中抽取50個樣本，若采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣間隔為______。答案：10解析：系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔$k=\frac{N}{n}$，其中$N$是總體個數(shù)，$n$是樣本容量。已知$N=500$，$n=50$，則抽樣間隔$k=\frac{500}{50}=10$。三、解答題（共50分）1.（10分）某公司記錄了過去10個月的銷售額（單位：萬元）如下：30，32，35，33，36，34，37，35，38，36。（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）求這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差（結(jié)果保留兩位小數(shù)）。解：（1）將數(shù)據(jù)從小到大排列：30，32，33，34，35，35，36，36，37，38。因為數(shù)據(jù)個數(shù)$n=10$為偶數(shù)，所以中位數(shù)是中間兩個數(shù)的平均值，即第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均值。中位數(shù)$M=\frac{35+35}{2}=35$（萬元）。（2）首先求這組數(shù)據(jù)的均值$\bar{x}$：$\bar{x}=\frac{30+32+33+34+35+35+36+36+37+38}{10}=\frac{346}{10}=34.6$（萬元）。然后求方差$s^{2}$：\[\begin{align}s^{2}&=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-\bar{x})^{2}\\&=\frac{1}{10}[(30-34.6)^{2}+(32-34.6)^{2}+(33-34.6)^{2}+(34-34.6)^{2}+(35-34.6)^{2}+(35-34.6)^{2}+(36-34.6)^{2}+(36-34.6)^{2}+(37-34.6)^{2}+(38-34.6)^{2}]\\&=\frac{1}{10}[(-4.6)^{2}+(-2.6)^{2}+(-1.6)^{2}+(-0.6)^{2}+0.4^{2}+0.4^{2}+1.4^{2}+1.4^{2}+2.4^{2}+3.4^{2}]\\&=\frac{1}{10}(21.16+6.76+2.56+0.36+0.16+0.16+1.96+1.96+5.76+11.56)\\&=\frac{1}{10}\times52.4\\&=5.24\end{align}\]標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{5.24}\approx2.29$（萬元）。2.（12分）設(shè)隨機變量$X$的概率分布為：|$X$|-1|0|1||----|----|----|----||$P$|0.2|0.5|0.3|（1）求$E(X)$和$D(X)$；（2）設(shè)$Y=2X+1$，求$E(Y)$和$D(Y)$。解：（1）根據(jù)期望和方差的定義公式：期望$E(X)=\sum_{i}x_{i}P(X=x_{i})$，則$E(X)=(-1)\times0.2+0\times0.5+1\times0.3=-0.2+0+0.3=0.1$。方差$D(X)=\sum_{i}(x_{i}-E(X))^{2}P(X=x_{i})$，$D(X)=(-1-0.1)^{2}\times0.2+(0-0.1)^{2}\times0.5+(1-0.1)^{2}\times0.3$$=(-1.1)^{2}\times0.2+(-0.1)^{2}\times0.5+(0.9)^{2}\times0.3$$=1.21\times0.2+0.01\times0.5+0.81\times0.3$$=0.242+0.005+0.243$$=0.49$。（2）根據(jù)期望和方差的性質(zhì)：若$Y=aX+b$（$a$，$b$為常數(shù)），則$E(Y)=aE(X)+b$，$D(Y)=a^{2}D(X)$。已知$Y=2X+1$，$a=2$，$b=1$，$E(X)=0.1$，$D(X)=0.49$。$E(Y)=2E(X)+1=2\times0.1+1=1.2$。$D(Y)=2^{2}D(X)=4\times0.49=1.96$。3.（14分）已知線性回歸模型$y=\beta_{0}+\beta_{1}x+\varepsilon$，其中$\varepsilon\simN(0,\sigma^{2})$，通過最小二乘法得到樣本數(shù)據(jù)$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdots,(x_{n},y_{n})$的回歸方程為$\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x$。（1）推導(dǎo)$\hat{\beta}_{1}$和$\hat{\beta}_{0}$的計算公式；（2）若已知一組樣本數(shù)據(jù)：$x=[1,2,3,4,5]$，$y=[2,4,6,8,10]$，求回歸方程$\hat{y}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1}x$。解：（1）設(shè)$Q(\beta_{0},\beta_{1})=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})^{2}$，要使$Q(\beta_{0},\beta_{1})$達(dá)到最小，分別對$\beta_{0}$和$\beta_{1}$求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0。$\frac{\partialQ}{\partial\beta_{0}}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})=0$，即$\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})=0$，$\sum_{i=1}^{n}y_{i}-n\beta_{0}-\beta_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=0$，可得$\beta_{0}=\bar{y}-\beta_{1}\bar{x}$，其中$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}$。$\frac{\partialQ}{\partial\beta_{1}}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\beta_{0}-\beta_{1}x_{i})x_{i}=0$，將$\beta_{0}=\bar{y}-\beta_{1}\bar{x}$代入可得：\[\begin{align}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y}+\beta_{1}\bar{x}-\beta_{1}x_{i})x_{i}&=0\\\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})x_{i}-\beta_{1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})x_{i}&=0\\\beta_{1}&=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\end{align}\]（2）首先計算$\bar{x}$和$\bar{y}$：$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，$\bar{y}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$。$\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=(1-3)\times(2-6)+(2-3)\times(4-6)+(3-3)\times(6-6)+(4-3)\times(8-6)+(5-3)\times(10-6)$$=(-2)\times(-4)+(-1)\times(-2)+0\times0+1\times2+2\times4$$=8+2+0+2+8=20$。$\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2}=(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}$$=(-2)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}=4+1+0+1+4=10$。則$\hat{\beta}_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\bar{x})^{2}}=\frac{20}{10}=2$。$\hat{\beta}_{0}=\bar{y}-