章節(jié)復習專題：實數(shù)

目錄

【考點一無理數(shù)、實數(shù)的概念】..................................................................1

【考點二算術(shù)平方根、平方根、立方根概念理解】.................................................2

【考點三求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】...............................................2

【考點四利用算術(shù)平方根的非負性解題】..........................................................2

【考點五利用開平方、開立方解方程】............................................................2

【考點六平方根與立方根的綜合問題】............................................................3

【考點七二次根式的概念、有意義、最簡二次根式】...............................................4

【考點八同類二次根式】........................................................................4

【考點九利用二次根式的性質(zhì)化簡】..............................................................5

【考點十二次根式的混合運算】..................................................................5

【考點十一復合二次根式的化簡】................................................................7

【考點十二與二次根式運算有關(guān)的規(guī)律題】........................................................9

【考點一無理數(shù)、實數(shù)的概念】

例題：在實數(shù)-g,0,6，標中，無理數(shù)是（）

A.-1

B.0c.75D.屈

3

【變式訓練】

jr”

1.在實數(shù)一石，3.14,0?—?—>—79,0.1616616661...（兩個1之間依次多一個6）中，無理數(shù)的個數(shù)

是（）

A.5B.4C.3D.2

292

2.在J,-3.14,0,V，-32,彳中,無理數(shù)有（)

6

A.1個B.2個C.3個Q.4個

3.在實數(shù)-1.414,收，兀,3.14,3.1212212221...（相鄰兩個1之間依次增加一個2）,孫中，無理

7

數(shù)的個數(shù)是（）個.

A.1B.2C.3D.4

4.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中:

-p-y|,",加布，0324371,0.5,我,—屈，J而，（）.808（X）8（XX）8…（相鄰的兩個8之間依次

多一個0）.

⑴無理數(shù)集合：（…｝

⑵有理數(shù)集合：｛__________________________________________

（3）分數(shù)集合：｛______________________________________________

（4）負無埋數(shù)集合：（.

【考點二算術(shù)平方根、平方根、立方根概念理解】

例題：有下列說法：①標的平方根是±4；②表示6的算犬平方根的相反數(shù)；③-64的立方根是T；

④-3是（-3）2的平方根.其中，正確的說法有（）

A.1個B.2個C.3個O.4個

【變式訓練】

1.判斷下.列說法正確的是（）

A.-1的平方根是-1;B.±4是64的立方根；

C.是的立方根；D.（-4『的平方根是-4.

2.下列說法中，錯誤的是（）

A.1的平方根是1B.0的立方根是0

C.3是9的一個平方根D.-8的立方根是-2

3.下列說法正確的是（）

A.立方根等于它本身的數(shù)是0,IB.±2是8的立方根

C.2是4的平方根D.一。一定沒有平方根

【考點三求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】

例題：J記的平方根是_______,7算術(shù)平方根是_______,-8的立方根是________.

16

【變式訓練】

1.百的平方根是;5的立方根是：J石的算術(shù)平方根是.

2.；的算術(shù)平方根是_______,J記的平方根是________，病的立方根是_________

4

3.（-2）2的平方根是,^的算術(shù)平方根是，瘋的立方根是

【考點四利用算術(shù)平方根的非負性解題】

例題：若。、力滿足“4-2）2+癡與=0,則（。+?2儂=.

【變式訓練】

1.若x,y為實數(shù)，且％=而5十用歹一2,則V的值為.

2.若G+JTJ=0,則xM4+y2?！钡闹禐?

3.若k一2|+7^=0，則x-y=.

【考點五利用開平方、開立方解方程】

例題：解方程：⑴（61）2=4(2)8(x+l)?-27=0

【變式訓練】

1.求下列各式中X的值:

(1)9X2-25=0：⑵(1)3=27.

2.解方程:

(2)1(2.r+3)3=25.

2

(1)(X-1)-81=O;

3.解方程：

⑴2(x7)2=128；(2)(y+I)3+27=0.

【考點六平方根與立方根的綜合問題】

例題：已知勿-1的算術(shù)平方根是3,3。+〃-1的立方根是4,求:

(1)“、〃的值；⑵。+6-6的平方根.

【變式訓練】

1.已知%-1的算術(shù)平方根是3,3a+〃-1的平方根是：L4,。是而的整數(shù)部分，求：

(1)"、b、。的值；⑵a+3〃-c的立方根.

