浙教版九上一周一測(cè)（十）第4章《相似三角形》單元綜合測(cè)試（A）一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案BDBCCCCADB一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）已知2x＝5y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A．x2=y5 B．x5=【思路點(diǎn)撥】本題須根據(jù)比例的基本性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出正確結(jié)論．【解答】解：∵2x＝5y，∴x5故選：B．2．（3分）如圖，已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2，則下列等式一定成立的是（）A．BCDFB．∠A的度數(shù)∠D的度數(shù)C．△ABC的面積△DEF的面積D．△ABC的周長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴BCEF=1∠A的度數(shù)∠D的度數(shù)=1，△ABC的面積△DEF的面積=14，△ABC的周長(zhǎng)△DEF的周長(zhǎng)=1故選：D．3．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，則EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路點(diǎn)撥】由AD∥BE∥CF，利用平行線分線段成比例，可得出EFDE=BCAB，再結(jié)合AB＝3，BC＝6，【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴EFDE又∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF2∴EF＝4．故選：B．4．（3分）兩個(gè)相似三角形的最短邊分別是5cm和3cm，它們的周長(zhǎng)之差為12cm，那么小三角形的周長(zhǎng)為（）A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm【思路點(diǎn)撥】利用相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比得到兩三角形的周長(zhǎng)的比為5：3，于是可設(shè)兩三角形的周長(zhǎng)分別為5xcm，3xcm，所以5x﹣3x＝12，然后解方程求出x后就是3x即可．【解答】解：根據(jù)題意得兩三角形的周長(zhǎng)的比為5：3，設(shè)兩三角形的周長(zhǎng)分別為5xcm，3xcm，則5x﹣3x＝12，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周長(zhǎng)為18cm．故選：C．5．（3分）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，以下能推出DE∥BC的條件是（）A．ADDB=34C．ABAD=4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)給出的條件，利用平行線分線段成比例即可判斷DE∥BC．【解答】解：A、∵ADDB=3∴ADAB=3∴ADAB∴不能推出DE∥BC，本選項(xiàng)不符合題意；B、∵ADAB=3∵∠ADE、∠ABC不一定相等，∴△ADE與△ABC不一定相似，∴不能推出DE∥BC，本選項(xiàng)不符合題意；C、∵ABAD=4∴ADAB∴DE∥BC，本選項(xiàng)符合題意；D、∵ADAB=3∴AEAC∴ADAB∴不能推出DE∥BC，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．7．（3分）圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD和CB相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A，B之間的距離為1.2米，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得點(diǎn)C，D之間的距離為（）A．0.8米 B．0.86米 C．0.96米 D．1米【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴ABCD∴1.2CD∴CD＝0.96，答：點(diǎn)C，D之間的距離為0.96米，故選：C．8．（3分）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（）A．1.236米 B．0.764米 C．1.412米 D．1.632米【思路點(diǎn)撥】根據(jù)雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，因?yàn)閳D中b為2米，即可求出a的值．【解答】解：∵雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，∴ab∵b為2米，∴a約為1.236米．故選：A．9．（3分）在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，點(diǎn)H為垂足．設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】由△DAH∽△CAB，得ADAC=AHAB，求出y與【解答】解：∵DH垂直平分AC，∴DA＝DC，AH＝HC＝2，∴∠DAC＝∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DAH＝∠BAC，∵∠DHA＝∠B＝90°，∴△DAH∽△CAB，∴ADAC∴y4∴y=8∵AB＜AC，∴x＜4，∴圖象是D．故選：D．10．（3分）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）A．15 B．18 C．24 D．36【思路點(diǎn)撥】連接BD，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在BD上，由三角形中線平分三角形的面積可知：S△ABC＝2S△BDC，證明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．【解答】解：如圖，連接BD，∵點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，P在BD上，∴S△ABC＝2S△BDC，BP：PD＝2：1，∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP∴S△DFP∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴S△BEP設(shè)△DFP的面積為m，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9m，∵四邊形CDFE的面積為6，∴m+9m﹣4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面積為9，∴△ABC的面積是18．