2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)建模能力初步構(gòu)建試卷一、選擇題（每題3分，共15分）數(shù)學(xué)建模的核心流程是：A.提出問題→建立模型→計(jì)算求解→驗(yàn)證改進(jìn)B.收集數(shù)據(jù)→套用公式→得出結(jié)論→提交報(bào)告C.繪制圖表→代入數(shù)值→誤差分析→優(yōu)化參數(shù)D.假設(shè)猜想→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→理論推導(dǎo)→實(shí)際應(yīng)用下列生活情境中，適合用一元二次方程模型解決的是：A.某商店銷售單價(jià)為2元的筆記本，每天銷量y與售價(jià)x的關(guān)系B.用長為30米的籬笆圍成矩形菜園，求面積最大時(shí)的邊長C.某細(xì)菌每小時(shí)繁殖一倍，初始數(shù)量為100個(gè)，求10小時(shí)后的數(shù)量D.小明騎自行車從家到學(xué)校，前5分鐘勻速行駛，后5分鐘減速行駛，求總路程在“校園垃圾分類投放”項(xiàng)目中，學(xué)生需要統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)各班垃圾桶的日均垃圾量。以下不屬于建模關(guān)鍵步驟的是：A.確定垃圾桶類型（可回收/廚余/其他）B.統(tǒng)一稱重時(shí)間為每天下午4點(diǎn)C.計(jì)算全校垃圾桶的平均容量D.用折線圖展示數(shù)據(jù)變化趨勢關(guān)于數(shù)學(xué)模型的“簡化原則”，下列說法正確的是：A.必須保留問題所有細(xì)節(jié)，確保模型絕對準(zhǔn)確B.忽略次要因素，如計(jì)算購物找零時(shí)忽略分幣單位C.只能使用初中階段已學(xué)的數(shù)學(xué)公式D.模型越復(fù)雜越接近實(shí)際，因此無需簡化某同學(xué)用函數(shù)模型y=kx+b擬合家庭用電量y（度）與氣溫x（℃）的關(guān)系，收集到兩組數(shù)據(jù)：（10℃，50度）、（20℃，30度）。則k的值為：A.-2B.2C.-0.5D.0.5二、填空題（每題4分，共20分）數(shù)學(xué)建模中，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程稱為__________。某商場銷售A、B兩種商品，A商品利潤為每件3元，B商品利潤為每件5元。若每天銷售總量不超過100件，且A商品至少銷售20件，則表示該問題約束條件的不等式組為__________（設(shè)A商品銷售x件，B商品銷售y件）。如圖1，用一張長20cm、寬15cm的長方形紙板制作無蓋長方體盒子，在四角各剪去一個(gè)邊長為xcm的正方形。則盒子體積V（cm3）與x的函數(shù)關(guān)系式為__________，x的取值范圍是__________。數(shù)據(jù)收集時(shí)，為避免“幸存者偏差”，應(yīng)采用__________（填“隨機(jī)抽樣”或“conveniencesampling”）方法。模型驗(yàn)證的兩種常用方式是：（如代入實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)）和（如改變參數(shù)觀察結(jié)果穩(wěn)定性）。三、解答題（共65分）（一）基礎(chǔ)建模題（15分）某中學(xué)計(jì)劃在操場一側(cè)修建矩形儲物柜區(qū)域，周長固定為40米。設(shè)矩形的長為x米，面積為S平方米。（1）寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；（5分）（2）當(dāng)x為何值時(shí)，儲物柜區(qū)域面積最大？最大面積是多少？（5分）（3）若實(shí)際施工中發(fā)現(xiàn)，由于墻體限制，矩形的長不能超過12米，此時(shí)最大面積是多少？（5分）（二）情境應(yīng)用題（20分）“校園飲水健康”項(xiàng)目中，某小組對學(xué)生飲水習(xí)慣進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：飲水次數(shù)（次/天）2次及以下3-4次5次及以上人數(shù)（人）306010平均每次飲水量（mL）200300400（1）計(jì)算該校學(xué)生日均飲水量的加權(quán)平均數(shù)；（6分）（2）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)每天總飲水量為多少升？（4分）（3）為確保供水充足，學(xué)校計(jì)劃安裝容量為50L的飲水機(jī)。若每臺飲水機(jī)每天最多供水量為其容量的80%，至少需要安裝多少臺飲水機(jī)？（5分）（4）請?jiān)偬岢鲆粋€(gè)與該數(shù)據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并嘗試解答。（5分）（三）綜合探究題（30分）社區(qū)停車位規(guī)劃問題某小區(qū)現(xiàn)有住戶1000戶，每戶平均擁有私家車1.2輛，小區(qū)內(nèi)現(xiàn)有停車位800個(gè)，存在停車難問題。物業(yè)計(jì)劃在小區(qū)一塊矩形空地上新建停車位，空地長100米，寬50米。任務(wù)1：基礎(chǔ)規(guī)劃停車位設(shè)計(jì)有兩種方案：方案A：垂直式停車位，長5米，寬2.5米，每個(gè)車位需預(yù)留1米寬通道（如圖2）；方案B：平行式停車位，長6米，寬2.5米，每個(gè)車位需預(yù)留0.5米寬通道（如圖3）。（1）分別計(jì)算兩種方案下，這塊空地最多可新建多少個(gè)停車位？（10分）任務(wù)2：成本優(yōu)化已知垂直式停車位建設(shè)成本為每個(gè)800元，平行式為每個(gè)600元。物業(yè)預(yù)算不超過10萬元，且新建車位數(shù)量不少于120個(gè)。（2）設(shè)新建垂直式車位x個(gè)，平行式車位y個(gè)，列出滿足條件的不等式組；（6分）（3）如何分配兩種車位數(shù)量，才能在預(yù)算內(nèi)新建最多車位？（8分）任務(wù)3：模型反思（4）實(shí)際規(guī)劃中，除了數(shù)量和成本，還需考慮哪些因素？請列舉兩點(diǎn)并說明理由。（6分）（注：所有解答需寫出建模過程，包括設(shè)元、列式、計(jì)算、檢驗(yàn)等步驟，結(jié)果保留整數(shù)）四、開放創(chuàng)新題（共40分）“校園快遞包裝回收”項(xiàng)目設(shè)計(jì)背景：快遞包裝過度使用導(dǎo)致資源浪費(fèi)，某中學(xué)擬開展回收計(jì)劃，目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)建模優(yōu)化回收方案。任務(wù)要求：（1）提出一個(gè)具體的研究問題（如“如何設(shè)計(jì)回收點(diǎn)位置”“如何預(yù)測回收量”等）；（5分）（2）設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)收集方案，列出至少3項(xiàng)需收集的關(guān)鍵數(shù)據(jù)；（10分）（3）選擇合適的數(shù)學(xué)模型（如函數(shù)、方程、統(tǒng)計(jì)圖表等），說明建模思路；（15分）（4）基于模型提出1條可操作的回收優(yōu)化建議。（10分）（提示：可參考“笛卡爾坐標(biāo)系定