2.已知：4〃-11的平方根為±3,--J的算術(shù)平方根為它本身，3c+13的立方根是4

⑴求a,h,c的值；(2)求的平方根.

3.己知。+2的立方根是2,3a+b知的算術(shù)平方根是4.

⑴求。，2的值；⑵求初-3-3的平方根.

【考點九利用二次根式的性質(zhì)化簡】

例題：實數(shù)”，在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則化簡""2"+與后■的結(jié)果為

【變式訓練】

1.已知VABC的三邊之長分別為2、5、m,則一3『-J14〃?+49

2.己知2<x<4,化簡：—2)"—|.t-4|=.

3.化簡:

4.把〃舊中根號外的〃移入根號內(nèi)，則《舊=

【考點十二次根式的混合運算】

例題：計算；

⑴厄+寂-2垃；(2)|73-2|+712-^1；

(3)4->/6-3^^；

(4)(75+2)(x/5-2)-(2>/3-l)2.

【變式訓練】

1.計算：

⑴"-屈-亞；(2)次-g)xa；

小廊-1/e。

(3)(2>/3+1)(2\/5-1)+卜；(4)一^——(笈—3).

2.計算:

(l)Vi2+x/75-j1；(2)x/fs+x<32+#64；

⑶g)-(6-1)°+Ji)?；

(4)^0W20_^_3y

3.計算：

⑴—+4^x5/9；

⑵(石+3夕)+2；

(3)(X/3-1)2+(X/3+2)2-2(A/3-1)(X/3+2)；(4)(6一1)(6+112-2+"閩_(4_2)°+我.

4.計算:

⑴如+&一『尼+A；⑵（1-26『_（2_石）（2+6）；

⑶.炳一專咚+（石一1丫：（4）已知〃=9=；,求的值.

【考點十一復合二次根式的化簡】

例題：先閱讀卜.列材料，再解決問題：

閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式/±2,而+/=（〃±〃）2及二次根式

的性質(zhì)J7T4化去一層根號.例如：

73+2>/2=73+2x1x72=^12+（S/2）2+2X1XV2=1+閩=1+a.

解決問題：

⑴在橫線和括號內(nèi)上填上適當?shù)臄?shù)：

“+2。="+2xlxG=『+（『+2x1x6=>/fY=|_____|=;

⑵根據(jù)上述思路，試將歷工后予以化簡.

【變式訓練】

1.先閱讀材料，然后回答問題：

小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了個問題：化簡后三后，經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程

如下：

75-2>/6=72-272^3+30

"（友）2_2及*6+便）運

=J（血-可③

=N2-G④

⑴在上述化簡過程中，第步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為；

⑵請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡正工萬；

2.先閱讀下列解答過程：

材料一：形如，〃+26的式子的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)使〃+力=孫"=〃，

即（&）+（折）=m,yfax^/b=yfn,那么便有J“2±2冊=土亞；=>[a±\[b（a>b）?

例如：化簡，7+4百.

解：首先把飛7+4G化為才7+2\0，這里〃?=7,〃=12,

由于4I3=7,4x3=12,即（4『+（石丫=7,74x75-Vl2,

所以,7+46=&+2無="4+8丫=2+6.

材料科二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母

中不含根號，這種變形叫做分母有理化.例如：

1IxGG88島68（V6+V2）_

后ET丁不&=（6-&）（#+&）=-4-=27心2

請根據(jù)材料解答卜列問題：

_____3

⑴填空：①“一2后=;②京=.

⑵化簡：V19-4V15（諸寫出計算過程）；

11I

⑶化簡：斤方+后市+后況.

3.閱讀與思考

下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

標題：雙層二次根式的化簡

內(nèi)容：二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類帶雙層根號的式子，就是

根號內(nèi)又帶根號的式子，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)消掉外面的一層根號.

例如：要化簡十20，可以先思考（1+3丫=12+2*1.0+（右丫=3+2立，所以

8+2應(yīng)=/+2xlxg+⑼“(1+可=l+Q.通過計算，我還發(fā)現(xiàn)設(shè)

xja+b0='(/〃+〃&)=m+n\f2(其中〃?.〃，a,〃都為正整數(shù))，則不1〃+。拒=+2//+2/〃〃夜

a=m2+2n2,b-.

這樣，我就找到了?種把部分雙層二次根式化簡的方法.

任務(wù)：

⑴文中的八________.

⑵化簡：，6+2方=_______-

⑶已知而而=x+,，G，其中小達)，均為正整數(shù)，求。的值.

