新版七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)專題總結(jié)數(shù)學(xué)是一門邏輯性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛的學(xué)科，七年級(jí)數(shù)學(xué)更是整個(gè)中學(xué)階段的基礎(chǔ)。本專題總結(jié)旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理新版七年級(jí)數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，鞏固基礎(chǔ)，提升綜合運(yùn)用能力。我們將沿著教材的知識(shí)脈絡(luò)，結(jié)合重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行剖析，力求讓每位同學(xué)都能學(xué)有所獲。第一章有理數(shù)1.1有理數(shù)的基本概念從小學(xué)接觸的正數(shù)、零擴(kuò)展到負(fù)數(shù)，便構(gòu)成了有理數(shù)的范疇。有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）的統(tǒng)稱。這里的分?jǐn)?shù)，指的是可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)。數(shù)軸是理解有理數(shù)的重要工具。規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，這體現(xiàn)了數(shù)與形的初步結(jié)合。數(shù)軸上的點(diǎn)從左到右表示的數(shù)越來越大，這為我們比較有理數(shù)的大小提供了直觀的方法。相反數(shù)是指只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。特別地，零的相反數(shù)是零本身。求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只需在這個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)。絕對(duì)值則是指一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用符號(hào)“||”表示。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值是零。絕對(duì)值的幾何意義深刻揭示了其非負(fù)性，即任何數(shù)的絕對(duì)值都大于或等于零。1.2有理數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算包括加、減、乘、除以及乘方，它們是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)。加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零；一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)。減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。這一法則將減法運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同零相乘都得零。幾個(gè)不為零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。除法法則：除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。零除以任何一個(gè)不等于零的數(shù)都得零。在進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)，要注意除數(shù)不能為零。乘方是求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，其結(jié)果叫做冪。在\(a^n\)中，\(a\)叫做底數(shù)，\(n\)叫做指數(shù)。乘方運(yùn)算中，要特別注意符號(hào)的確定：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；零的任何正整數(shù)次冪都是零。混合運(yùn)算順序：有理數(shù)的混合運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。第二章整式的加減2.1整式的相關(guān)概念代數(shù)式是由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運(yùn)算所得的式子，或含有字母的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也叫做代數(shù)式。整式為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的統(tǒng)稱。由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。同類項(xiàng)是指所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。識(shí)別同類項(xiàng)是進(jìn)行整式加減的基礎(chǔ)。2.2整式的加減運(yùn)算整式的加減運(yùn)算實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)的法則是：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。在進(jìn)行整式加減時(shí)，如果遇到括號(hào)，要先根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)。去括號(hào)法則為：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反。整式加減的一般步驟是：先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。通過整式的加減，可以將一個(gè)復(fù)雜的整式化簡為最簡形式，為后續(xù)的代數(shù)式求值、解方程等運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。第三章一元一次方程3.1從算式到方程方程是含有未知數(shù)的等式。一元一次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程。其標(biāo)準(zhǔn)形式為\(ax+b=0\)（其中\(zhòng)(a\)、\(b\)為常數(shù)，且\(a\neq0\)）。使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。列方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于找出題目中的等量關(guān)系。一般步驟可概括為：設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)所得結(jié)果是否符合題意并作答。3.2解一元一次方程解一元一次方程的過程，就是通過一系列變形，把方程轉(zhuǎn)化為\(x=a\)（\(a\)為常數(shù)）的形式。等式的性質(zhì)是解方程的依據(jù)：1.等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。2.等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。解一元一次方程的一般步驟包括：1.去分母：在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)。2.去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，注意符號(hào)規(guī)則。3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊（移項(xiàng)要變號(hào)）。4.合并同類項(xiàng)：把方程化成\(ax=b\)（\(a\neq0\)）的形式。5.系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{a}\)。在解方程的過程中，每一步變形都要依據(jù)等式的性質(zhì)或運(yùn)算法則，確保變形的正確性。3.3一元一次方程的應(yīng)用一元一次方程在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，常見的類型包括：行程問題（相遇、追及）、工程問題、利潤問題、利息問題、數(shù)字問題、調(diào)配問題等。解決這類問題的關(guān)鍵在于仔細(xì)審題，理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，列出方程并求解。在解決實(shí)際問題時(shí)，不僅要注意解方程的正確性，還要對(duì)解出的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合實(shí)際意義。第四章圖形的初步認(rèn)識(shí)4.1多姿多彩的圖形我們生活在一個(gè)充滿圖形的世界里。從實(shí)物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形。幾何圖形包括立體圖形和平面圖形。立體圖形是各部分不都在同一平面內(nèi)的幾何圖形，如正方體、長方體、圓柱、圓錐、球等。