故選：B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）已知2a＝3b，那么a?bb=1【思路點(diǎn)撥】直接利用已知得出a=3【解答】解：∵2a＝3b，∴a=3∴a?bb故答案為：1212．（3分）一幅地圖的比例尺是1：200000，在地圖上量得這兩地的距離為2厘米，則兩地的實(shí)際距離是4千米．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例尺＝圖上距離÷實(shí)際距離進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)比例尺的定義可得：2÷1實(shí)際距離是4千米，故答案為：4．13．（3分）小薛同學(xué)在學(xué)習(xí)了浙教版九年級(jí)上冊(cè)“4.1.3比例線段”課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值3，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)ac=3，得到a＝3c，推出3cb=b【解答】解：當(dāng)ac=3時(shí)，∵ac∴a＝3c，∴3cb∴b=3c∴ab=3c∴ab故答案為：3．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)P，它與A、C兩點(diǎn)形成的三角形與△ABC相似，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．【思路點(diǎn)撥】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC∽△CAB時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′CA∽△BAC，分別求解即可．【解答】解：如圖，∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，∴AC=2當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，△PAC∽△CAB時(shí)，∴ACAB∴21∴PA＝2，∴OP＝3，∴P（3，0），當(dāng)點(diǎn)P′在y軸上時(shí)，△P′CA∽△BAC，∵AC＝CA，∴AB＝CP′＝1，∴OP′＝2，∴P′（0，2）．根據(jù)對(duì)稱性可知．P（0，3）也符合題意．P與B重合，也符合題意，此時(shí)P（2，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．15．（3分）如圖，在一塊斜邊長(zhǎng)30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一個(gè)正方形CDEF，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為100cm2．【思路點(diǎn)撥】設(shè)AF＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)用x表示出EF、CF，證明△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)勾股定理列式求出x，根據(jù)三角形的面積公式、正方形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)AF＝x，則AC＝3x，∵四邊形CDEF為正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面積=12×125×65?45×故答案為：100cm2．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)BCAB=k，若AD＝DF，則CFFA=k【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC=12k?AB，通過證明△ABC∽△ECF，推出CF=12k2?【解答】解：∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，DB＝DF，∵AD＝DF，AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴ABEC∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴BEBC∴EC=1∵BCAB∴BC＝k?AB，∴EC=12k?AB，∴CF=12k2?∴CFFA故答案為：k2三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）已知線段a、b、c滿足a3=b2=c6（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)a3=則a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴線段x＝26．18．（8分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點(diǎn)A、B、C；直線DF分別交l1、l2、l3于點(diǎn)D、E、F．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴DEEF∵DE＝3，EF＝6，AB＝4，∴36解答：BC＝8，∴AC＝AB+BC＝4+8＝12．19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上運(yùn)動(dòng)，并保持∠ADE＝45°．（1）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BD=22時(shí)，求【思路點(diǎn)撥】（1）分三種情況，討論解答：①當(dāng)AE＝AD時(shí)，②當(dāng)AE＝DE時(shí)，③當(dāng)AD＝DE時(shí)；①②易求得，③通過證明△ABD≌△DCE，得AB＝DC，BD＝CE，即可求出；（2）如圖，通過證明△ABD∽△DCE，可得到DEAD=DCAB，即DE=DCAB×【解答】解：（1）①當(dāng)AE＝AD時(shí)，△ADE是等腰三角形，此時(shí)，點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)C、B重合，∴AE＝AC＝2；②當(dāng)AE＝DE時(shí)，△ADE是等腰三角形，此時(shí)，∠EAD＝∠ADE＝45°，由題設(shè)知，此時(shí)點(diǎn)D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，∴AE=12③當(dāng)AD＝DE時(shí)，△ADE是等腰三角形，此時(shí)由題設(shè)知∠B＝∠C＝45°，∵AB＝AC＝2，BC=22而∠BAD+∠B＝∠ADC＝45°+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，而∠B＝∠C，AD＝DE，∴△ABD≌△DCE，∴DC＝AB＝2，CE＝BD＝BC﹣DC=22∴AE＝AC﹣CE=2?