(4)化簡："p-8jp-1+也〃+8j?-1=.(直接寫出答案)

【考點十二與二次根式運算有關(guān)的規(guī)律題】

例題：特例感知

1母-1.及-1及-1_與

V2+1-(X/2+I)(>/2-1)"(>/2)2-12-1-；

⑴請在橫線上直接寫出化簡的結(jié)果：

①--------:②木=----------

觀察發(fā)現(xiàn)

(2)第〃個式子是/:/(〃為正整數(shù))，請求出該式子化簡的結(jié)果(需要寫出推理步驟).

x/〃+17n

拓展應(yīng)用

⑶從上述結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：

~~T+~r~~~r+~i=~~+/----1~/----]x(J2024+1)；

IV2+V1V3+V2V4+V3V2024+V2023J

②J廠+」廠+/廠+…+J=

2V1+1V23V2+2V34V3+3V42024,2023+2023,2024,

【變式訓練】

1.觀察下列等式：

①3-2&=(四-1)2；

②5-2#=(6-五尸；

③7-2屈=(>/?-6)2；

請你根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

⑴寫出第6個等式：；第〃個等式：

(2)計算：出-2瓜+乃-2疵+也-4石+J11-2而?

2.觀察下列各式

①，1+/0+￡；②/系*=i+白:③j+?+，i+￡

請你根據(jù)上述等式提供的信息，解答下列問題：

⑴卜**=-------;

⑵根據(jù)你的觀察，猜想，寫出第〃(〃為正整數(shù))個等式：;

⑶用上述規(guī)律計算：」1+沙

3.觀察下列等式，解答問題.

廠1廠=x/J-V2.

廠2=逐一6

石+G

⑴請直接寫出第5個等式：；

⑵利用上述規(guī)律，比較如-2及與2四-布的大小；

2222

⑶“接可出斥？+斥&+后耳+..?+鬧十瓦二-----------

4.觀察下列等式:

解決下列問題：

⑴根據(jù)上面3個等式的規(guī)律，寫出第⑥個式子.

(2)用含〃(〃為正整數(shù))的式子表示上面各個等式的規(guī)律.

(3)利用上述結(jié)果計算；J]向?「裊；'J中?小》(])2?

5.如圖，觀察圖形，認真分析，其中廿表示的面積，S?表示RtZ\&A0的面積，…，以此類推.

OA；=(五)+1=3,S2=；

OA；=(6)+1=4,S3=;

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

⑴填空：。廢=，s6=

⑵求S：+S；+S；+…+S益的值.

6.觀察以下式子的化簡過程:

①…百工凡1)底尸_一/7_i，

②ET(G+&)(G—q-’一''

③-1_京n-6口_/T7H，

根據(jù)以上式子的化簡過程，得出規(guī)律.完成下列問題：

1

⑴如果〃為正整數(shù)，那么^~尸的值為；

⑵根據(jù)以上規(guī)律計算：Wr耳%+在片+高耳+…+夜舟痂的值.

參考答案與試題解析

章節(jié)復習專題：實數(shù)（12類熱點題型講練）

考點導航

目錄

【考點一無理數(shù)、實數(shù)的概念】..................................................................1

【考點二算術(shù)平方根、平方根、立方根概念理解】.................................................2

【考點三求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】...............................................2

【考點四利用算術(shù)平方根的非負性解題】..........................................................2

【考點五利用開平方、開立方解方程】............................................................2

【考點六平方根與立方根的綜合問題】............................................................3

【考點七二次根式的概念、有意義、最簡二次根式】...............................................4

【考點八同類二次根式】........................................................................4

【考點九利用二次根式的性質(zhì)化簡】..............................................................5

【考點十二次根式的混合運算】..................................................................5

【考點十一復合二次根式的化簡】................................................................7

【考點十二與二次根式運算有關(guān)的規(guī)律題】...................................................9

典型例題

【考點一無理數(shù)、實數(shù)的概念】

例題：（2024?湖南益陽?二模）在實數(shù)-0,石，J正中，無理數(shù)是（）

A.——B.0C.>/5D.VT6

【答案】c

【知識點】無理數(shù)

【分析】本題考查無理數(shù)的定義，根據(jù)“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”進行判斷即可.

【詳解】解：石Vi而是無理數(shù)，

故選：C.