從不同方向觀察立體圖形，可以得到不同形狀的平面圖形，這有助于我們認(rèn)識(shí)立體圖形的結(jié)構(gòu)。有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖。平面圖形是各部分都在同一平面內(nèi)的幾何圖形，如線段、角、三角形、長方形、圓等。4.2直線、射線、線段直線是向兩方無限延伸的，沒有端點(diǎn)，無法度量長度。經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線。射線是直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分，有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一方無限延伸，無法度量長度。線段是直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分，有兩個(gè)端點(diǎn)，可以度量長度。兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫做這兩點(diǎn)間的距離。線段的比較與度量可以通過疊合法和度量法進(jìn)行。線段的中點(diǎn)是指把一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)。類似地，還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等。4.3角角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。角的度量單位是度、分、秒，它們之間的換算關(guān)系是：\(1^\circ=60'\)，\(1'=60''\)。角的比較與運(yùn)算可以類比線段的比較與運(yùn)算。從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。角按其大小可分為：銳角（小于\(90^\circ\)）、直角（等于\(90^\circ\)）、鈍角（大于\(90^\circ\)且小于\(180^\circ\)）、平角（等于\(180^\circ\)）、周角（等于\(360^\circ\)）。如果兩個(gè)角的和等于\(90^\circ\)（直角），就說這兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和等于\(180^\circ\)（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。同角（等角）的余角相等；同角（等角）的補(bǔ)角相等。4.4相交線與平行線（部分基礎(chǔ)內(nèi)容）相交線：兩條直線相交，形成四個(gè)角。其中，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，對(duì)頂角相等。如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離。平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。（注：平行線的判定與性質(zhì)將在后續(xù)章節(jié)詳細(xì)學(xué)習(xí)）第五章相交線與平行線5.1相交線在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種（垂直是相交的特殊情況）。兩條直線相交，除了對(duì)頂角外，還有鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角是指有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：這是兩條直線被第三條直線所截形成的角。同位角：在截線的同旁，被截兩直線的同一側(cè)。內(nèi)錯(cuò)角：在截線的兩旁，被截兩直線之間。同旁內(nèi)角：在截線的同旁，被截兩直線之間。準(zhǔn)確識(shí)別這些角是學(xué)習(xí)平行線判定與性質(zhì)的關(guān)鍵。5.2平行線及其判定平行線的判定方法：1.同位角相等，兩直線平行。2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。5.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。這些判定方法是由角的數(shù)量關(guān)系推出直線的位置關(guān)系。5.3平行線的性質(zhì)兩條平行線被第三條直線所截，具有以下性質(zhì)：1.同位角相等。2.內(nèi)錯(cuò)角相等。3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線的性質(zhì)是由直線的位置關(guān)系推出角的數(shù)量關(guān)系，與判定方法互為逆用。命題是判斷一件事情的語句，由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題叫做真命題；如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立的命題叫做假命題。經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理。一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明。第六章實(shí)數(shù)6.1平方根與立方根如果一個(gè)正數(shù)\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2=a\)，那么這個(gè)正數(shù)\(x\)叫做\(a\)的算術(shù)平方根，記作\(\sqrt{a}\)。0的算術(shù)平方根是0。如果一個(gè)數(shù)的平方等于\(a\)，那么這個(gè)數(shù)叫做\(a\)的平方根或二次方根。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。求一個(gè)數(shù)\(a\)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。如果一個(gè)數(shù)的立方等于\(a\)，那么這個(gè)數(shù)叫做\(a\)的立方根或三次方根。正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0。求一個(gè)數(shù)\(a\)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。6.2實(shí)數(shù)無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)。例如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)等。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣。實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算律與有理數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算律基本相同。第七章平面直角坐標(biāo)系7.1平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸稱為x軸（或橫軸），習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸（或縱軸），取向上為正方向；兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)\(P\)，過點(diǎn)\(P\)分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)\(a\)、\(b\)分別叫做點(diǎn)\(P\)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)\((a,b)\)叫做點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)。建立了平面直角坐標(biāo)系后，平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。7.2坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用利用平面直角坐標(biāo)系，可以確定地理位置，描述圖形的平移等。用坐標(biāo)表示地理位置：一般需要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示地點(diǎn)的位置。用坐標(biāo)表示平移：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)\((x,y)\)向右（或左）平移\(a\)個(gè)單位長度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)\((x+a,y)\)（或\((x-a,y)\)）；向上（或下）平移\(b\)個(gè)單位長度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)\((x,y+b)\)（或\((x,y-b)\)）。圖形的平移可以看作是圖形上所有點(diǎn)按照相同的方向和距離進(jìn)行平移。第八章二元一次方程組8.1二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。8.2消元——解二元一次方程組解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。常用的消元方法有代入消元法和加減消元法。代入消元法：把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而