[22（2）取BC的中點(diǎn)M，連接AM，易求得AM=2，BM=2，∠∵BD=2∴DM＝BM﹣BD=2DC＝BC﹣BD＝22?∴在Rt△AMD中，AD=D由（1）的第三種情況已證∠BAD＝∠CDE，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴DEAD∴DE=DCAB×20．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)AFFC①若BC＝12，求線段BE的長(zhǎng)；②若△FEC的面積為20，求△ABC的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行，得出△BDE∽△BAC，△BAC∽△EFC，從而得出△BDE∽△EFC；（2）①根據(jù)平行線分線段成比例，得出BE的長(zhǎng)；②先求出FCAC，再根據(jù)②S△FECS△ABC【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∵EF∥AB，∴△BAC∽△EFC，∴△BDE∽△EFC；（2）①∵AFFC∴AFAC∵EF∥AB，∴BEBC∴BE＝4；②∵AFFC∴FCAC∴S△FEC∴20S∴S△ABC＝45．21．（8分）如圖，△ABC中，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°．（1）求證：BE?QE＝PE?CQ；（2）若BP=22，CQ=92，求【思路點(diǎn)撥】（1）利用相似三角形的判定定理得到△BPE∽△CEQ，再利用相似三角形的性質(zhì)定理解答即可；（2）連接AE，利用等腰直角三角形的定義得到△ABC為等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的斜邊上的直線的性質(zhì)得到AE＝BE＝CE=12BC；利用相似三角形的性質(zhì)定理求得BE，則BE＝CE＝AE＝6，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得AB＝AC＝62，計(jì)算得到AP，【解答】（1）證明：∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠BPE+∠PEQ+∠CEQ＝180°，又∵∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°，∴∠BPE＝180°﹣45°﹣∠BEP，∠CEQ＝180°﹣45°﹣∠BEP，∴∠BPE＝∠CEQ，∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CEQ，∴BECQ∴BE?QE＝PE?CQ；（2）解：連接AE，如圖，∵∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝CE=12由（1）知：△BPE∽△CEQ，∴BPCE∴22∴BE2＝36，∵BE＞0，∴BE＝6，∴BE＝CE＝AE＝6，∴AB＝AC=2BE＝62∴AP＝AB﹣BP＝42，AQ＝CQ﹣AC＝32，∵∠BAQ＝180°﹣∠BAC＝90°，∴PQ=AQ222．（10分）將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點(diǎn)M和N．（1）求證：△AMD∽△CND；（2）如圖2，將Rt△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，此時(shí)EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷AEAD【思路點(diǎn)撥】（1）由直角三角形的性質(zhì)證出∠CDN＝∠ADM，∠MAD＝∠ACD，由相似三角形的判定可得出結(jié)論；（2）證明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論AEAD【解答】（1）證明：∵AD為Rt△ABC中BC邊上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADN+∠CDN＝90°，∵∠ADN+∠ADM＝90°，∴∠CDN＝∠ADM，又∵∠BAC＝90°，∴∠MAD+∠DAC＝90°，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠MAD＝∠ACD，∴△AMD∽△CND；（2）解：成立．證明：∵EF∥BC，∴∠EAD＝∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠DAN，∵△EDF為等腰直角三角形，∴∠E＝45°，∴∠ADE＝∠ADF＝45°，∴△AEM∽△ADN，∴AEAD23．（10分）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ．【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)t＝2時(shí)，可分別計(jì)算出BP、BQ的長(zhǎng)，再對(duì)△BPQ的形狀進(jìn)行判斷；（2）∠B為60°特殊角，過Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ（含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理）的長(zhǎng)可用t表示，S與t的函數(shù)關(guān)系式也可求；（3）由題目線段的長(zhǎng)度可證得△CRQ為等邊三角形，進(jìn)而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，得出比例式建立方程求解即可．【解答】解：（1）△BPQ是等邊三角形當(dāng)t＝2時(shí)AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4∴BQ＝BP又∵∠B＝60°∴△BPQ是等邊三角形；（2）過Q作QE⊥AB，垂足為E在Rt△BEQ中，∠BQE＝90°﹣∠B＝30°，QB＝2t，∴BE＝t，QE=3由AP＝t，得PB＝6﹣t∴S△BPQ=12×BP×QE=12（6﹣t∴S=?32（3）∵QR∥BA∴∠QRC＝∠A＝60°，∠RQC＝∠B＝60°∴△QRC是等邊三角形∴QR＝RC＝QC＝6﹣2t∵BE＝BQ?cos60°=12×2∴EP＝AB﹣AP﹣BE＝6﹣t﹣t＝6﹣2t∴EP∥QR，EP＝QR∴四邊形EPRQ是平行四邊形∴PR＝EQ=3又∵∠PEQ＝90°，∴∠APR＝∠PRQ＝90°∵△APR∽△PRQ，∴QRPR∴6?2t解得t=∴當(dāng)t=65時(shí)，△APR∽△24．（12分）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線段OB于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長(zhǎng)．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）由垂徑定理可得∠AED＝90°，結(jié)合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE＝∠BCD，進(jìn)而可得∠BCD＝∠FCD，通過證明△BCE≌△GCE可得GE＝BE＝1；（2）證明△ACB∽△CE