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?廣東惠州?開學考試）在實數(shù)—石，3.14,0,y,y,-折0.1616616661...（兩個1

之間依次多一個6）中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【知識點】無理數(shù)

【分析】本題考查了無理數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義進行判斷即可.

【詳解】解：在實數(shù)-石，3.14,0,y,y,-內(nèi)，0.1616616661...（兩個1之間依次多一個6）中，-石，

p0.1616616661...（兩個1之間依次多一個6）是無理數(shù)，共3個，

故選：C.

2.（24-25七年級上?江蘇鹽城?階段練習）在g,-3.14,0,-32,孑中，無理數(shù)有］）

637

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【知識點】無理數(shù)

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，常見三種表現(xiàn)形式為：①開方開不盡的數(shù)，

如、攵等；②無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001…等；③字母表示，如乃等.

【詳解】解：無理數(shù)為g,共1個，

6

故選4.

3.（23-24八年級上?湖南衡陽?期末）在實數(shù)-1.414,拉，兀,3.14,3.1212212221...（相鄰兩個1之間

依次增加一個2）,莎中，無理數(shù)的個數(shù)是（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【知識點】無理數(shù)

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的概念，解題關(guān)鍵是熟記常見無理數(shù)的種類，常見無理數(shù)的三種情況：①

開方開不盡的數(shù)；②含乃的數(shù)；③有規(guī)律但無限不循環(huán)的小數(shù),根據(jù)無理數(shù)概念逐個判斷，即可解題.

【詳解】解：題中的無理數(shù)有拉，兀，3.1212212221...(相鄰兩個1之間依次增加?個2),希共4個，

故選：D.

4.(23-24七年級下?西藏林芝?期末)把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中：

-y,-j|,近，47,0.324371,0.5,圾,—房，樂,0.8080080008…(相鄰的兩個8之間依次

多一個0).

⑴無理數(shù)集合：(...｝

⑵芍理數(shù)集合：

(3)分數(shù)集合：｛________________________

⑷負無理數(shù)集合：｛…｝.

【答案】⑴-9，近，回-必，().8()8(X)8(XX)8…(相鄰的兩個8之間依次多?個。)

(2)--,我蘇，0.324371,0.5,716

22

(3)-—,0.324371,0.5

(4)-?，-7(14

【知識點】實數(shù)的分類

【分析】此題考查了實數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)無理數(shù)，有理數(shù)，分數(shù)，負無理數(shù)

的定義求解即可.

【詳解】(1)無理數(shù)集合：｛-9，4，將,-屈，().8()8008(XX)8…(相鄰的兩個8之間依次多一個。),

...)

故答案為：嗅,將，莎，-必，0.808(X)80008…(相鄰的兩個8之間依次多一個。)，

22

(2)有理數(shù)集合：｛一可，亞石，0.324371,0.5,而，…｝

22

故答案為：-萬，^27,0.324371,0.5,屈,

（3）分數(shù)集合：{,0.324371,0.5,…}

22

故答案為：-萬，0.324371,0.5,

（4）負無理數(shù)集合：{-?,-而，…}

故答案為：-g，->/04>

J

【考點二算術(shù)平方根、平方根、立方根概念理解】

例題：（23-24七年級下?全國?單元測試）有下列說法：①J語的平方根是±4；

（2）-76表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)；

③-64的立方根是-4；④-3是（-3）2的平方根.

其中，正確的說法有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【知識點】平方根概念理解、立方根概念理解

【分析】本題考查了平方根、立方根的相關(guān)概念，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】解：@716=4,4的平方根是±2,故①錯誤：

②-幾表示6的算術(shù)平方根的相反數(shù)，故②正確；

③-64的立方根是-4,故③正確；

④（—3）2=9,-3是9的平方根，故④正確；

故選：C

【變式訓練】

1.（23?24七年級下?全國?單元測試）判斷下列說法正確的是（）.

A._1的平方根是T；13.±4是64的立方根；

11,

C..是-攝的立方根；。.（-4）~的平方根是-4.

【答案】C

【知識點】立方根概念理解、平方根概念理解

【分析】本題考查了平方根、立方根的定義，根據(jù)平方根、立方根的定義逐項判定即可.

【詳解】解財.-1是負數(shù)，沒有平方根，故原說法錯誤，不符合題意；

B.4是64的立方根，故原說法錯誤，不符合題意；

C.是-g的立方根，故原說法正確，符合題意；

D（Tf=16的平方根是±4,故原說法錯誤，不符合題意；

故選tac.

2.（23?24七年級下?廣西欽州?階段練習）下列說法中，錯誤的是（）

A.1的平方根是1B.0的立方根是0

C.3是9的一個平方根D.-8的立方根是-2

【答案】A

【知識點】立方根概念理解、求?個數(shù)的平方根、求?個數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根、立.方根的定義，理解并掌握平方根、算術(shù)平方根、立方根

的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A、1的平方根是±1，故本選項原說法錯誤，符合題意；

8、0的立方根是0,故本選項原說法正確，不符合題意；

C、3是9的一個平方根，故本選項原說法正確，不符合題意；

。、-8的立方根是-2,故本選項原說法正確，不符合題意；

故選：A.

3.（23-24七年級下?云南保山?階段練習）下列說法正確的是（）

A.立方根等于它本身的數(shù)是0,1B.±2是8的立方根

C.2是4的平方根D.一。一定沒有平方根

【答案】C

【知識點】立方根概念理解、平方根概念理解

【分析】本題考查平方根、立方根，解題的關(guān)鍵是理解和掌握平方根和立方根的定義.據(jù)此分析即可.

【詳解】解：A.立方根等于它本身的數(shù)是0,±1,原說法不正確，故此選項不符合題意；

B.2是8的立方根，原說法不正確，故此選項不符合題意；

C.2是4的平方根，原說法正確，故此選項符合題意；

D.當。W0時，-a>0,此時一。有平方根，原說法不正確，故此選項不符合題意.

故選：C.

【考點三求一個數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根】

例題：（23-24七年級下?全國?單元測試）J證的平方根是—，言算術(shù)平方根是一，-8的立方根是—

16

【答案】±27-2

4

【知識點】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、求一個數(shù)的平方根、求一個數(shù)的立方根

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，算術(shù)平方根和立方根，對于兩個實數(shù)。、b若滿足那

么。就叫做人的平方根，若。為非負數(shù)，那么。就叫做人的算術(shù)平方根，對于兩個實數(shù)。、〃若滿足

那么4就叫做。的立方根，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：舊=4的平方根是±2,得算術(shù)平方根是點=:,-8的立方根是值=-2,

故答案為：±2；---2.

4

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?山東青島?開學考試）的的平方根是；5的立方根是；瘋的算術(shù)平方根是

【答案】±GV52N/2

【知識點】求一個數(shù)的算術(shù)平方根、求一個數(shù)的平方根、求一個數(shù)的立方根

【分析】本題主要考查了平方根與立方根，正確理解平方根與立方根的意義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的意義，即可解答.

【詳解】解：???9的算術(shù)平方根是3,

??.3的平方根是±6，

5的立方根是痣，

???64的算術(shù)平方根是8,

??.8的算術(shù)平方根是隨即2及，

故答案為：±6，痣，2應(yīng).

2.（23-24八年級上,全國?單元測試）J的算術(shù)平方根是______,J記的平方根是_________，病的立方

4

根是.

［答案】1±22

【知識點】求一個數(shù)的立方根、求一個數(shù)的平方根、求一個數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根的定義.熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：，的算術(shù)平方根是，3

4\42

716=4,它的平方根是±?=±2;

x/64=8,它的立.方根是涼=2：

故答案為：；；±2；2.

40

3.（23-24七年級下?海南?？?期末）（-20）2的平方根是,就的算術(shù)平方根是,病的立方根是一

【答案】±25/0.72

【知識點】求一個數(shù)的立方根、求一個數(shù)的平方根、求一個數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題考查平方根、算術(shù)平方根卻立方根的概念.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，

正的平方根即為它的算術(shù)平方根.立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的立方根是正數(shù)，一個負數(shù)的立方根是負數(shù)，0

的立方根是0.分別根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念直接計算即可求解.

【詳解】解：（—2）2=4,相=8

（-2）,一的平方根是±2；荒49的算術(shù)平方根是木7，瘋的立方根是2；

故答案：±2,-?2.

【考點四利用算術(shù)平方根的非負性解題】

例題：（24-25八年級上?河南鄭州,階段練習）若。、人滿足而二斤+7^=0,則（〃+方嚴24=

【答案】1

【知識點】利用算術(shù)平方根的非負性解題

【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負性，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到〃-2=0,〃+3=0，則〃=2,b=-3,

據(jù)此代值計算即可.

【詳解】解：^yl（a-2）2+4b+3=0,^a-2）1>0，x/^+3>0,

2

05/|?-2）=4b+3=0,

0a-2=0>Z?+3=0?

團。=2,Z?=—3,

團（。+力）的=（2-3嚴=1,

故答案為：1.

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習）若x,），為實數(shù)，且工=6三+產(chǎn)亍-2,則V的值為一.

【答案】|

【知識點】利用算術(shù)平方根的非負性解題、負整數(shù)指數(shù)轅

【分析】本題考查算術(shù)平方根的豐負性，負整數(shù)指數(shù)幕，熟練算術(shù)平方根的非負性和負整數(shù)指數(shù)尋的求法

是解題的關(guān)鍵.先利用斤5和師;求出丁，再求出x，最后計算即可.

【詳解】解：團x==3+五=7-2,

\-3>0

[3-y>0

0y-3=O,

解得：尸3,

代入x=Jy-3+j3-y-2,

得：x=-2,

0/=3-2=1,

故答案為：g.

2.（24-25八年級上?重慶沙坪壩?開學考試）若衣工+斤7=0,則一^十）產(chǎn)4的值為.

【答案】2

【知識點】利用算術(shù)平方根的非負性解題、已知字母的值，求代數(shù)式的值

【分析】本題考查算術(shù)平方根的非負性，根據(jù)非負性求出乂V的值，再代入代數(shù)式計算即可.

【詳解】解：團?^1+"7二亍=0,

0\lx-\=0,\jx-y=0,

0x-l=O,x-y=0,

0x=y=1,

0^4+J2O24=12O24+12O24=2.

故答案為：2.

3.（24-25八年級上?四川遂寧?開學考試）若k-2|+廳萬=。，貝吐7=.

【答案】T

【知識點】利用算術(shù)平方根的非負性解題、絕對值非負性

【分析】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，可求出小y的值，即可求解，掌握非負

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵..

【洋解】解：團卜-2|+6萬=。，

0x-2=O,y-3=（）,

團x=2,>,=3,

=2-3=-1,

故答案為：-1.

【考點五利用開平方、開立方解方程】

例題：（23-24八年級上?四川內(nèi)江?階段練習）解方程：

（1）U-1）2=4

（2）8（x+l）?-27=0

【答案】⑴x=3或x=-l

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應(yīng)用

【分析】本題主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平方根的性質(zhì)可得工-1=±2,即可獲得答案；

3

(2)根據(jù)立方根的性質(zhì)可得x+l=],即可獲得答案.

【詳解】(1)解：(x—lf=4,

0x-l=±2,

0x=±2+l,

團x=3或工=-1；

(2)解：8(x+iy-27=0,

08(x4-1)3=27,

w+i)Y，

3

0X4-1=一,

2

1

0X=-.

2

【變式訓練】

1.(23-24八年級上?江蘇蘇州?階段練習)求下列各式中工的值

(1)9X2-25=0；

⑵(1)3=27.

【答案】⑴為=1,寸—

⑵x=4.

【知識點】立方根的實際應(yīng)用、利用平方根解方程

【分析】本題主要考查了根據(jù)平方根和立方根的定義解方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根和立方根的定

義.

(1)根據(jù)平方根的定義解方程即可；

(2)根據(jù)立方根的定義解方程即可.

【詳解】(1)解：9X2-25=0

9x2=25

x2=—25

9

(2)(1)3=27

x-\=3

2.（22-23七年級卜.?江蘇南通?階段練習）解方程:

(1)(X-1)2-8I=0；

(2-3)3=25.

【答案】（l）x=10或x=—8

⑵x=l

【知識點】立方根的實際應(yīng)用、利用平方根解方程

【分析】此題考查了根據(jù)平方根和立方根的意義解方程，

（1）根據(jù)平力根的意義得到xT=±9,解一元一次方程即可；

（2）原方程變形為（21+3）3=125,根據(jù)立方根的定義得到，2x+3=5,解一元一次方程即可.

【詳解】（1）解：（1—1）2=81

0x-l=±9

解得x=l（）或X二一8

（2）解：!（2X+3）3=25

團（2T+3）'=125

根據(jù)立方根的定義得到，2x+3=5

解得x=l

3.（23-24七年級下?云南昭通?期末）解方程.

⑴2（1）2=128

（2）（）+1）3+27=0

【答案】（l）x=9或丫=-7

⑵xY

【知識點】立方根的實際應(yīng)用、利用平方根解方程

【分析】本題主要考查了根據(jù)求平方根和求立方根的方法解方程，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

（1）先把方程兩邊同時除以2,再根據(jù)求平方根的方法解方程即可；

（2）先把方程兩邊同時減去27,然后再根據(jù)求立方根的方法解方程即可.

【詳解】(1)解：2(x-l『=128,

(X-1)2=64,

x-1=±8，

團x=9或3=-7；

(2)解:(y+l)3+27=0,

(y+l)3=—27,

y+i=-3,

團＞=々

【考點六平方根與立方根的綜合問題】

例題：(23-24七年級下?吉林四平?期中)已知勿-1的算術(shù)平方根是3,3a+b-l的立方根是4,求：

⑴”、〃的值；

(2)〃+〃-6的平方根.

【答案】(1)。=5,/?=50

⑵。十8-6的平方根是±7

【知識點】算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用、求一個數(shù)的平方根

【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定義，準確

計算.

(1)根據(jù)勿-1的算術(shù)平方根是3,3々+。-1的立方根是4,得出2。一1=9,%+6-1=64,求出結(jié)果即可;

(2)把〃=5,8=50代入4+〃一6求出。+〃一6=49,然后求出〃+匕一6的平方根即可.

【詳解】(1)解：團2〃-1的算術(shù)立方糧是3,3。+8-1的立方根是4,

02z/-l=9,3。+人一1=64,

解得:。=5,8=50；

(2)解：(3。=5,6=50,

團。+0-6=49，

團以十占一6的平方根是1石§_J_7.

【變式訓練】

1.(23-24七年級下?廣東汕尾?階段練習)已知加-1的算術(shù)平方根是3,+的平方根是±4,。是厲

的整數(shù)部分，求:

⑴“、b、c的值；

(2)“+勸-c?的立方根.

【答案】(1)。=5,b=2,c=3

(2)2

【知識點】算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用、求一個數(shù)的立方根、平方根概念理解、求算術(shù)平方根的整數(shù)

部分和小數(shù)部分

【分析】本題考查了算術(shù)平方根、平方根、立方根、求算術(shù)平方根的整數(shù)部分等知識點，能求出〃、。

的值是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義求出〃、〃的值，再估算出后的大小，求出。的值即可；

(2)將(1)中求出的。、〃、c的值代入〃+勸-c,求出結(jié)果后再求出立方根即可.

【詳解】(1)解：?.?加-1的算術(shù)平方根是3,3a+b-l的平方根是±4,

:.2ii-\=32=9,3a+b-1=(±4)2=16,

解得：a=5,b=2,

v9<15<16,

.-.3<>/15<4,

.?.店的整數(shù)部分是3,BPc=3,

=5fb=2,c=3；

(2)解：???。=5,b=2,c=3,

「.a+3b—c=5+3x2—3=8,羽=2,

.?.a+勸-c的立方根是2.

2.122-23七年級下?重慶巴南?期中)已知：4〃-11的平方根為±3,一一；的算術(shù)平方根為它本身，3。+13

3?+Z?-l

的立方根是4

⑴求a,b,c的值；

⑵求+c的平方根.

【答案】(1)。=5,b=—13,c=17

(2)+735

【知識點】算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用、求一個數(shù)的立方根、已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)、求一

個數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】3)根據(jù)平方根的運算可求出〃的，算術(shù)平方根的運算及。的值可求出〃的值，立方根的運算可求

出「的值；

(2)把(1)中的ab,c的值代入，根據(jù)平方根的運算即可求解.

【詳解】⑴解:回4〃-11的平方根為±3,

04t/-ll=(±3)2,即4〃-11=9,解得，。=5,

回一■二的算術(shù)平方根為它本身，算術(shù)平方根等于其本身的有0或1,且3。+力-1工0,

3a+b-\

團-------=1,&|J3a+b—\=1,且a=5,

3a+b-\

回3x5+力一1=1,解得，6=—13,

團女+13的立方根是4,

團女+13=43即3a+13=64,解得，c=17,

團“=5,力=-13,L—17.

（2）解：由（1）可知，。=5,6=-13,c=17,

0a-Z?+c=5—（―13）4-17=5+13+17=35,

035的平方根為土后，

（3a-Z?+c的平方根為：±735.

【點睛】本題主要考查平方根，算術(shù)平方根，立方根的運算，掌握以上知識的綜合運算方法是解題的關(guān)鍵.

3.（23-24七年級下?云南楚雄?期中）己知。+2的立方根是2,%+〃-1的算術(shù)平方根是4.

⑴求。，。的值；

⑵求九-。-3的平方根.

【答案】⑴a=6,Z?=-l；

⑵上4

【知識點】求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用、已知字母的值，求代數(shù)式的值

【分析】（1）利用平方根、立方根定義確定出。與〃的值即可；

（2）把〃與人的值代入計算即可解答.

【詳解】（1）解：團。+2的立方根是2,

回。+2=8,

解得：a=6,

0的算術(shù)平方根是4,

018+Z?-1=16,

解得:b=—\,

團a=6,b=—\；

（2）解：3a-匕-3=3x6-（-1）-3=16,

±yj3a-b-3=±>/16=±4?

團3a-〃+c的平方根為±4.

【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的定義及代數(shù)式求值，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的定義是解

題的關(guān)鍵.

【考點七二次根式的概念、有意義、最簡二次根式】

例題：（23-24八年級下?全國?單元測試）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.，2x+3B.yfaC.yjx2+\D.-2

【答案】C

【知識點】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查了二次根式的定義，一般形如右（。）0）的代數(shù)式叫做二次根式，由此逐項判斷即可得出

答案.

【詳解】解：A、當x=-2時，2.r+3=-l<0,反方無意、義，故本選項錯誤，不符合題意；

B、當。<0時，6無意義，故本選項錯誤，不符合題意；

C、無論％取何值，一+121,有意義，故本選項正確，符合題意：

D、當x=0時，x2-2=-2<0?無意義,故本選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【變式訓練】

1.（24-25九年級上?四川自貢?開學考試）能夠使二次根式75二萬有意義的實數(shù)x的取值范圍是（）

3333

A.x>—B.x>—C.x<—D.xW—

2222

【答案】B

【知識點】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，進行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：2x-3>0,

3

團x、；

故選B.

2.（24-25九年級上?吉林長春?階段練習）下列式子為最簡二次根式的是（）

A.732B.V15C.卮D.A

【答案】B

【知識點】最簡二次根式的判斷、化為最簡二次根式

【分析】本題考查最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)不含分母，不含能開放開的盡的因數(shù)或因

式進行判斷即可.

【詳解】解：A、后=4右，不是最簡二次根式，不符合題意；

8、后，是最簡二次根式，符合題意；

C、房,被開方數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；

。、祗，被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選B

3.（23-24八年級下?全國?單元測試）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.-V7B.xp7C.D.x

2x+3

【答案】A

【知識點】二次根式有意義的條件

【分析】本題考查的是二次根式的定義，熟知一般地，我們把形如右（。之。）的式子叫做二次根式.根據(jù)二

次根式的定義解答即可.

【詳解】解：A、-5是二次根式，本選項符合題意；

B、"沒有意義，不是二次根式，本選項不符合題意；

0、不是二次根式，本選項不符合題意；

。、x不是二次根式，本選項不符合題意；

故選:A.

4.（23-24八年級下?全國?單元測試）使二次根式加工有意義，則。的取值范圍是（）

A.a>lB.a<7C.a>lD.a<7

【答案】D

【知識點】二次根式有意義的條件

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0進行

求解即可.

【詳解】解：回二次根式^/7二￡有意義，

07-?>0,

0a<7?

故選：D.

5.（23?24八年級下?山東濰坊?期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.而B.gC.>/32D.V72

【答案】A

【知識點】利用二次根式的性質(zhì)化簡、最簡二次根式的判斷、化為最簡二次根式

【分析】本題考查了最簡二次根式的概念，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：被開方數(shù)

的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（不含有分母）；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；分母中不含有二次

根式，由此即可求解

【詳解】解：4、而是最簡二次根式，符合題意；

B、卜出=當,不是最簡二次根式'不符合題意；

C、后=反正=4近，不是最簡二次根式，不符合題意;

。、V72=72x36=6>/2.不是最簡二次根式，不符合題意

故選：A.

【考點八同類二次根式】

例題：（23?24九年級上?四川內(nèi)江?階段練習）下列根式跟右是同類二次根式的是（）

A.V24B.V12C.D.而

【答案】B

【知識點】化為最簡二次根式、同類二次根式

【分析】先將各二次根式化簡為最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可.本題主要考查的

是同類二次根式的定義，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：4V24=2x/6,